福建省2021届高三5月高考适应性考试数学试题 含答案
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福建省2021届高三5月高考适应性考试数学试题 含答案

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资料简介
2021 届高三模拟考数学试卷 一、选择题 1.已知集合 A 、集合  2,3, ,B a b ,且  3,4A B  ,则下列结论正确的是( ) A.有可能 8a b  B. 8a b  C. 8a b  D. 8a b  2.设 i 为虚数单位,则复数 2 5i 1 iz    的虚部为( ) A. 3 2 B. 3 2  C. 9 2 D. 9 2  3.某次大学生知识大赛,某校代表队 3 人参赛,答 4 道题,每人至少答 1 道题,每题仅 1 人作答,则不同的题 目分配方案种数为( ) A.24 B.30 C.36 D.42 4.为美化环境,某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱,它的下面是一个直径为 1 m 、高为 3 m 的圆柱形物体, 上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵,那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为( ) (π取 3.1) A.1235 B.1435 C.1635 D.1835 5.某市有 15 个旅游景点,经计算,黄金周期间各个景点的旅游人数平均为 20 万,标准差为 s,后来经核实, 发现甲、乙两处景点统计的人数有误,甲景点实际为 20 万,被误统计为 15 万,乙景点实际为 18 万,被误统计 成 23 万;更正后重新计算,得到标准差为 s1,则 s 与 s1 的大小关系为( ) A. 1s s B. 1s s . C. 1s s D.不能确定 6.已知某物种经过 x 年后的种群数量 y 近似满足冈珀茨模型: 0.1 8 ( 0)xey k k     ,当 0x  时,y 的值表示 2021 年年初的种群数量.若  *t t N 年后,该物种的种群数量不超过 2021 年初种群数量的 1 4 ,则 t 的最小值为(参 考值: ln3 1.09 )( ) A.9 B.10 C.11 D.12 7.在 ABC 中, 4AB  , 6AC  , 3AC AM  ,CN NB  , 3AN BM    ,则 AB AC   ( ) A. 3 2 B.3 C.6 D.15 8.已知 ln 2 2a  , 1 eb  (e=2.718…为自然对数的底数), 2ln3 9c  ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A. a b c  B. a c b  C.b a c  D.b c a  二、多选题 9.已知方程 2 2 2 2 12 2 x y m m    表示的曲线是双曲线,其离心率为 e ,则( ) A. 2 2m   B.点 2,0 是该双曲线的一个焦点 C.1 2e „ D.该双曲线的渐近线方程可能为 2 0x y  10.若函数 ( ) sin(2 )f x x   对任意的 xR ,都有 ( ) ( )12f x f  ,则( ) A. ( )f x 的一个零点为 6x   B. ( )f x 在区间 5( , )12 12   上单调递减 C. ( )12f x  是偶函数. D. ( )f x 的一条对称轴为 5 12x   11.已知 0 0a b , ,且 4a b ab  ,则下列不等式正确的( ) A. 16ab  B. 2 6 4 2a b   C. 0a b  D. 2 2 1 16 1 2a b   12.下列命题中,正确的命题是( ) A.在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,p 为每次试验中事件 A 发生的概率,若    30, 20E X D X  ,则 2 3p  B.已知    0.34, 0.71P BA P B  ,则   0.37P BA  C.设随机变量 服从正态分布  0,1N ,若  1P p   ,则   11 0 2P p     D.某人在10次射击中,击中目标的次数为  ~ 10,0.8X X B, ,则当 8X  时概率最大 三、填空题 13.已知直线 3 1 0x y   与圆 2 2 2 3 0x y x    交于 A , B 两点,则 AB  ______. 14.已知 x 表示不超过 x 的最大整数,例如: 2.3 2 , 1.5 2   .在数列 na 中, [lg ]na n , n +N . 记 nT 为数列 na 的前 n 项和,则 2021T  ___________. 15.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看,蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成,中空柱状体的 底部是由三个全等的菱形面构成,菱形的一个角度是109 28 ,这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数 学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》.用数学的眼光去看蜂巢的结构, 如图,在正六棱柱 ABCDEF A B C D E    ﹣ 的三个顶点 , ,A C E 处分别用平面 BFM ,平面 BDO ,平面 DFN 截掉三个相等的三棱锥 M ABF ,O BCD ,N DEF ,平面 BFM ,平面 BDO ,平面 DFN 交于点 P , 就形成了蜂巢的结构.如图,设平面 PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为 ,则 cos  ________.(用 含 tan54 44 的代数式表示) 16.当 1 1, ,2 2x k k k      Z 时, ( )f x k .若函数 ( ) ( ) 1g x xf x mx   没有零点,则正实数 m 的取值 范围是___________. 四、解答题 17.已知 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且  3 cos 2 3 cosa C b c A  . (1)求角 A. (2)若 2 3b  , BC 边上的高为 3,求 c. 18.已知公差不为零的等差数列{ }na 的前 n 项和 nS 满足 4 8S a . (1)证明: 2 4 9, ,a a a 成等比数列; (2)若 1 2, 200ma S  ,求正整数 m 的最大值. 19.根据国际疫情形势以及传染病防控的经验,加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段,我国正在安全、 有序加快推进疫苗接种工作,某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式,积极开展疫苗接种 社会宣传工作,消除群众疑虑,提高新冠疫苗接种率,让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用,自宣传开 始后村干部统计了本村 200 名居民(未接种)5 天内每天新接种疫苗的情况,得如下统计表: 第 x 天 1 2 3 4 5 新接种人数 y 10 15 19 23 28 (1)建立 y 关于 x 的线性回归方程; (2)预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天? 参考公式:回归方程  y bx a  中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx         , a y bx   . 20.在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, M , N 分别为 BC , 1AB 的中点. (1)证明: //MN 平面 1 1ACC A ; (2)若 1 5AB AC AA   , 2BC  ,且 1A 在底面 ABC 上的正投影恰为点 M ,求二面角 1N BC C  的 正弦值. 21.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的离心率为 3 3 ,点 ,E F 分别为其下顶点和右焦点,坐标原点为O , 且 EOF△ 的面积为 2 . (1)求椭圆C 的方程; (2)是否存在直线l ,使得 l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点,且点 F 恰为 EAB 的垂心?若存在,求直线 l 的方 程,若不存在,请说明理由. 22.已知函数 ( ) ln ,f x x x ax a  R . (1)若 2( ) 0f x x   恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 1a   时,证明: 21 e( ) 4 x f x x x   . 2021 届高三模拟考数学试卷答案 1.B【详解】  2,3, ,B a b ,  3,4A B  , 4 B  ,若 4a  ,由集合中元素互异性知: 4b  , 8a b   ; 若 4b  ,同理可知: 4a  , 8a b   ;综上所述: 8a b  . 2.B 解: 2 22 5 2 ( 5) 3(1 ) 3 3 3 3 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2 i i iz ii i i i              ,所以复数 z 的虚部为 3 2  . 3.C【详解】由题意分配方案种数为 2 3 4 3 36C A  . 4.C【详解】圆柱侧面积为 12 3 32     ,半球的表面积为 21 14 =2 2 2       ,所以总面积为 7 10.852   ,所 以大约需要鲜花 10.85×150=1627.5 朵. 5.C【详解】由已知,两次统计所得的旅游人数总数没有变,即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的, 设为 x ,则        2 2 2 2 3 15 1 15 23 ...15s x x x x x x                  2 2 2 2 1 3 15 1 20 18 ...15s x x x x x x           ,若比较 s 与 1s 的大小,只需比较    2 215 23x x   与   2 220 18x x   的大小即可,而   2 2 215 23 754 76 2x x x x      ,    2 2 220 18 724 76 2x x x x      ,所以   2 215 23x x       2 220 18x x   ,从而 1s s . 6.C【详解】因为当 0x  时,y 的值表示 2021 年年初的种群数量,所以有 8y k ,即 2021 年年初的种群数量 为8k ,当  *t t N 年后,该物种的种群数量不超过 2021 年初种群数量的 1 4 ,所以有 0.1 0.1 0.1 0.1 2 2 1 18 2 log 8 log 284 38 t t te te k e ek            10.1 ln ln3 0.1 1.09 10.93t t t           ,所以 t 的最小值为 11, 7.B【详解】如图所示,因为 3AC AM  ,所以 1 3BM AM AB AC AB        . 又因为CN NB  ,所以 1 ( )2AN AC AB    ,所以 1 1 1 32 2 3AN BM AC AB AC AB                      , 即 2 21 1 1 36 2 3AC AB AB AC        ,又 2 222 36, 16AC AC AB AB       ,所以 3AB AC   . 8.C【详解】令   ln xf x x  ,所以   2 1 ln' xf x x  所以当  0,x e 时,  ' 0f x  ,   ln xf x x  单调递增; 当  ,x e  时,  ' 0f x  ,   ln xf x x  单调递减,因为  ln 2 2ln 2 ln 4 42 4 4a f    ,  1 ln eb f ee e    ,  2ln3 ln9 99 9c f   ,所以      4 9f e f f  ,即b a c  . 9.AC【详解】对于 A,因为方程 2 2 2 2 12 2 x y m m    表示的曲线是双曲线,所以  2 22 2 0m m   ,解得 2  2m  ,故选项 A 正确; 对于 B,将 2 2 2 2 12 2 x y m m    化为 2 2 2 2 12 2 y x m m    ,得焦点在 y 轴上,故选项 B 错误; 对于 C,因为 22 2 4m  „ ,所以  2 2 4 1,22e m   ,故选项 C 正确; 对于 D,因为双曲线的渐近线斜率的平方 2 2 2 2 12 mk m   … ,所以选项 D 错误. 10.ACD 解:函数 ( ) sin(2 )f x x   对任意的 xR ,都有 ( ) ( )12f x f  „ ,则当 12x  时,函数取得最大值, 故有 2 212 2k      ,即 2 3k    , k Z ,取 3   ,则 ( ) sin(2 )3f x x   . 令 6x   ,求得 ( ) 0f x  ,可得 ( )f x 的一个零点为 6x   ,故 A 正确;当 5( 12x   , )12  ,2 (3 2x     , )2  , ( )f x 单调递增,故 B 错误; ( ) sin(2 ) cos212 6 3f x x x       ,是偶函数,故C 正确;令 5 12x   , 求得 ( ) 1f x   ,为最小值,故 ( )f x 的一条对称轴为 5 12x   ,故 D 正确, 11.ABD【详解】因为 0 0a b , , 4 2 4 4ab a b ab ab    ,当且仅当 4a b 时等号成立,所以 16ab  , A 正确;由 4a b ab  得 4 01 ab a   , 1a  ,同理 4b  , 4 4 42 2 2( 1) 6 2 2( 1) 6 4 2 61 1 1 aa b a a aa a a                ,当且仅当 42( 1) 1a a    ,即 1 2a   时等号成立,B 正确; 5, 5a b  满足题意,但 0a b  ,C 错; 由 4a b ab  得 1 4 1a b   ,所以 2 2 2 1 16 1 42 1a b a b              ,当且仅当 2 2 1 16 a b  即 4b a 时等号成立,所 以 2 2 1 16 1 2a b   .D 正确. 12.BCD【详解】对于选项 A:随机变量服从二项分布  ,B n p ,   30E X  ,   20D X  ,可得 30np  ,  1 20np p  ,则 1 3p  ,选项 A 错误;对于选项 B: A A 为必然事件,所以 ( )B B A A BA BA    , 而 BA 与 BA互斥,    ( ) ( ) ( ) ( ) 0.71 0.34 0.37P B P BA P BA P BA P B P BA         ,选项 B 正 确; 对于选项 C:随机变量 服从正态分布  0,1N ,则图象关于 y 轴对称,若  1P p   ,则   10 1 2P p    ,     11 0 0 1 2P P p         ,选项 C 正确; 对于选项 D:因为在 10 次射击中,击中目标的次数为 X ,  ~ 10,0,8X B , 当 x k 时,对应的概率   10 10 0.2k k kP X k C     , 所以当 1k  时,      10 10 1 1 10 ( 1) 10 4 110.8 0.2 1 0.8 0.2 k k k k k k P X k kC P X k C k             , 由      4 11 11 P X k k P X k k     得 44 4k k  ,即 441 5k  ,因为 *k N ,所以1 8k  且 *k N ,又    0 1P X P X   ,即 8k  时,概率  8P X  最大,故选项 D 正确. 13. 2 3 【详解】圆 2 2 2 3 0x y x    化为 2 21 4x y   ,则圆心为 1,0 2r , 圆心到直线 3 1 0x y   的距离为 1 1 1 1 3 d     所以 2 22 2 4 1 2 3AB r d     14. 4956 【详解】当1 9n≤ ≤ 时,  lg 0na n  ;当10 99n  时,  lg 1na n  ,此区间所有项的和为 90 .当100 999n  时,  lg 2na n  ,此区间所有项的和为900 2 1800  .当1000 2021n  时,  lg 3na n  ,此区间所有项的和为1022 3 3066  .所以 2021 90 1800 3066 4956T     . 15. 3 3tan54 44 【详解】先证明一个结论:如图, ABC 在平面 内的射影为 ABC△ ,C AB C  的平 面角为 ( 0, 2      ),则 cos ABC ABC S S     . 证明:如图,在平面  内作 CE AB ,垂足为 E ,连接 EC ,因为 ABC 在平面 内的射影为 ABC△ , 故CC   ,因为 AB  ,故CC AB  ,因为CE AB E  ,故 AB 平面 ECC . 因为 EC  平面 ECC ,故C E AB  ,所以 CEC 为二面角的平面角,所以 CEC   . 在直角三角形CEC 中, cos cos ABC ABC SECCEC EC S        .由题设中的第二图可得: cos DBO DBC S S     . 设正六边形的边长为 a ,则 2 21 3 3 2 2 4DBCS a a   ,如图,在 DBO 中,取 BD的中点为W ,连接OW , 则OW BD ,且 3BD a , 109 28BOD    ,故 3 1 2 tan54 44OW a   ,故 21 3 1 3 132 2 tan54 44 4 tan54 44DBOS a a a       ,故 3cos 3tan54 44    . 16. 4 81, ,23 5          【详解】当 0x  时, (0) 1 0g    当 0x  时, ( ) 1 0xf x mx   可化为 1( )f x mx   作出函数 ( )f x 与 1( )h x mx   的图象由图可知当 0x  时,要使得函数 ( ) ( ) 1g x xf x mx   没有零点 必须满足 11 02h       ,解得1 2m  当 0x  时,要使得函数 ( ) ( ) 1g x xf x mx   没有零点必须满足 31 22h     或者 52 32h     ,解得 1 4 3 3m  或 8 13 5 5m  综上, 4 81, ,23 5m           17.(1) 6A  ;(2) 3c  或 6c  . 【详解】(1) ABC 中,∵ 3 cos (2 3 )cosa C b c A  ,由正弦定理得 3sin cos 2sin cos 3sin cosA C B A C A  ,∴ 3sin( ) 2sin cosA C B A  ,即 3sin 2sin cosB B A ;∵ B 为 ABC 内角,sin 0B  ,∴ 3cos 2A  ,又∵ A 为 ABC 内角, ∴ 6A  . (2)因为 1 1sin2 2ABC BCS bc A a h   将 2 3b  , 3BCh  , 1sin 2A  代入,得 3 3 ca  . 由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A   ,于是 2 2 23 3( ) (2 3) 2 2 33 2 c c c     ,即 2 9 18 0c c   , 解得 3c  或 6c  . 18.(1)证明见解析;(2)最大值为 8. 【详解】(1)设等差数列{ }na 的公差为 d,由 4 8S a ,得 1 14 6 7a d a d   ,即 13d a . 则 1 1( 1) (3 2)na a n d n a     ,所以 2 1 4 1 9 14 , 10 , 25 ,a a a a a a   所以 2 4 2 9a a a ,且 1 0a  ,所以 2 4 9, ,a a a 成等比数列. (2)若 1 2a  ,则 2 *1 1 1 13 6, (3 1) 3 ,2 6 12 m m a ad a S m m m m m             N ,因为 1 16  ,所以数 列{ }mS 是递增数列,当 8m  时, (3 1) 184 200m m   ;当 9m  时, (3 1) 234 200m m   . 所以正整数 m 的最大值为 8. 19.(1)  22 29 5 5y x  ;(2) 7 . 【详解】(1) 1 2 3 4 5 35x      , 10 15 19 23 28 195y      ,则 5 1 5 2 2 2 2 2 222 1 10 30 57 92 140 5 3 19 22 1 2 3 4 5 5 3 5 i i i i i x y nxy b x nx                     ,  22 2919 35 5a     , 故 y 关于 x 的线性回归方程  22 29 5 5y x  . (2) 200 80 160 % ,设 22 29 5 5na n  ,数列 na 的前 n 项和为 nS ,易知数列 na 是等差数列, 则  1 2 22 29 22 29 115 5 5 5 82 2 5 n n na aS n n n n             ,因为 6 127.2S  , 7 163.8S  , 所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要 7 天. 20.(1)证明见解析;(2) 2 5 5 . 解:(1)如图,连接 1NA , 1AC ,因为 N 为 1AB 的中点,且四边形 1 1ABB A 是平行四边形,所以 N 为 1A B 的 中点,又 M 为 BC 的中点,所以 1//MN AC , 又因为 MN  平面 1 1ACC A ,且 1CA  平面 1 1ACC A ,所以 //MN 平面 1 1ACC A ; (2)方法一:由(1)可知二面角 1N BC C  即为二面角 1 1A BC C  ,如图,连接 AM 和 1A M , 由 1A 在底面 ABC 上的正投影恰为 M ,所以 1A M  平面 ABC ,因此 1A M BC , 1A M AM , 又因为 AB AC ,且 M 为 BC 中点,故 BC AM ,即线段 AM , BC , 1MA 两两垂直, 以点 M 为坐标原点,AM ,BC , 1MA 所在直线分别为 x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 M xyz , 则  0,0,0M ,  1 0,0,1A ,  2,0,0A  ,  0, 1,0B  ,  0,1,0C ,对于平面 1A BC ,因为 AM  平面 1A BC , 且 N 平面 1A BC ,所以平面 NBC 的一个法向量为  2,0,0AM   , 设平面 1 1BCC B 的法向量为  , ,n x y z   ,因为  0,2,0BC   ,  1 1 2,0,1BB AA     , 由 1 0 0 n BC n BB        ,得 2 0 2 0 y x z     ,取 1x  ,则  1,0, 2n    , 设二面角 1N BC C  的平面角为 ,则 5cos 5 n AM n AM        , 因此二面角 1N BC C  的正弦值为 2 5 5 . (2)方法二:由(1)可知二面角 1N BC C  即为二面角 1 1A BC C  ,如图,连接 AM , 1A M , 取线段 1 1B C 的中点 P ,连接 1PA 和 PM ,因为 1 //AA MP 且 1AA MP ,所以四边形 1AMPA 为平行四边形, 因为 1A M  平面 ABC ,故 1A M BC .又因为 AB AC 且 M 为 BC 中点,所以 BC AM , 故 BC  平面 1AMPA ,因此 1BC A M , BC MP ,故 1A MP 为二面角 1 1A BC C  的平面角, 在 ABC 中, 2 2 2AM AB BM   ,在 1AMA 中, 1 90AMA   , 2AM  , 1 5AA  , 故 1 1 1 2 5sin sin 5 AMA MP AA M AA      ,即二面角 1N BC C  的正弦值为 2 5 5 . 21.(1) 2 2 16 4 x y  ;(2)存在, 2 9 2 5y x   . 解:(1)由题可知 2 2 2 3 3 1 22 c a bc a b c          ,解得 6 2 2 a b c       ,所以椭圆C 的方程为 2 2 16 4 x y  ; (2)假设满足条件的直线 l 存在,由    0, 2 , 2,0E F ,所以 2EFk  ,因为点 F 为 EAB 的垂心, 所以 AB EF ,所以 2 2ABk   ,设直线 l 的方程为 2 2y x t   ,代入 2 2 16 4 x y  , 得  2 27 6 2 6 4 0x tx t    ,(*),    2 2 26 2 4 7 6 4 96 672 0t t t           ,即 7 7t   , 记    1 1 2 2, , ,A x y B x y ,则   1 2 2 1 2 6 2 7 6 4 7 x x t t x x      ,由 AF BE⊥ ,得 1 2 21 2 1 2 y y xx      , 所以 1 2 1 1 2 22 2 0y y y x x x    ,将 1 1 2 2 2 2,2 2y x t y x t      代入上式,得     2 1 2 1 23 2 2 2 4 0x x t x x t t      ,所以       2 26 4 6 23 2 2 2 4 07 7 t tt t t         , 所以 25 18 0t t   ,解得 9 5t  ( 2t   舍去),代入(*)满足 0  ,所以直线l 的方程为 2 9 2 5y x   . 22.(1) 1( ,ln 2 ]2   ;(2)证明见解析. 【详解】(1)由 2( ) 0f x x   ,即 2ln 0x x ax x    恒成立,得 2 2lna x x   恒成立.令 2 2( ) ln , 0h x x xx    , 则由 2 3 3 3 1 4 4 ( 2)( 2)( ) 0x x xh x x x x x         得 2x  .当 (0,2)x 时, ( ) 0h x  , ( )h x 单调递减;当 (2, )x  时, ( ) 0h x  , ( )h x 单调递增,所以函数 ( )h x 在 2x  时取到最小值,即 min 1( ) (2) ln 2 2h x h   . 所以 1ln 2 2a   ,故 a 的取值范围是 1( ,ln 2 ]2   . (2)当 1a   时,要证 21 e( ) 4 x f x x x   ,即要证 21 eln 4 x x x x x x    ,由 ( ) ln , 0f x x x x x   , 得 ( ) 1 ln 1 ln 2f x x x      ,令 ( ) 0f x  ,则 2 1 ex  ,当 2 1(0, )ex 时, ( ) 0f x  , ( )f x 单调递减; 当 2 1( , )ex  时, ( ) 0f x  , ( )f x 单调递增,所以 ( )f x 在 2 1 ex  处取到极小值,也是最小值,即 min 2 2 1 1( ) ( )e ef x f   .令 21 e( ) 4 , 0 x g x x xx    ,则 2 2 (2 1)(2 1 e )( ) xx xg x x     ,令 2( ) 2 1 e xt x x   ,则 2 2( ) 2 2e 2(1 e )x xt x     ,当 0x  时, ( ) 0t x  ,所以 ( )t x 在 (0, ) 上单调递减, 所以 ( ) (0) 0t x t  ,令 ( ) 0g x  ,得 1 2x  ,当 1(0, )2x 时, ( ) 0g x  , ( )g x 单调递增;当 1( )2 ,x  时, ( ) 0g x  , ( )g x 单调递减,从而可得 max 1( ) ( ) 4 2e2g x g   , 易知 min max2 1( ) 4 2e ( )ef x g x     ,所以当 1a   时, 21 e( ) 4 x f x x x   .

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