下册第五章《相交线与平行线》同步单元解答典型习题（1）

第五章《相交线与平行线》同步单元解答典型习题（1） 1．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠AOC＝67.5°，OE 把∠BOD 分成两个角，且∠DOE： ∠BOE＝1：2． （1）求∠DOE 的度数； （2）若 OF 平分∠AOE，求证：OA 平分∠COF． 2．已知，点 O 在直线 AB 上，在直线 AB 外取一点 C，画射线 OC，OD 平分∠BOC．射线 OE 在直线 AB 上方，且 OE⊥OD 于 O． （1）如图 1，如果点 C 在直线 AB 上方，且∠BOC＝30°， ① 依题意补全图 1； ② 求∠AOE 的度数（0°＜∠AOE＜180°）； （2）如果点 C 在直线 AB 外，且∠BOC＝ α ，请直接写出∠AOE 的度数．（用含 α 的代数 式表示，且 0°＜∠AOE＜180°） 3．给下面命题的说理过程填写依据． 已知：如图，O 是直线 AB 上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线．对 OD⊥OE 说明理由． 理由：因为∠DOC＝ ∠AOC（ ）． ∠COE＝ ∠COB（ ）． 所以∠DOC+∠COE＝ ∠AOC+ ∠COB＝ （∠AOC+∠COB）（ ）． 所以∠DOE＝ ∠AOB＝ ×°＝90°（两角和的定义） 所以 OD⊥OE（ ）． 4．已知：如图，OC 是∠AOB 的角平分线． （1）当∠AOB＝60°时，求∠AOC 的度数； （2）在（1）的条件下，过点 O 作 OE⊥OC，求∠AOE 的度数； （3）当∠AOB＝ α 时，过点 O 作 OE⊥OC，直接写出∠AOE 的度数．（用含 α 的式子表示） 5．如图，点 O 是直线 AB、CD 的交点，OE⊥AB，OF⊥CD，OM 是∠BOF 的平分线． （1）填空： ① 由 OM 是∠BOF 的平分线，可得∠FOM＝∠ ； ② 若∠AOC＝34°，则∠BOD＝ 度； ③ 根据 ，可得∠EOF＝∠AOC； （2）若∠AOC＝ α ，求∠COM．（用含 α 的代数式表示，并写出过程） 6．如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，射线 OD 平分∠BOF，OE⊥CD 于点 O，∠AOC ＝30°． （1）求∠EOF 的度数； （2）试判断射线 OE 是否平分∠AOF，并说明理由． 7．如图，EF∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°． （1）直线 CD 与 AB 平行吗？为什么？ （2）若∠CEF＝68°，求∠ACB 的度数． 8．如图，AO∥CD，OB∥DE，∠O＝40°，求∠D 的度数． （1）请完成下列书写过程． ∵AO∥CD（已知） ∴∠O＝ ＝40°（ ） 又∵OB∥DE（已知） ∴ ＝∠1＝ °（ ） （2）若在平面内取一点 M，作射线 MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝ °． 9．如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，∠AON＝75°，BO⊥FO，OM 平分∠DOF．求 ∠BOD 的度数． 理由如下：∵∠BOM 与 是对顶角， ∴∠BOM＝∠AON＝75°（ ）． ∵BO⊥FO（已知）， ∴∠BOF＝ °（垂直的意义）， ∴∠FOM＝∠BOF﹣∠BOM＝ °． ∵OM 平分∠DOF（已知）， ∴∠DOM＝∠FOM＝ °（角平分线的意义）， ∴∠BOD＝∠BOM﹣∠DOM＝ °． 10．如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2． 在下列解答中，填空： 证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知）， ∴AB∥DE（ ）． ∴∠ABC＝∠BCD（ ）． ∵∠P＝∠Q（已知）， ∴PB∥（ ）（ ）． ∴∠PBC＝（ ）（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1＝∠ABC﹣（ ），∠2＝∠BCD﹣（ ）， ∴∠1＝∠2（等量代换）． 参考答案 1．解：（1）设∠DOE＝x，则∠BOE＝2x， ∵∠BOD＝∠AOC＝67.5°， ∴x+2x＝67.5°， 解得，x＝22.5°， ∴∠DOE＝22.5°； （2）∵∠BOE＝2x＝45°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝135°， ∵OF 平分∠AOE， ∴∠AOF＝67.5°， ∴∠AOF＝∠AOC， ∴OA 平分∠COF． 2．解：（1） ① 如图所示： ② ∵∠BOC＝30°，OD 平分∠BOC， ∴∠BOD＝ ∠BOC＝15°， ∵OD⊥OE， ∴∠DOE＝90°， 又∵点 O 在直线 AB 上， ∴∠AOE＝180°﹣90°﹣15°＝75°； （2）分两种情况： ① 当点 C 在直线 AB 上方时，如图 1， 同理可得，∠BOD＝ ，∠DOE＝90°， ∴∠AOE＝180°﹣90°﹣ ＝90°﹣ ； ② 当点 C 在直线 AB 下方时，如图 2， ∵OD 平分∠BOC， ∴∠BOD＝ α ， ∵OD⊥OE， ∴∠DOE＝90°， ∴∠BOE＝90°﹣ α ， 又∵点 O 在直线 AB 上， ∴∠AOE＝180°﹣（90°﹣ α ）＝90°+ α ． 综上所述，∠AOE 的度数为 90°﹣ 或 90°+ α ． 3．解：根据题意，可知前两个空分别为角平分线的定义，第三个空是利用上面等式右边的 代入计算，故属于等量代换，第四个空属于垂直的定义． 故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，垂直的定义． 4．解：（1）因为 OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB＝60° 所以∠AOC＝ ∠AOB＝30°． （2）如图，因为 OE⊥OC， 所以∠EOC＝90°， 又∠AOC＝30°， 所以∠AOE＝∠EOC+∠AOC＝120°， 当 OE′在 OA 的下方时，∠AOE′＝180°﹣120°＝60°， 综上所述，∠AOE 的度数为 120°或 60°． （3）因为 OE⊥OC，所以∠EOC＝90° 同法可得∠AOE＝90°+ 或∠AOE＝90°﹣ ． 5．解：（1） ① 由 OM 是∠BOF 的平分线，可得∠FOM＝∠BOM； ② 若∠AOC＝34°，则∠BOD＝34 度； ③ 根据同角的余角相等，可得∠EOF＝∠AOC； 故答案为：BOM，34，同角的余角相等； （2）∵∠AOC＝ α ， ∴∠BOD＝∠AOC＝ α ， ∵OF⊥CD， ∴∠BOF＝90°﹣∠BOD＝90°﹣ α ， ∵OM 是∠BOF 的平分线， ∴∠MOF＝ ∠BOF＝45°﹣ α ， ∵OF⊥CD， ∴∠COM＝90°+∠MOF ＝90°+45°﹣ α ＝135°﹣ α ． 6．解：（1）∵OD 平分∠BOF， ∴∠BOD＝∠DOF， ∵∠BOD＝∠AOC＝30°， ∴∠DOF＝30°， ∵EO⊥CD， ∴∠EOD＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣∠DOF＝60°． （2）OE 平分∠AOF． 理由：∵∠AOB＝180°，∠EOD＝90°， ∴∠AOE+∠BOD＝90°， ∵∠BOD＝30°， ∴∠AOE＝60°， ∵∠EOF＝60°， ∴∠AOE＝∠EOF， ∴OE 平分∠AOF． 7．解：（1）平行， 理由如下： ∵EF∥AB，∠EFB＝130°， ∴∠ABF＝180°﹣130°＝50°， ∵∠CBF＝20°， ∴∠CBA＝∠ABF+∠CBF＝70°， ∵∠DCB＝70°， ∴∠CBA＝∠DCB， ∴CD∥AB． （2）∵EF∥AB，∠CEF＝68°， ∴∠A＝68°， 由（1）知，CD∥AB， ∴∠ACD+∠A＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣68°＝112°， 又∵∠DCB＝70°， ∴∠ACB＝∠ACD﹣∠DCB＝112°﹣70°＝42°． ∴∠ACB 的度数为 42°． 8．解：（1）∵AO∥CD（已知）， ∴∠O＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等）， 又∵OB∥DE（已知）， ∴∠D＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：∠1，两直线平行，同位角相等，∠D，40°，两直线平行，同位角相等； （2）若在平面内取一点 M，作射线 MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝（40 或 140）°． 故答案为：（40 或 140）． 9．解：∵∠BOM 与∠AON 是对顶角， ∴∠BOM＝∠AON＝75°（ 对顶角相等）． ∵BO⊥FO（已知）， ∴∠BOF＝90°（垂直的意义）， ∴∠FOM＝∠BOF﹣∠BOM＝15°． ∵OM 平分∠DOF（已知）， ∴∠DOM＝∠FOM＝15°（角平分线的意义）， ∴∠BOD＝∠BOM﹣∠DOM＝60°． 故答案为：∠AON；对顶角相等；90；15；15；60． 10．证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知）， ∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）． ∵∠P＝∠Q（已知）， ∴PB∥（CQ）（内错角相等，两直线平行）． ∴∠PBC＝（∠BCQ）（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1＝∠ABC﹣（∠PBC），∠2＝∠BCD﹣（∠BCQ）， ∴∠1＝∠2（等量代换）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CQ，内错角相等， 两直线平行；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ．