高二数学下学期期末测试

君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 高二数学下学期期末测试 一、选择题：本大题共有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑． 1．设函数 12  xy 的定义域为 A， )32lg( 2  xxy 的定义域为 B ，则 BA  （ ） A． ),3(  B． )3,2 1[ C． )1,(  D． ]2 1,1(  2．若 2)21(  iz （ i 表示虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设    2 2 , 0 2M x x N y y       ，给出下列 4 个图形，其中能表示以集合 M 为定义域， N 为值域的函数关系的是（ ） A B C D 4． 已知 ],0[,1cos)( 2  xxxf ，则 )(xf 的单调递增区间是（ ） A． ]2,[  B． ],0[  C． ],2[  D． ]2,0[  5．已知双曲线的一条渐近线方程为 xy 2 ，且点 )2,2(P 在此双曲线上，则双曲线的离心率 为（ ） A． 5 B．5 C． 3 D．3 6．给出下列命题：①对 实数 y ，都  一个实数 x ，使得 2xy  ；②两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是|a+b|=|a-b|；③如果两条直线 ba, 和平面 M 满足 Ma  ，且 Mb  ， 则 ba // ；④  一个实数 x ，使 022  xx .其中真命题的序号是( ) A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③ 7．一个袋中装有大小相同的 5 只白球和 3 只红球，现在不放回的取 2 次，记“第 1 次拿出 的是白球”为事件 A ，“第 2 次拿出的是白球”为事件 B ，则事件 A 与 B 同时发生的概 率是（ ） A． 8 5 B． 16 5 C． 7 4 D． 14 5 x x x x y y y y O O O O 2 2 2 2 -2 -2 -2 -22 2 2 2 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 8．如右下图所示的框图算法中，若输入 8n ，则输出的 S （ ） A．239 B．494 C．1004 D．2024 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分．本大题分为必做题和选做题两部 分. （一）必做题：第 9、10、11、12 题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9．一个几何体的三视图如图所示，若它的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角 形，则这个几何体的表面积 是 ；体积是 ． 10．若 n x x )1( 2 3  的展开式中，第 6 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ． 11．利用定积分的几何意义，计算：  dxx2 1 24 ． 12．设数列 }!{ nn  的前 n 项和为 nS ，则 3S = ，当 4n 时， nS = ． （二）选做题：第 13、14、15 题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两 ① ① 开始 i=1 S=0 i=i+1 S=S+M 输出S 结束 是 否 i≤n? M=0 M=2M+2 输入n 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 题的得分． 13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，以 )2,2( a 为圆心， 2 a 为半径的圆的极坐标 方程是 ，该圆与极轴平行的切线的极坐标方程是 ． 14．（不等式选讲选做题）已知 cba ,, 为正数，且 1323  cba ，则 cba 32  的最 大值是 ， cba 32  取得最大值时  cba ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ，已知 6AC  ，圆O 的半径为3 ，圆心O 到 AC 的距离为 5 ， 则 AD ，  DC BD ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 16．(本小题满分 14 分) 同时抛掷 4 枚均匀的硬币 80 次，设 4 枚硬币正好出现 2 枚正面向上，2 枚反面向上的 次数为ξ． (Ⅰ) 求抛掷 4 枚硬币，恰好 2 枚正面向上，2 枚反面向上的概率； (Ⅱ) 求 的数学期望和方差． 17．(本小题满分 14 分) 已知函数 Rxxxxy  )],6cos()6sin(3)[6cos(  ． (Ⅰ) 求函数 y 的最大值及相应的自变量 x 的集合； (Ⅱ) 该函数的图象可由 )(sin Rxxy  的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 18．(本小题满分 14 分) 如右图，把边长为 1 的正方形 ABDC 沿对角线 BC 折 起得到三棱锥 ABCD  ， O 是 BC 边上一点． (Ⅰ) 求 DO 的取值范围； (Ⅱ) 当 DO 取最小值时，证明： BC 平面 DAO ； (Ⅲ) 若 1DA ，求二面角 BCDA  的余弦值． 19．(本小题满分 14 分) 已知向量 a= )8,1( 22 aax  ，b= )2,6( 2 xx ，若 )(xf =a·b ， Rx ． (Ⅰ) 当 9a 时，求函数 )(xf 的极值； (Ⅱ) 若 )(xf 有两个零点，求实数 a 的值． D B A CO 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 20．(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点，长轴在 x 轴上，若椭圆上有一点 P 到两焦点的距离分别是 2 5 和 2 3 ，且过点 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点． (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程； (Ⅱ) 试探究椭圆 C 上是否存在两点 BA, 关于直线 mxy  2 对称，如果存在，求出实数 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由． 21．(本小题满分 12 分) 已知 1，3，6，…的各项是一个等比数列和一个等差数列对应项相加而得到的，其中等 差数列的首项为 0． (Ⅰ) 分别求出等差数列和等比数列的通项公式； (Ⅱ) 若数列 1，3，6，…的前 n 项和为 nS ，求证 4 4ln )2(2 )2( 1 2 2       nn S kkn k k k ． 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 考答案 一、选择题 1．A 方法一：取 4x ，两个函数都有意义，排除 B、C、D，故选 A 方法二：由 012 x 得 2 1x ，∴ }2 1|{  xxA 由 0322  xx 得 1x 或 3x ，∴ }31|{  xxxB 或 ∴ }3|{  xxBA  ，故选 A 2．D ∵ 2)21(  iz ，∴ 5 )21(2 21 2 i iz  ，故选 D 3．B 解析：函数的定义域应为  2,2M   ，排除 A； 函数值域应为  0,2N  ，排除 D； 函数的对应法则不允许一对多，排除 C，故选 B 4．C ∵ ],0[,2cos2 1 2 312 2cos11cos)( 2  xxxxxf ∴  22  x ，即   x2 ．故选 C 5．A ∵双曲线的一条渐近线方程为 xy 2 ，且过点 )2,2(P ，∴双曲线的焦点在 x 轴上 ∴ 2 a b ，∴ 51 2 2  a b a ce ，故选 A 6．B ①假命题．反例：取 1y ，则 12 x ②真命题．因为对于非零向量 ba, ，有 ||||)()(0 22 babababababa  君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 ③真命题．此命题是直线与平面平行的性质定理（用反证法证明） ④假命题．因为“对 Rx ， 04 7)2 1(2 22  xxx ”是真命题，所以它的否定 是假命题 故选 B 7．D 14 5 78 45 )( )()( 2 8 2 5   C C n ABnABP 或 14 5 7 4 8 5)|()()(  ABPAPABP ，故选 D 8．C ∵数列 }{ na 中， 22,2 11  nn aaa ，∴ )2(22 1  nn aa ∴ 1242  n na ，即 22 1  n na ∴ )22()22()22( 932 8 S 8221 )21(4 8   1004201024  ．故选 C 二、填空题 9． )33(8  ； 38 ∵该几何体三视图中正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形 ∴它是一个底面边长为 4 的正三角形的三棱柱 ∴ )33(842360sin42 12 2 S ， 38234  ShV 10．210 解法一：∵第 6 项的二项式系数最大，∴ 10n 设第 1r 项为常数项，则 rrrrr r xC x xCT 530 102 103 101 )1()(    令 0530  r 得 6r ，∴展开式中的常数项为 2104 10 6 10  CC 解法二：同前可得 10n ，常数项为 4 个 3x 与 6 个 2 1 x 的乘积 ∴展开式中的常数项为 2104 10 6 10  CC 11． 2 3 3 2  ； 解：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面 积． 312 146 1  S 2 3 3 2   12．23； 1)!1( n 231!4)!3!4()!2!3()!1!2(!33!22!11 51!3)!2!3()!1!2(!22!11 1!1!2!1)12(!11 3 2 1    S S S 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 … 猜想： 1)!1(  nSn 或者：由   !!1! nnnnan  得到 13．  sina ； a sin 在 OAPRt 中 ∵ OA OPsin ∴  sina 在 OAMRt 中 ∵ OM OAsin ∴ a sin 14． 33 13 ； 6 65 ∵ cba ,, 为正数，且 1323  cba ∴由柯西不等式知， 22 )3213 3 1()32( cbacba  )23)(313 1( cba  133 13  当且仅当 3 23 cba  时，等号成立 ∴ 33 1332  cba ， 设 kcba  329 代入 1323  cba 得 3k ， ∴ 6 6592 3 3 1  cba 15． 32 ； 3 3 ∵⊙ O 的半径为 3，圆心 O 到 BC 的距离为 5 ∴ 4532 2 BC ，∴ 2 BCACAB ∴ 122  ACABAD ，，∴ 32AD 又 ADCABD  ∽ ∴ 3 3 32 2  AD AB DC BD （或 3 3 6 32  AC AD DC BD ） 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 三、解答题 16、(本小题满分 14 分) 解：(Ⅰ)设“抛掷 4 枚硬币，恰好 2 枚正面向上，2 枚反面向上”为事件 A -------1 分 ∵抛掷 4 枚硬币的基本事件总数是 42 ，其中事件 A 含 2 4C 个基本事件 -------------3 分 ∴ 8 3 2 )( 4 2 4  CAP -------------5 分 ∴抛掷 4 枚硬币，恰好 2 枚正面向上，2 枚反面向上的概率是 8 3 -------------7 分 (Ⅱ) 随机变量的取值为 0，1，2，3 -------------8 分 由（1）可得：抛掷 4 枚硬币，恰好 2 枚正面向上，2 枚反面向上的概率是 8 3 又因为所抛掷的 80 次独立，∴ ～ )8 3,80(B -------------10 分 ∴ 3,2,1,0,)8 5()8 3()( 80 80   kCkP kkk -------------12 分 ∴ 308 380  npE 4 75 8 5 8 380)1(  pnpD -------------14 分 17、(本小题满分 14 分) 解：(Ⅰ) ∵ )]6cos()6sin(3)[6cos(   xxxy )6(cos)6cos()6sin(3 2   xxx -------------2 分 )]32cos(1[2 1)32sin(2 3   xx -------------3 分 )62sin(2 1  x -------------5 分 ∴当 1)62sin(  x 时，函数 y 取最大值，最大值为 2 3 ，此时自变量 x 的取值为 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 )(2262 Zkkx   ，即 )(3 Zkkx   故函数 y 的最大值为 2 3 ，自变量 x 的集合是 },3|{ Zkkxx   -------------7 分 (Ⅱ)方法一：将函数 xy sin 的图象依次进行如下变换： (ⅰ)先把函数 xy sin 的图象上所有点向右平移 6  个单位长度，得到 )6sin(  xy 的 图象； -------------10 分 (ⅱ)再把函数 )6sin(  xy 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 2 1 倍， 得到 )62sin(  xy 的图象； -------------12 分 (ⅲ) 最 后 把 函 数 )62sin(  xy 的 图 象 向 上 平 移 2 1 个 单 位 长 度 ， 就 可 得 到 )62sin(2 1  xy 的图象． -------------14 分 方法二：将函数 xy sin 的图象依次进行如下变换： (ⅰ)先把函数 xy sin 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 2 1 倍，得到 xy 2sin 的图象； -------------10 分 (ⅱ)再把函数 xy 2sin 的图象上所有点向右平移 12  个单位长度，得到 )62sin(  xy 的图象； -------------12 分 (ⅲ) 最 后 把 函 数 )62sin(  xy 的 图 象 向 上 平 移 2 1 个 单 位 长 度 ， 就 可 得 到 )62sin(2 1  xy 的图象． -------------14 分 18、(本小题满分 14 分) 解：(Ⅰ)设在∆DBC 中，边 BC 上的高为 h，则 PBDOh  又依题意可求得 2 2h  ∴ 12 2  DO -------------4 分 (Ⅱ)若 DO 取最小值，则 DO⊥BC -------------5 分 ∵ DCDB  ∴O 为 BC 中点，故 AO⊥BC -------------7 分 D B A CO E 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 又 OODOA  ，∴ BC 平面 DAO -------------9 分 (Ⅲ)解法 1：作 AE⊥DC，垂足为 E，设 O 为 BC 中点，连结 OE ∵ 1DA ，∴△DAC 是等边三角形 ∴E 为 DC 中点，∴OE∥DB ∴OE⊥DC，∴∠AEO 为所求二面角的平面角 -------------11 分 ∵ 2 3,2 1,2 2  AEOEAO ∴ 222 OEAOAE  ，∴AO⊥OE ∴ 3 3cos  AE OEAEO -------------14 分 解法 2：∵ 1DA ， 2 2 ODOA ， 222 DAODOA  OAOCOD ,, 两两垂直 -------------10 分 以 O 为原点， ODOCOA ,, 分别为 zyx ,, 轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 则各点坐标如下： )2 2,0,0(),0,2 2,0(,)0,0,2 2( DCA ，       2 2,0,2 2,)0,2 2,2 2( ADAC ， -------------11 分 设平面 ACD 的一个法向量为 ),,( zyxn  ，则      0 0 ADn ACn 即         02 2 2 2 02 2 2 2 zx yx 令 1x 得 到 )1,1,1(n 又 因 为 OA 平 面 BCD ， 所 以 平 面 BCD 的 一 个 法 向 量 为       0,0,2 2OA ， -------------12 分 设二面角 BCDA  的平面角为 ，则   3 3 2 23 2 2 ,coscos      AOn AOnAOn 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 -------------14 分 19、(本小题满分 14 分) 解：(Ⅰ)∵a= )8,1( 22 aax  ，b= )2,6( 2 xx ∴ )(xf =a·b= xaaxx )8(262 223  -------------2 分 ∴当 9a 时， xxxxf 1862)( 23  此时， 18126)( 2/  xxxf -------------3 分 令 0)(/ xf 得 0322  xx 解得 1x 或 3x -------------4 分 当 x 变化时， )(/ xf 、 )(xf 的变化情况如下表： x )1,(  1 )3,1( 3 ),3(  )(/ xf ＋ 0 － 0 ＋ )(xf ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ -------------6 分 ∴当 1x 时， y 有极大值 10； 当 3x 时， y 有极小值 54 ． -------------7 分 (Ⅱ)∵函数 )(xf 只有两个零点 ∴ )(xf 的图象与 x 轴只有两个交点 -------------8 分 ∴方程 0)( xf 恰有两根 ∴ 0)]8(2122[ 22  aaxxx 恰有两根 ∴方程 0)8(6 22  aaxx 有两相等的实数根或有一零根 -------------10 分 ∴若方程 0)8(6 22  aaxx 有两相等的实数根，则 0)8(46 22  aa ， ∴ 0982  aa ，这种情况无解； -------------11 分 若方程 0)8(6 22  aaxx 有一零根，则 082  aa 解得 0a 或 8a -------------13 分 ∴函数 )(xf 只有两个零点时，实数 a 的值等于 0 或 8 ． -------------14 分 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 20、(本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ)设所求椭圆的方程为 )0(12 2 2 2  ba b y a x ，两焦点 21, FF 的距离 c2 ∵ 4||||2 21  PFPFa ，∴ 2a -------------2 分 又 21FPF 为直角三角形， 21FF 为直角边 ∴ 222 )2 3()2 5()2( c ，∴ 1c ， 3b -------------5 分 ∴所求椭圆方程为 134 22  yx -------------6 分 (Ⅱ) 方法一：假设椭圆 C 上存在两点 BA, 关于直线 mxy  2 对称，设直线 AB 的方 程为 nxy  2 1 ． -------------7 分 联立方程组得         ② ① 2 1 134 22 nxy yx 消取 y 得 12)2 1(43 22  nxx 整理得 0322  nnxx ③ -------------8 分 设 BA, 两点的坐标分别是 ),( 11 yx 和 ),( 22 yx ，则 21, xx 是方程③的两个不相等的实根 ∴ 0)3(4 22  nn ， ∴ 42 n ④ -------------9 分 又设 ),( 00 yxM 是 AB 的中点， ∴ 22 21 0 nxxx  ，∴ nnxy 4 3 2 1 00  君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 又点 M 在对称轴 mxy  2 上 ∴ mnn  224 3 ， ∴ mn 4 ⑤ -------------10 分 把⑤代入④得 14 2 m ，∴ 2 1|| m 故椭圆 C 上存在两点 BA, 关于直线 mxy  2 对称，实数 m 的取值范围是 )2 1,2 1( ． -------------12 分 方法二：假设椭圆 C 上存在两点 ),(),,( 2211 yxByxA 关于直线 mxy  2 对称，设 AB 的 中点为 ),( 00 yxM ，则                      �yyy �xxx �xx yy �yx �yx 2 2 12 134 134 21 0 21 0 12 12 2 1 2 1 2 1 2 1 -------------8 分 由①-②得 03 ))(( 4 ))(( 21212121  yyyyxxxx ⑥ -------------9 分 把③④⑤代入⑥得 00 2 3 xy  又 mxy  00 2 ， ∴ mymx 3,2 00  -------------10 分 又点 M 在椭圆内 ∴ 4)1()1( 2 0 2 2 2 0 2 0  yxyx ∴ 134 2 0 2 0  yx ∴ 14 2 m 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构 ∴ 2 1|| m 故椭圆 C 上存在两点 BA, 关于直线 mxy  2 对称，实数 m 的取值范围是 )2 1,2 1( ． -------------12 分 21、(本小题满分 12 分) 解：(Ⅰ)记{an}为等差数列，公差为 d，{bn}为等比数列，公比为 q． ∵           6 3 1 0 33 22 1 1 ba ba b a -------------2 分 ∴      62 3 2qd qd ∴q2-2q=0 解得 q=0(舍)或 q=2 -------------4 分 ∴q=2，d=1 ∴ 1 nan ， 12  n nb -------------6 分 (Ⅱ) ∵Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn) ＝(a1+a2+…+an)＋(b1+b2+…+bn) =[0+1+…+(n-1)]+(1+2+…+2n-1) ＝ 21 21 2 )1(   nnn ＝ 2 22 2  nnn -------------8 分 设 )0()1ln()(  xxxxf ，则 11 1)(/  xxf ∴当 0x 时， 0)(/ xf ∴ )(xf 在 ),0(  上是减函数 ∴当 0x 时， 0)( xf ，即 xx  )1ln( -------------10 分 ∴ 3 2 )2(2 )2( 11 2 2         n k n k k k k k S kk 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育 机构     n k n k knk 11 3 1)3 11(    n k kn 1 )3 11ln( 3 4 6 7 5 6 4 5ln   n nn 4 4ln  nn -------------12 分