2021 年九年级中考数学三轮冲刺专题:《圆》
解答题冲刺练习(一)
1.如图,四边形 ABCD 内接于
⊙
O,AC 是直径,AB=BC,过点 B 作 BF∥AC 交 DC 的延
长线于点 F.
(1)求证:BF 是
⊙
O 的切线;
(2)若 AC=2 , = ,求 BF 的值.
2.已知,AB 为
⊙
O 的直径,PA,PC 是
⊙
O 的的切线,切点分别为 A,C,过点 C 作 CD
∥AB 交
⊙
O 于 D.
(1)如图 1,当 P,D,O 共线时,若半径为 r,求证 CD=r;
(2)如图 2,当 P,D,O 不共线时,若 DE=2,CE=8,求 tan∠POA.
3.在△ABC 中,∠B=90°,D 为 AC 上一点,以 CD 为直径的
⊙
O 与 AB 相切于点 E,与
BC 相交于点 F,连接 CE.
(Ⅰ)如图①,若∠ACE=27°,求∠A 和∠ECB 的大小;
(Ⅱ)如图②,连接 EF,若 EF∥AC,求∠A 的大小.
4.已知 AB 是
⊙
O 的直径,C 是
⊙
O 上一点,过点作
⊙
O 的切线,交 AB 的延长线于点 P.
(Ⅰ)如图①,连接 AC,BC,若 BP=OB,求∠A 和∠P 的大小;
(Ⅱ)如图②,过点 P 作
⊙
O 的切线 PD,切点为 D,连接 CD,BD,若∠BDC=32°,
求∠BDP 的大小.
5.如图,AB 为
⊙
O 的直径,点 C 在
⊙
O 上,点 D 为线段 BA 的延长线上一点,连接 DC,
过点 O 作 OE∥AC 交 DC 延长线于点 E,交 BC 于点 F,且满足∠B=∠E.
(1)求证:DC 是
⊙
O 的切线;
(2)若 AB=8,AC=4,求 EF 的长.
6.如图,AB 是
⊙
O 的直径,点 C 和点 D 是
⊙
O 上的两点,连接 CB,CD,BD,过点 C 作
射线交 AB 的延长线于点 E,使∠BCE=∠BDC.
(1)求证:CE 是
⊙
O 的切线;
(2)若 BC=BE=2,求阴影部分的面积.
7.如图,已知 Rt△ACE 中,∠AEC=90°,CB 平分∠ACE 交 AE 于点 B,AC 边上一点 O,
⊙
O 经过点 B,C,与 AC 交于点 D,与 CE 交于点 F,连接 BF.
(1)求证:AE 是
⊙
O 的切线;
(2)若 cos∠CBF= ,BE=8,求 BC 的长.
8.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的
⊙
O 分别交 BC、AC 边于点 D、F.过点
D 作 DE⊥CF 于点 E.
(1)求证:DE 是
⊙
O 的切线;
(2)AF﹣DE=2,EF=2,求
⊙
O 的半径.
9.如图,AB 是
⊙
O 的直径,C 是
⊙
O 上的一点,以点 C 为顶点作∠BCP=∠A 与 AB 的延
长线交于点 P.
(1)求证:PC 是
⊙
O 的切线.
(2)过点 O 作半径 OD∥BC 与 AC 交于点 E,若 DE﹣OE= ,AC=15,求△ABC 的
周长.
10.如图,AB 是
⊙
O 的弦,半径 OC⊥AB 于点 D,点 E 在射线 OC 上,且∠OEB=∠OAB.
(1)求证:BE 是
⊙
O 的切线;
(2)若 AB=2 ,∠OAB=30°,求图中阴影部分弓形的面积.
11.如图,点 B 为
⊙
O 外一点,过点 B 作
⊙
O 的切线,切点为 A,点 P 为 OB 上一点,连接
AP 并延长交
⊙
O 于点 C,连接 OC,若 OC⊥OB.
(1)求证:BP=AB;
(2)若 OB=10,
⊙
O 的半径为 8,求 AP 的长.
12.如图,AB 是半圆的直径,弦 CD∥AB,过 D 点作圆 O 的切线 DE,与 AB 延长线相交
于点 E,连接 OC、AD,∠A=22.5°.
(1)求证:四边形 COED 是平行四边形;
(2)当 CD=2 时,求围成阴影部分图形的周长.
13.如图,已知直线 l 与
⊙
O 相离,OA⊥l 于点 A,交
⊙
O 于点 P,直线 AB 与
⊙
O 相切于点
B,连接 BP 并延长,交直线 l 于点 C.
(1)求证:AB=AC;
(2)若 OB=3,PA=2,求线段 PB 的长.
14.如图,△ABC 是
⊙
O 的内接三角形,AB 是
⊙
O 的直径,D 是 AB 上一点过 D 作 AB 的
垂线交线段 BC 于点 E.点 F 在线段 DE 的延长线上,且满足 FC=FE.
(1)求证:CF 是
⊙
O 的切线,
(2)当直径 AB=13,EB= CB,tanA= 时,求线段 CF 的长.
15.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的
⊙
O 分别与 BC、AC 交于点 D、E,过点
D 作 DF⊥AC,垂足为点 F.
(1)求证:直线 DF 是
⊙
O 的切线;
(2)求证:BC2=4CF•AB;
(3)若
⊙
O 的半径为 2,∠CDF=22.5°,求图中阴影部分的面积.
参考答案
1.(1)证明:连接 OB,
∵AC 是直径,
∴∠ABC=90°,
∵AB=BC,
∴∠ACB=45°,
∵OC=OB,
∴∠OBC=45°,
∵BF∥AC,
∴∠ACB=∠CBF=45°,
∴∠OBC=90°,
∴OB⊥BF,
∴BF 是
⊙
O 的切线;
(2)解:过点 C 作 CM⊥BF 于点 M,则四边形 OBMC 是矩形,
∴OB=MC= ,
∵ = ,AC 为直径,
∴∠DAC=30°,∠ACD=60°,
∴∠DAB=75°,
∵四边形 ABCD 是圆内接四边形,
∴∠DAB=75°,
∴∠BCF=75°,
∴∠F=180°﹣∠BCF﹣∠CBF=180°﹣75°﹣45°=60°,
∴BM= ,MF=1,
∴BF=BM+MF= +1.
2.(1)证明:连接 OC,
∵PA,PC 是
⊙
O 的的切线,切点分别为 A,C,
∴PA=PC,∠PAO=∠PCO=90°,
在 Rt△PAO 和 Rt△PCO 中,
,
∴Rt△PAO≌Rt△PCO(HL),
∴∠POA=∠POC,
∵CD∥AB,
∴∠CDO=∠DOA,
∴∠CDO=∠COD,
∴CD=OC=r;
(2)解:设 OP 交 CD 于 E,
连接 OC,过 O 作 OH⊥CD 于 H,
由(1)可知,Rt△PAO≌Rt△PCO,
∴∠POA=∠POC,
∵CD∥AB,
∴∠CEO=∠COE,
∴∠CEO=∠COE,
∴CE=CO=8,
∴CD=CE+ED=10,
∴CH=DH=5,
∴EH=3,
∴OH= = = ,
∴tan∠POA=tan∠HEO= = .
3.解:(Ⅰ)∵AB 与
⊙
O 相切,
∴OE⊥AB,
∴∠AEO=90°,
∵∠ACE=27°,
∴∠AOE=2∠ACE=54°,
∴∠A=90°﹣∠AOE=36°,
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE,
∵∠B=90°,
∴OE∥BC,
∴∠ECB=∠OEC,
∴∠ECB=27°;
(Ⅱ)如图②,连接 OF,
∵OE∥BC,EF∥AC,
∴四边形 OEFC 为平行四边形,
∴OE=CF,
∴OC=OF=CF,
∴∠ACB=60°,
∴∠A=90°﹣∠ACB=30°.
4.解:(Ⅰ)如图①,连接 OC,
∵PC 是
⊙
O 的切线,
∴∠OCP=90°,
∵BP=OB,
∴BC=OB,
∵OB=OC,
∴△BOC 为等边三角形,
∴∠BOC=60°,
∴∠A= ∠BOC=30°,
∴∠P=90°﹣∠COB=30°;
(Ⅱ)如图②,连接 OC,OD,
设 CD 交 OP 于 E,
∵PC,PD 是
⊙
O 的切线,
∴PC=PD,∠OCP=∠ODP=90°,
∵OC=OD,
∴OP 垂直平分 CD,
∴∠CEP=∠DEP=90°,
∵∠BDC=32°,
∴∠OBD=90°﹣∠BDC=58°,
∴∠BDP=90°﹣58°=32°.
5.(1)证明:连接 OC,如图所示:
∵AB 为
⊙
O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAO+∠B=90°.
∵∠B=∠E,
∴∠E+∠CAO=90°,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠E+∠ACO=90°,
∵OE∥AC,
∴∠ACD=∠E,
∴∠ACD+∠ACO=90°,
∴∠DCO=90°,
∴OC⊥DE,
∴DC 是
⊙
O 的切线;
(2)解:∵AB 为
⊙
O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∵OE∥AC,
∴∠OFB=∠ACB=90°,
∵AB=8,AC=4,
∴BC= = =4 ,
∵AC∥OF,OA=OB,
∴CF=BF= BC=2 ,
∵∠B=∠E,∠ACB=∠CFE,
∴△ACB∽△CFE,
∴ ,
∴ ,
∴EF=6.
6.(1)证明:如图,连接 OC,过点 O 作 OF⊥BC 于点 F,
则∠OFC=90°,
∴∠BCO+∠COF=90°,
∵OB=OC,OF⊥BC,
∴∠COF= ∠BOC,
又∵∠BDC= ∠BOC,
∴∠COF=∠BDC,
∵∠BCE=∠BDC,
∴∠COF=∠BCE,
∵∠BCO+∠COF=90°,
∴∠BCO+∠BCE=∠OCE=90°,
∴OC⊥CE,
∵点 C 在
⊙
O 上,即 OC 是
⊙
O 半径,
∴CE 是
⊙
O 的切线;
(2)解:∵BC=BE=2,
∴∠E=∠BCE,
∵∠OBC=∠E+∠BCE,
∴∠OBC=2∠BCE,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=2∠BCE,
又∵∠OCB+∠BCE=90°,
∴∠BCE=30°,∠OCB=60°,
∴△BOC 是等边三角形,
∴OB=OC=BC=2,∠BOC=60°,
∴CF= BC=1,
在 Rt△BOC 中,由勾股定理得:OF= ,
∴S 扇形 OBC= ,S△BOC= ,
∴S 阴影=S 扇形 BOC﹣S△BOC= .
7.(1)证明:连接 OB,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC,
∵CB 平分∠ACE,
∴∠OCB=∠BCF,
∴∠OBC=∠BCF,
∴∠ABO=∠AEC=90°,
∴OB⊥AE,
∴AE 是
⊙
O 的切线;
(2)解:过 O 作 OM⊥CE 于 M,连接 OF,
则四边形 OBEM 为矩形,
∴OM=BE=8,
∵OM⊥CE,
∴∠COM= ∠COF,
∵∠CBF= ∠COF,
∴∠COM=∠CBF,
在 Rt△OCM 中,cos∠COM= ,
∴ ,
∴OC=10,
∴CM= = =6,
又∵ME=OB=OC=10,
在 Rt△CBE 中,BC= = .
8.(1)证明:连接 OD,
∵DE⊥CF,
∴∠DEC=∠DEF=90°.
∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠B,
∴∠C=∠ODB.
∴OD∥AC,
∴∠ODE=∠DEC=90°,
∴OD⊥DE,
又 OD 为
⊙
O 的半径.
∴DE 是
⊙
O 的切线.
(2)解:过点 O 作 OG⊥AF 于点 G,
∴∠OGE=∠OGA=90°,AG=GF= AF,
又∵∠DEG=∠ODE=90°,
∴四边形 OGED 为矩形,
∴OG=DE,OD=GE,
设 AG=GF=x,则 OA=OD=GE=GF+EF=x+2,OG=DE=AF﹣2=2x﹣2.
在 Rt△OAG 中,AG2+OG2=OA2,
即 x2+(2x﹣2)2=(x+2)2,
解得 x1=3,x2=0(舍去),
∴OD=3+2=5,
即
⊙
O 的半径为 5.
9.(1)证明:连接 OC,
∵AO=OC,
∴∠OCA=∠A,
∵∠BCP=∠A,
∴∠BCP=∠OCA,
∴∠PCO=∠ACB,
∵AB 是
⊙
O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠PCO=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC 是
⊙
O 的切线;
(2)解:∵OD∥BC,
∴∠AEO=∠ACB=90°,
∴OD⊥AC,
∴AE=CE,
∵OA=OB,
∴BC=2OE,
设 OE=x,
则 BC=2x,
∵DE﹣OE= ,
∴DE=x+ ,
∴OD=2x+ ,
∴AB=4x+1,
在 Rt△ABC 中,BC2+AC2=AB2,
∴(2x)2+152=(4x+1)2,
∴x=4 或 x=﹣ (舍去),
∴BC=8,AB=17,
∴△ABC 的周长为 8+17+15=40.
10.(1)证明:连接 OB,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∵OC⊥AB,
∴∠BDE=90°,
∴∠DBE+∠OEB=90°,
∵∠OEB=∠OAB,
∴∠OBA+∠DBE=90°,
∴∠OBE=90°,
∴OB⊥BE,
∴BE 是
⊙
O 的切线;
(2)解:∵OD⊥AB,AB=2 ,
∴AD= AB= ,
∵∠OAB=30°,
∴OD= AD=1,∠AOD=60°,
∴OA=2,∠AOB=2∠AOD=120°,
∴S△AOB= AB×OD= ×1= ,S 扇形 AOB= =
π
,
∴阴影部分弓形的面积为 S 扇形 AOB﹣S△AOB=
π
﹣ .
11.(1)证明:∵AB 是
⊙
O 的切线,
∴OA⊥AB,
∴∠BAP+∠OAC=90°,
∵OC⊥OB,
∴∠OPC+∠OCA=90°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠BPA=∠OPC,
∴∠BAP=∠BPA,
∴BP=AB;
(2)解:作 BD⊥AP 于点 D,
∵
⊙
O 的半径为 8,
∴CO=OA=8,
在 Rt△OAB 中,AB= = =6,
∴BP=BA=6,
∴OP=OB﹣BP=4,
在 Rt△CPO 中,OP=4,CO=8,
∴CP= 4 ,
∵BA=BP,BD⊥AP,
∴AD=PD,∠BDP=90°=∠COP,
∵∠BPD=∠CPO,
∴△BPD∽△CPO,
∴ = ,即 = ,
解得,PD= ,
∴AP= .
12.(1)证明:连接 OD,
∵DE 是圆 O 的切线,
∴OD⊥DE,
由圆周角定理得,∠DOE=2∠A=45°,
∴OE= OD,
∵CD∥AB,
∴∠ODC=∠A=45°,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC=45°,
∴CD= OD,
∴CD=OE,
∵CD∥OE,
∴四边形 COED 是平行四边形;
(2)解:∵CD=2 ,
∴OD= CD=2,OE=CD=2 ,
∴BE=OE﹣OB=2 ﹣2,
的长= = ,
∴围成阴影部分图形的周长=2+2 ﹣2+ =2 + .
13.(1)证明:∵直线 AB 与
⊙
O 相切于点 B,
∴OB⊥AB,
∴∠ABO=90°,
∵OA⊥AC,
∴∠OAC=90°,
∵∠OBC+∠ABC=90°,∠ACP+∠APC=90°,
∵OB=OP,
∴∠APC=∠OPB=∠OBP,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)解:过点 B 作 BD⊥OP 于 D,
在 Rt△OBA 中,AB= = =4,
∴AC=AB=4,
∴PC= = =2 ,
∵S△ABC= ×OB×AB= ×OA×BD,
∴ ×3×4= ×5×BD,
解得,BD= ,
∵∠BDP=∠CAP=90°,∠BPD=∠CPA,
∴△BDP∽△CAP,
∴ = ,即 = ,
解得,PB= .
14.(1)证明:∵OB=OC,
∴∠B=∠OCB,
∵CF=EF,
∴∠FCE=∠FEC,
∵∠BED=∠FEC,
∴∠BED=∠FCE,
∵DF⊥AB,
∴∠BDE=90°,
∴∠B+∠BED=90°,
∴∠OCB+∠FCE=90°,
∴∠OCF=90°,
∴CF 是
⊙
O 的切线;
(2)解:∵AB 是
⊙
O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∵AB=13,tanA= ,
∴设 BC=12x,AC=5x,
∴AB=13x=13,
∴x=1,
∴BC=12,AC=5,
∵EB= CB,
∴BE=4,
∵∠ACB=∠BDE=90°,∠B=∠B,
∴△BDE∽△BCA,
∴ ,
∴ ,
∴DE= ,
过 F 作 FH⊥CE 于 H,
∵CF=EF,
∴EH= CE=4,
∵∠EHF=∠BDE=90°,∠FEH=∠BED,
∴△EFH∽△EBD,
∴ ,
∴ ,
∴EF= ,
∴CF=EF= .
15.解:(1)连接 OD,如图:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∴∠C=∠ODB,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥AC,
∴直线 DF 是
⊙
O 的切线;
(2)连接 AD,如图:
∵AB 为
⊙
O 直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵DF⊥AC,
∴∠DAC=90°﹣∠ADF=∠FDC,
而∠C=∠C,
∴△ADC∽△DFC,
∴ = ,即 CD2=CF•AC,
∵AB=AC,∠ADB=∠ADC=90°,
∴CD= BC,
∴( BC)2=CF•AB,
∴BC2=4CF•AB;
(3)连接 AD,OE,如图:
∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°,
∴∠C=∠B=67.5°,
∴∠BAC=45°,
∵OA=OE,
∴∠AOE=90°,
∵
⊙
O 的半径为 2,
∴S 扇形 AOE=
π
,S△AOE=2,
∴S 阴影=S 扇形 AOE﹣S△AOE=
π
﹣2.