2021年九年级中考数学三轮冲刺专题:《圆》解答题冲刺练习(一)
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2021年九年级中考数学三轮冲刺专题:《圆》解答题冲刺练习(一)

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资料简介
2021 年九年级中考数学三轮冲刺专题:《圆》 解答题冲刺练习(一) 1.如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙ O,AC 是直径,AB=BC,过点 B 作 BF∥AC 交 DC 的延 长线于点 F. (1)求证:BF 是 ⊙ O 的切线; (2)若 AC=2 , = ,求 BF 的值. 2.已知,AB 为 ⊙ O 的直径,PA,PC 是 ⊙ O 的的切线,切点分别为 A,C,过点 C 作 CD ∥AB 交 ⊙ O 于 D. (1)如图 1,当 P,D,O 共线时,若半径为 r,求证 CD=r; (2)如图 2,当 P,D,O 不共线时,若 DE=2,CE=8,求 tan∠POA. 3.在△ABC 中,∠B=90°,D 为 AC 上一点,以 CD 为直径的 ⊙ O 与 AB 相切于点 E,与 BC 相交于点 F,连接 CE. (Ⅰ)如图①,若∠ACE=27°,求∠A 和∠ECB 的大小; (Ⅱ)如图②,连接 EF,若 EF∥AC,求∠A 的大小. 4.已知 AB 是 ⊙ O 的直径,C 是 ⊙ O 上一点,过点作 ⊙ O 的切线,交 AB 的延长线于点 P. (Ⅰ)如图①,连接 AC,BC,若 BP=OB,求∠A 和∠P 的大小; (Ⅱ)如图②,过点 P 作 ⊙ O 的切线 PD,切点为 D,连接 CD,BD,若∠BDC=32°, 求∠BDP 的大小. 5.如图,AB 为 ⊙ O 的直径,点 C 在 ⊙ O 上,点 D 为线段 BA 的延长线上一点,连接 DC, 过点 O 作 OE∥AC 交 DC 延长线于点 E,交 BC 于点 F,且满足∠B=∠E. (1)求证:DC 是 ⊙ O 的切线; (2)若 AB=8,AC=4,求 EF 的长. 6.如图,AB 是 ⊙ O 的直径,点 C 和点 D 是 ⊙ O 上的两点,连接 CB,CD,BD,过点 C 作 射线交 AB 的延长线于点 E,使∠BCE=∠BDC. (1)求证:CE 是 ⊙ O 的切线; (2)若 BC=BE=2,求阴影部分的面积. 7.如图,已知 Rt△ACE 中,∠AEC=90°,CB 平分∠ACE 交 AE 于点 B,AC 边上一点 O, ⊙ O 经过点 B,C,与 AC 交于点 D,与 CE 交于点 F,连接 BF. (1)求证:AE 是 ⊙ O 的切线; (2)若 cos∠CBF= ,BE=8,求 BC 的长. 8.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的 ⊙ O 分别交 BC、AC 边于点 D、F.过点 D 作 DE⊥CF 于点 E. (1)求证:DE 是 ⊙ O 的切线; (2)AF﹣DE=2,EF=2,求 ⊙ O 的半径. 9.如图,AB 是 ⊙ O 的直径,C 是 ⊙ O 上的一点,以点 C 为顶点作∠BCP=∠A 与 AB 的延 长线交于点 P. (1)求证:PC 是 ⊙ O 的切线. (2)过点 O 作半径 OD∥BC 与 AC 交于点 E,若 DE﹣OE= ,AC=15,求△ABC 的 周长. 10.如图,AB 是 ⊙ O 的弦,半径 OC⊥AB 于点 D,点 E 在射线 OC 上,且∠OEB=∠OAB. (1)求证:BE 是 ⊙ O 的切线; (2)若 AB=2 ,∠OAB=30°,求图中阴影部分弓形的面积. 11.如图,点 B 为 ⊙ O 外一点,过点 B 作 ⊙ O 的切线,切点为 A,点 P 为 OB 上一点,连接 AP 并延长交 ⊙ O 于点 C,连接 OC,若 OC⊥OB. (1)求证:BP=AB; (2)若 OB=10, ⊙ O 的半径为 8,求 AP 的长. 12.如图,AB 是半圆的直径,弦 CD∥AB,过 D 点作圆 O 的切线 DE,与 AB 延长线相交 于点 E,连接 OC、AD,∠A=22.5°. (1)求证:四边形 COED 是平行四边形; (2)当 CD=2 时,求围成阴影部分图形的周长. 13.如图,已知直线 l 与 ⊙ O 相离,OA⊥l 于点 A,交 ⊙ O 于点 P,直线 AB 与 ⊙ O 相切于点 B,连接 BP 并延长,交直线 l 于点 C. (1)求证:AB=AC; (2)若 OB=3,PA=2,求线段 PB 的长. 14.如图,△ABC 是 ⊙ O 的内接三角形,AB 是 ⊙ O 的直径,D 是 AB 上一点过 D 作 AB 的 垂线交线段 BC 于点 E.点 F 在线段 DE 的延长线上,且满足 FC=FE. (1)求证:CF 是 ⊙ O 的切线, (2)当直径 AB=13,EB= CB,tanA= 时,求线段 CF 的长. 15.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的 ⊙ O 分别与 BC、AC 交于点 D、E,过点 D 作 DF⊥AC,垂足为点 F. (1)求证:直线 DF 是 ⊙ O 的切线; (2)求证:BC2=4CF•AB; (3)若 ⊙ O 的半径为 2,∠CDF=22.5°,求图中阴影部分的面积. 参考答案 1.(1)证明:连接 OB, ∵AC 是直径, ∴∠ABC=90°, ∵AB=BC, ∴∠ACB=45°, ∵OC=OB, ∴∠OBC=45°, ∵BF∥AC, ∴∠ACB=∠CBF=45°, ∴∠OBC=90°, ∴OB⊥BF, ∴BF 是 ⊙ O 的切线; (2)解:过点 C 作 CM⊥BF 于点 M,则四边形 OBMC 是矩形, ∴OB=MC= , ∵ = ,AC 为直径, ∴∠DAC=30°,∠ACD=60°, ∴∠DAB=75°, ∵四边形 ABCD 是圆内接四边形, ∴∠DAB=75°, ∴∠BCF=75°, ∴∠F=180°﹣∠BCF﹣∠CBF=180°﹣75°﹣45°=60°, ∴BM= ,MF=1, ∴BF=BM+MF= +1. 2.(1)证明:连接 OC, ∵PA,PC 是 ⊙ O 的的切线,切点分别为 A,C, ∴PA=PC,∠PAO=∠PCO=90°, 在 Rt△PAO 和 Rt△PCO 中, , ∴Rt△PAO≌Rt△PCO(HL), ∴∠POA=∠POC, ∵CD∥AB, ∴∠CDO=∠DOA, ∴∠CDO=∠COD, ∴CD=OC=r; (2)解:设 OP 交 CD 于 E, 连接 OC,过 O 作 OH⊥CD 于 H, 由(1)可知,Rt△PAO≌Rt△PCO, ∴∠POA=∠POC, ∵CD∥AB, ∴∠CEO=∠COE, ∴∠CEO=∠COE, ∴CE=CO=8, ∴CD=CE+ED=10, ∴CH=DH=5, ∴EH=3, ∴OH= = = , ∴tan∠POA=tan∠HEO= = . 3.解:(Ⅰ)∵AB 与 ⊙ O 相切, ∴OE⊥AB, ∴∠AEO=90°, ∵∠ACE=27°, ∴∠AOE=2∠ACE=54°, ∴∠A=90°﹣∠AOE=36°, ∵OE=OC, ∴∠OEC=∠OCE, ∵∠B=90°, ∴OE∥BC, ∴∠ECB=∠OEC, ∴∠ECB=27°; (Ⅱ)如图②,连接 OF, ∵OE∥BC,EF∥AC, ∴四边形 OEFC 为平行四边形, ∴OE=CF, ∴OC=OF=CF, ∴∠ACB=60°, ∴∠A=90°﹣∠ACB=30°. 4.解:(Ⅰ)如图①,连接 OC, ∵PC 是 ⊙ O 的切线, ∴∠OCP=90°, ∵BP=OB, ∴BC=OB, ∵OB=OC, ∴△BOC 为等边三角形, ∴∠BOC=60°, ∴∠A= ∠BOC=30°, ∴∠P=90°﹣∠COB=30°; (Ⅱ)如图②,连接 OC,OD, 设 CD 交 OP 于 E, ∵PC,PD 是 ⊙ O 的切线, ∴PC=PD,∠OCP=∠ODP=90°, ∵OC=OD, ∴OP 垂直平分 CD, ∴∠CEP=∠DEP=90°, ∵∠BDC=32°, ∴∠OBD=90°﹣∠BDC=58°, ∴∠BDP=90°﹣58°=32°. 5.(1)证明:连接 OC,如图所示: ∵AB 为 ⊙ O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠CAO+∠B=90°. ∵∠B=∠E, ∴∠E+∠CAO=90°, ∵OA=OC, ∴∠CAO=∠ACO, ∴∠E+∠ACO=90°, ∵OE∥AC, ∴∠ACD=∠E, ∴∠ACD+∠ACO=90°, ∴∠DCO=90°, ∴OC⊥DE, ∴DC 是 ⊙ O 的切线; (2)解:∵AB 为 ⊙ O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∵OE∥AC, ∴∠OFB=∠ACB=90°, ∵AB=8,AC=4, ∴BC= = =4 , ∵AC∥OF,OA=OB, ∴CF=BF= BC=2 , ∵∠B=∠E,∠ACB=∠CFE, ∴△ACB∽△CFE, ∴ , ∴ , ∴EF=6. 6.(1)证明:如图,连接 OC,过点 O 作 OF⊥BC 于点 F, 则∠OFC=90°, ∴∠BCO+∠COF=90°, ∵OB=OC,OF⊥BC, ∴∠COF= ∠BOC, 又∵∠BDC= ∠BOC, ∴∠COF=∠BDC, ∵∠BCE=∠BDC, ∴∠COF=∠BCE, ∵∠BCO+∠COF=90°, ∴∠BCO+∠BCE=∠OCE=90°, ∴OC⊥CE, ∵点 C 在 ⊙ O 上,即 OC 是 ⊙ O 半径, ∴CE 是 ⊙ O 的切线; (2)解:∵BC=BE=2, ∴∠E=∠BCE, ∵∠OBC=∠E+∠BCE, ∴∠OBC=2∠BCE, ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB=2∠BCE, 又∵∠OCB+∠BCE=90°, ∴∠BCE=30°,∠OCB=60°, ∴△BOC 是等边三角形, ∴OB=OC=BC=2,∠BOC=60°, ∴CF= BC=1, 在 Rt△BOC 中,由勾股定理得:OF= , ∴S 扇形 OBC= ,S△BOC= , ∴S 阴影=S 扇形 BOC﹣S△BOC= . 7.(1)证明:连接 OB, ∵OB=OC, ∴∠OCB=∠OBC, ∵CB 平分∠ACE, ∴∠OCB=∠BCF, ∴∠OBC=∠BCF, ∴∠ABO=∠AEC=90°, ∴OB⊥AE, ∴AE 是 ⊙ O 的切线; (2)解:过 O 作 OM⊥CE 于 M,连接 OF, 则四边形 OBEM 为矩形, ∴OM=BE=8, ∵OM⊥CE, ∴∠COM= ∠COF, ∵∠CBF= ∠COF, ∴∠COM=∠CBF, 在 Rt△OCM 中,cos∠COM= , ∴ , ∴OC=10, ∴CM= = =6, 又∵ME=OB=OC=10, 在 Rt△CBE 中,BC= = . 8.(1)证明:连接 OD, ∵DE⊥CF, ∴∠DEC=∠DEF=90°. ∵AB=AC, ∴∠C=∠B, ∵OD=OB, ∴∠ODB=∠B, ∴∠C=∠ODB. ∴OD∥AC, ∴∠ODE=∠DEC=90°, ∴OD⊥DE, 又 OD 为 ⊙ O 的半径. ∴DE 是 ⊙ O 的切线. (2)解:过点 O 作 OG⊥AF 于点 G, ∴∠OGE=∠OGA=90°,AG=GF= AF, 又∵∠DEG=∠ODE=90°, ∴四边形 OGED 为矩形, ∴OG=DE,OD=GE, 设 AG=GF=x,则 OA=OD=GE=GF+EF=x+2,OG=DE=AF﹣2=2x﹣2. 在 Rt△OAG 中,AG2+OG2=OA2, 即 x2+(2x﹣2)2=(x+2)2, 解得 x1=3,x2=0(舍去), ∴OD=3+2=5, 即 ⊙ O 的半径为 5. 9.(1)证明:连接 OC, ∵AO=OC, ∴∠OCA=∠A, ∵∠BCP=∠A, ∴∠BCP=∠OCA, ∴∠PCO=∠ACB, ∵AB 是 ⊙ O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠PCO=90°, ∴OC⊥PC, ∴PC 是 ⊙ O 的切线; (2)解:∵OD∥BC, ∴∠AEO=∠ACB=90°, ∴OD⊥AC, ∴AE=CE, ∵OA=OB, ∴BC=2OE, 设 OE=x, 则 BC=2x, ∵DE﹣OE= , ∴DE=x+ , ∴OD=2x+ , ∴AB=4x+1, 在 Rt△ABC 中,BC2+AC2=AB2, ∴(2x)2+152=(4x+1)2, ∴x=4 或 x=﹣ (舍去), ∴BC=8,AB=17, ∴△ABC 的周长为 8+17+15=40. 10.(1)证明:连接 OB, ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA, ∵OC⊥AB, ∴∠BDE=90°, ∴∠DBE+∠OEB=90°, ∵∠OEB=∠OAB, ∴∠OBA+∠DBE=90°, ∴∠OBE=90°, ∴OB⊥BE, ∴BE 是 ⊙ O 的切线; (2)解:∵OD⊥AB,AB=2 , ∴AD= AB= , ∵∠OAB=30°, ∴OD= AD=1,∠AOD=60°, ∴OA=2,∠AOB=2∠AOD=120°, ∴S△AOB= AB×OD= ×1= ,S 扇形 AOB= = π , ∴阴影部分弓形的面积为 S 扇形 AOB﹣S△AOB= π ﹣ . 11.(1)证明:∵AB 是 ⊙ O 的切线, ∴OA⊥AB, ∴∠BAP+∠OAC=90°, ∵OC⊥OB, ∴∠OPC+∠OCA=90°, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵∠BPA=∠OPC, ∴∠BAP=∠BPA, ∴BP=AB; (2)解:作 BD⊥AP 于点 D, ∵ ⊙ O 的半径为 8, ∴CO=OA=8, 在 Rt△OAB 中,AB= = =6, ∴BP=BA=6, ∴OP=OB﹣BP=4, 在 Rt△CPO 中,OP=4,CO=8, ∴CP= 4 , ∵BA=BP,BD⊥AP, ∴AD=PD,∠BDP=90°=∠COP, ∵∠BPD=∠CPO, ∴△BPD∽△CPO, ∴ = ,即 = , 解得,PD= , ∴AP= . 12.(1)证明:连接 OD, ∵DE 是圆 O 的切线, ∴OD⊥DE, 由圆周角定理得,∠DOE=2∠A=45°, ∴OE= OD, ∵CD∥AB, ∴∠ODC=∠A=45°, ∵OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC=45°, ∴CD= OD, ∴CD=OE, ∵CD∥OE, ∴四边形 COED 是平行四边形; (2)解:∵CD=2 , ∴OD= CD=2,OE=CD=2 , ∴BE=OE﹣OB=2 ﹣2, 的长= = , ∴围成阴影部分图形的周长=2+2 ﹣2+ =2 + . 13.(1)证明:∵直线 AB 与 ⊙ O 相切于点 B, ∴OB⊥AB, ∴∠ABO=90°, ∵OA⊥AC, ∴∠OAC=90°, ∵∠OBC+∠ABC=90°,∠ACP+∠APC=90°, ∵OB=OP, ∴∠APC=∠OPB=∠OBP, ∴∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC; (2)解:过点 B 作 BD⊥OP 于 D, 在 Rt△OBA 中,AB= = =4, ∴AC=AB=4, ∴PC= = =2 , ∵S△ABC= ×OB×AB= ×OA×BD, ∴ ×3×4= ×5×BD, 解得,BD= , ∵∠BDP=∠CAP=90°,∠BPD=∠CPA, ∴△BDP∽△CAP, ∴ = ,即 = , 解得,PB= . 14.(1)证明:∵OB=OC, ∴∠B=∠OCB, ∵CF=EF, ∴∠FCE=∠FEC, ∵∠BED=∠FEC, ∴∠BED=∠FCE, ∵DF⊥AB, ∴∠BDE=90°, ∴∠B+∠BED=90°, ∴∠OCB+∠FCE=90°, ∴∠OCF=90°, ∴CF 是 ⊙ O 的切线; (2)解:∵AB 是 ⊙ O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∵AB=13,tanA= , ∴设 BC=12x,AC=5x, ∴AB=13x=13, ∴x=1, ∴BC=12,AC=5, ∵EB= CB, ∴BE=4, ∵∠ACB=∠BDE=90°,∠B=∠B, ∴△BDE∽△BCA, ∴ , ∴ , ∴DE= , 过 F 作 FH⊥CE 于 H, ∵CF=EF, ∴EH= CE=4, ∵∠EHF=∠BDE=90°,∠FEH=∠BED, ∴△EFH∽△EBD, ∴ , ∴ , ∴EF= , ∴CF=EF= . 15.解:(1)连接 OD,如图: ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵OB=OD, ∴∠B=∠ODB, ∴∠C=∠ODB, ∴OD∥AC, ∵DF⊥AC, ∴OD⊥AC, ∴直线 DF 是 ⊙ O 的切线; (2)连接 AD,如图: ∵AB 为 ⊙ O 直径, ∴∠ADB=∠ADC=90°, ∵DF⊥AC, ∴∠DAC=90°﹣∠ADF=∠FDC, 而∠C=∠C, ∴△ADC∽△DFC, ∴ = ,即 CD2=CF•AC, ∵AB=AC,∠ADB=∠ADC=90°, ∴CD= BC, ∴( BC)2=CF•AB, ∴BC2=4CF•AB; (3)连接 AD,OE,如图: ∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°, ∴∠C=∠B=67.5°, ∴∠BAC=45°, ∵OA=OE, ∴∠AOE=90°, ∵ ⊙ O 的半径为 2, ∴S 扇形 AOE= π ,S△AOE=2, ∴S 阴影=S 扇形 AOE﹣S△AOE= π ﹣2.

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