河南省高三专题复习用不动点法求数列通项

用不动点法求数列的通项 定义：方程 的根称为函数 )(xf 的不动点. 利用递推数列 )(xf 的不动点，可将某些递推关系 )( 1 nn afa 所确定的数列化为等比 数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定 理 1 ： 若 ),1,0()(  aabaxxf p 是 )(xf 的 不 动 点 ， na 满 足 递 推 关 系 )1(),( 1   nafa nn ，则 )( 1 paapa nn   ，即 }{ pan  是公比为 a 的等比数列. 证明：因为 p 是 )(xf 的不动点 pbap  appb  由 baaa nn  1 得 )( 11 paapbaapa nnn   所以 }{ pan  是公比为 a 的等比数列. 定理 2：设 )0,0()(   bcadcdcx baxxf ， }{ na 满足递推关系 1),( 1   nafa nn ， 初值条件 )( 11 afa  （1）：若 )(xf 有两个相异的不动点 qp, ，则 qa pakqa pa n n n n      1 1 （这里 qca pcak   ） （2）：若 )(xf 只有唯一不动点 p ，则 kpapa nn  1 11 （这里 da ck  2 ） 证明：由 xxf )( 得 xdcx baxxf  )( ，所以 0)(2  bxadcx （1）因为 qp, 是不动点，所以      0)( 0)( 2 2 bqadcq bpadcp            qca bqdq pca bpdp ，所以 qa pa qca pca qca bqda pca bpda qca pca qdbaqca pdbapca qdca baa pdca baa qa pa n n n n n n n n n n n n                           1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )( )( 令 qca pcak   ，则 qa pakqa pa n n n n      1 1 （2）因为 p 是方程 0)(2  bxadcx 的唯一解，所以 0)(2  bpadcp 所以 apcppdb  2 ， c dap 2  所以 dca pacpa dca apcpacpa dca pdbacpapdca baapa n n n n n n n n n              1 1 1 2 1 1 1 1 1 ))(()()( 所以 da c papacpa cpd cpa c pa cpdpac cpapa dca cpapa nnn n n n n         211)(111 111 1 1 1 令 da ck  2 ，则 kpapa nn  1 11 例 1：设 }{ na 满足 * 11 ,2,1 Nna aaa n n n   ，求数列 }{ na 的通项公式 例 2：数列 }{ na 满足下列关系： 0,2,2 2 11   aa aaaaa n n ，求数列 }{ na 的通项公式 定 理 3 ： 设 函 数 )0,0()( 2   eafex cbxaxxf 有 两 个 不 同 的 不 动 点 21, xx , 且 由 )(1 nn ufu  确定着数列 }{ nu ,那么当且仅当 aeb 2,0  时, 2 2 1 21 11 )( xu xu xu xu n n n n      证明:  kx 是 )(xf 的两个不动点  fex cbxaxx k kk k   2 即 kkk bxxaefxc  2)( )2,1( k  2 2 22 2 1 2 11 2 22 2 11 2 2 2 1 2 21 11 )()( )()( )( )( )( )( bxxaeuexbau bxxaeuexbau fxcuexbau fxcuexbau feuxcbuau feuxcbuau xu xu nn nn nn nn nnn nnn n n          于是, 2 2 1 21 11 )( xu xu xu xu n n n n       2 22 2 2 11 2 2 2 22 2 1 2 11 2 2 2 )()( )()( xuxu xuxu bxxaeuexbau bxxaeuexbau nn nn nn nn      2 22 2 2 11 2 2 2 222 1 2 112 2 2 )( )( xuxu xuxu a bxxaeua exbu a bxxaeua exbu nn nn nn nn              2 2 1 1 2 2 xa exb xa exb       0)2( 0)2( 2 1 xeab xeab  1 1 2 1 x x 0 方程组有唯一解 aeb 2,0  例 3：已知数列 }{ na 中, * 2 11 ,2 2,2 Nna aaa n n n   ,求数列 }{ na 的通项. 其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例 4：已知 1,0 11  aa 且 )1(4 16 2 24 1   nn nn n aa aaa ,求数列 }{ na 的通项. 解: 作函数为 )1(4 16)( 2 24   xx xxxf ,解方程 xxf )( 得 )(xf 的不动点为 ixixxx 3 3,3 3,1,1 4321  .取 1,1  qp ,作如下代换: 4 234 234 2 24 2 24 1 1 )1 1( 1464 1464 1 )1(4 16 1 )1(4 16 1 1               n n nnnn nnnn nn nn nn nn n n a a aaaa aaaa aa aa aa aa a a 逐次迭代后,得: 11 11 4 1 4 1 4 1 4 1 )1()1( )1()1(     nn nn aa aaan 已知曲线 2 2: 2 0( 1,2, )nC x nx y n     ．从点 ( 1,0)P  向曲线 nC 引斜率为 ( 0)n nk k  的切线 nl ，切点为 ( , )n n nP x y ． （１）求数列{ } { }n nx y与 的通项公式； （２）证明： 1 3 5 2 1 1 2 sin1 n n n n n x xx x x x x y       设 p q， 为实数， ， 是方程 2 0x px q   的两个实根，数列{ }nx 满足 1x p ， 2 2x p q  ， 1 2n n nx px qx   （ 3 4n  ，，…）．（1）证明： p   ， q  ；（2）求 数列{ }nx 的通项公式；（3）若 1p  ， 1 4q  ，求{ }nx 的前 n 项和 nS ． 已知函数 2( ) 1f x x x   ， ， 是方程 ( ) 0f x  的两个根（  ）， ( )f x 是 ( )f x 的 导数，设 1 1a  ， 1 ( ) ( 1 2 )( ) n n n n f aa a nf a    ，， ． （1）求 ， 的值； （2）证明：对任意的正整数 n ，都有 na  ； （3）记 ln ( 1 2 )n n n ab na     ，， ，求数列 nb 的前 n 项和 nS 13 陕 西 文 21 ． （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 数 列  }na 满 足 ， *1 1 21 2, ,2 n n n a aa a a n N ’ ＋2＝ ＝ .   令 1n n nb a a  ，证明：{ }nb 是等比数列； (Ⅱ)求 }na 的通项公式。 2 山东文 20.（本小题满分 12 分）等比数列{ na }的前 n 项和为 nS ，已知对任意的 n N  ， 点 ( , )nn S ，均在函数 ( 0xy b r b   且 1, ,b b r 均为常数)的图像上.（1）求 r 的值；（11） 当 b=2 时，记 1( )4n n nb n Na   求数列{ }nb 的前 n 项和 nT w.w.w.k.s.5.u.c.o.m