云南省巍山彝族回族自治县第二中学高三数学高考前训练

高考前训练 一、单选题 1．已知集合  2| 2 3 0A x x x    ，  3, 2, 1,0,1,2B     ，则 A B  （ ） A． 3, 2, 1   B．{ }1,0,1,2- C． 1,2 D． 2, 1,0,1  2． 5 2x x 的展开式中，第 4 项的系数为（ ） A． 80 B．80 C．40 D． 40 3．已知i 为虚数单位，复数 z 满足  1 4 6i iz    ，则 z 的共轭复数 z 为（ ） A． 1 5i  B．1 5i C． 1 5i  D．1 5i 4．已知 㐠 logaha 㐠 a h 㐠 a a䁞 ，则 A． ൏ a ൏ B． ൏ ൏ a C． ൏ ൏ a D． a ൏ ൏ 5．若 103sin cos 5    ，那么 cos 3      （ ） A． 10 5 B． 10 5  C． 10 10 D． 10 10  6．函数   3 | |e x xf x  的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．在 䳌䁨 中， 䳌 㐠 ，BC 边上的高等于 䁞 䳌䁨 ,则 cos 㐠 （ ） A． 䁞 B． C． D． 䁞 8．等差数列 na 的首项为 1，公差不为 0．若 a2，a3，a6 成等比数列，则 na 前 6 项的和为 A．-24 B．-3 C．3 D．8 9．设函数 f(x)=cos(x+ 3  )，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线 x= 8 3  对称 C．f(x+π)的一个零点为 x= 6  D．f(x)在( 2  ,π)单调递减 10．在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB  A． 3 1 4 4AB AC  B． 1 3 4 4AB AC  C． 3 1 4 4 AB AC  D． 1 3 4 4 AB AC  11．已知曲线 e lnxy a x x  在点 1,ae 处的切线方程为 2y x b  ，则（ ） A． , 1a e b   B． , 1a e b  C． 1, 1a e b  D． 1, 1a e b   12．函数    sin 2f x x   （ 2   ）的图象向左平移 6  个单位后所得图象对应的函数是偶函数， 当 0, 2x      时，方程   0f x k  有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围为（ ） A． 0,1 B． 1 1,2 2     C． 1 ,12     D． 1 ,12     二、填空题 13．已知向量  0,4a  ，  2,6b  ，  ,2c x ，若 2 //a b c  ，则 x __________. 14．曲线 23( )e xy x x  在点 (0,0) 处的切线方程为___________． 15．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 2 1 4 6 1 3a a a ， ，则 S5=____________． 16．过抛物线 2 2y px （ 0p  ）的焦点 F 作直线 l 交抛物线于点 M，N，交抛物线的准线于点 P， 若 2PM PF  ，则直线 l 的倾斜角为__________. 三、解答题 17． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C   ． （1）求 A； （2）若 2 2a b c  ，求 sinC ． 18．2020 年是我国垃圾分类逐步凸显效果关键的一年.在国家高度重视，重拳出击的前提下，高强度、 高频率的宣传教育能有效缩短我国生活垃圾分类走入世界前列所需的时间，打好垃圾分类这场“持久 战”，“全民战”.某市做了一项调查，在一所城市中学和一所县城中学随机各抽取 15 名学生，对垃圾 分类知识进行问答，满分为 100 分，他们所得成绩如下： 城市中学学生成绩分别为：73 71 83 86 92 70 88 93 73 97 87 88 74 86 85 县城中学学生成绩分别为：60 64 71 91 60 76 72 85 81 72 62 74 73 63 72 （1）根据上述两组数据在图中完成两所中学学生成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两所中学学生成 绩的平均分及分散程度；（不要求计算出具体值，给出结论即可） （2）从城市中学成绩在 80 分以上的学生中抽取 4 名，记这 4 名学生的成绩在 90 分以上的人数为 X， 求 X 的分布列与数学期望. 19．如图，在等腰梯形 ABCD 中， 2AD  ， 4BC  ， 60ABC   ，E，F 分别为 BC ， AB 边 的中点.现将 CDE△ 沿着 DE 折叠到 PDE△ 的位置，使得平面 PDE  平面 ABED . （1）证明：平面 PEF  平面 PED ； （2）求二面角 P BE D  的余弦值. 20．已知函数   3 22f x x ax b   . （1）求  f x 的极大值点； （2）当 1a  ， 0b  时，若过点  1,P t 存在 3 条直线与曲线  y f x 相切，求 t 的取值范围. 21．已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P． （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若 3AP PB  ，求|AB|． 22．在平面直角坐标系中，曲线 1C ： cos , sin , x y      （α为参数）经过伸缩变换 2 , 3 x x y y      得到曲线 2C ， 在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 3 cos 2 sin 2 3     . （1）求曲线 2C 的普通方程； （2）设点 P 是曲线 2C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离 d 的最大值. 参考答案 1．B 解：不等式 2 2 3 0x x   ，得 1 3x   ，所以 1 3{ | }A x x    ， 因此  1,01,2A B   ， 2．A 解： 7 3 2 3 2 4 3 1 5= =C ( 2 ) 80T T x x x    ， 3．C 解：因为 4 6i (4 6i)(1 i) 1 5i1 i (1 i)(1 i)z          ，所以 1 5iz    ， 4．B 解： 㐠 loga ൏ log 㐠 h a 㐠 a 㐠 h ൏ a a䁞 ൏ a 㐠 h 则 ൏ ൏ h ൏ ൏ a ．故选 B． 5．D 解： 3 1 π 103sin cos 2 sin cos 2cos2 2 3 5                      ， ∴ π 10cos 3 10       ， 6．C 解：由 3 3 | | | | ( )( ) ( )e ex x x xf x f x       ，可知 ( )f x 为奇函数， 所以图象关于原点对称，排除 A，B； 令 ( ) 0f x  ，可知 0x  ，可知图象与 x 轴只有一个交点， 7．C 解：设 ᦙ 㐠 䳌 㐠 h䁨ᦙ 㐠 h䁨 㐠 sin 㐠 cos 㐠 hsin 㐠 hcos 㐠 cos 㐠 cos 㐠 ,故选 C. 8．A 解：设等差数列的公差为 0d  ，     22 3 2 6 1 2 1 1 5a a a d d d       ， 2 2d d  ，  0d  ，所以 2d   ，  6 6 56 1 2 242S        ，故选 A. 9．D 解：当 ,2x      时， 5 4,3 6 3x        ，函数在该区间内不单调. 10．A 解：  1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 4BE BA BD BA BC BA BA AC              1 1 1 3 1 2 4 4 4 4BA BA AC BA AC         ， 所以 3 1 4 4EB AB AC    11．D 解： ln 1,xy ae x    1| 1 2xk y ae    ， 1a e  将 (1,1) 代入 2y x b  得 2 1, 1b b    12．D 解： π( ) sin(2 ) | | 2f x x        的图象向左平移 6  个单位后得到 π πsin 2 sin 26 3x x                  ， 由于 πsin 2 3y x       为偶函数，所以 π ππ ( )3 2k k   Z ， 由于 π| | 2   ，所以 π 6   ，所以 π( ) sin 2 6f x x     ． 当 π0 2x     ， 时， π π 7π2 ,6 6 6x       ，所以 π 1( ) sin 2 ,16 2f x x             ， 令  π π 7π2 , , sin6 6 6t x g t t       ，作出其图象如图， 方程 ( ) 0f x k  有两个不同的实根时，等价于 ( ) 0g t k  有两个不同的实根，通过图象可知 1 ,12k     ， 13． 1 2 . 解：由题设得 2 (4,16)a b  ， 因为 ( 2 )a b c  ∥ ，所以 4 2 16 0x   ，解得 1 2x  14． 3 0x y  . 解： / 2 23(2 1) 3( ) 3( 3 1) ,x x xy x e x x e x x e       所以， / 0| 3xk y   所以，曲线 23( )e xy x x  在点 (0,0) 处的切线方程为 3y x ，即 3 0x y  ． 15． 121 3 . 解：设等比数列的公比为 q ，由已知 2 1 4 6 1 ,3a a a  ，所以 3 2 51 1( ) ,3 3q q 又 0q  ， 所以 3,q  所以 5 5 1 5 1 (1 3 )(1 ) 1213 1 1 3 3 a qS q     ． 16． π 3 或 2π 3 . 解： ,02 pF      ,设 ,02 pA    ,过 ,02 pA    作出抛物线准线，则| |AF p 过 M 作 MB 垂直于准线于 B ,则 / /MB x 轴 ∵ 2PM PF  ，F 为 PM 的中点，所以 ,02 pA    是 PB 的中点， AF 是 PMB△ 的中位线， 1 2AF MB ∴| | 2BM p ，即 2FM p ，∴| | 2 2| |PF p AF  ， ∴ π 6APF  ， π 3AFP  直线 l 的倾斜角为 π 3 或 2π 3 故答案为： π 3 或 2π 3 . 17．（1） 3A  ；（2） 6 2sin 4C  . 【详解】（1） 2 2 2 2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sinB C B B C C A B C      即： 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C   由正弦定理可得： 2 2 2b c a bc   2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc      0,A  3A   （2） 2 2a b c  ，由正弦定理得： 2 sin sin 2 sinA B C  又  sin sin sin cos cos sinB A C A C A C    ， 3A  3 3 12 cos sin 2sin2 2 2C C C     整理可得：3sin 6 3cosC C  2 2sin cos 1C C     2 23sin 6 3 1 sinC C    解得： 6 2sin 4C  或 6 2 4  因为 6sin 2sin 2sin 2sin 02B C A C     所以 6sin 4C  ，故 6 2sin 4C  . （2）法二： 2 2a b c  ，由正弦定理得： 2 sin sin 2 sinA B C  又  sin sin sin cos cos sinB A C A C A C    ， 3A  3 3 12 cos sin 2sin2 2 2C C C     整理可得：3sin 6 3cosC C  ，即3sin 3cos 2 3sin 66C C C        2sin 6 2C       由 2(0, ), ( , )3 6 6 2C C       ，所以 ,6 4 4 6C C       6 2sin sin( )4 6 4C      . 18．（1）茎叶图见解析，城市中学的平均分高于县城中学平均分，城市中学学生成绩比较集中，县 城中学学生成绩比较分散；（2）分布列见解析， 6( ) 5E X  . 【详解】 解：（1）茎叶图如图所示． 城市中学的平均分高于县城中学平均分， 城市中学学生成绩比较集中，县城中学学生成绩比较分散． （2）80 分以上的学生共有 10 名，93 分以上的学生共有 3 名， 由题可知 X 0 ，1，2，3， 4 7 4 10 C 35 1( 0) C 210 6P X     ， 3 1 7 3 4 10 C C 105 1( 1) C 210 2P X     ， 2 2 7 3 4 10 C C 63 3( 2) C 210 10P X     ， 1 3 7 3 4 10 C C 7 1( 3) C 210 30P X     ， X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 1 1 3 1 6( ) 0 1 2 36 2 10 30 5E X          ． 19．（1）见解析；（2） 5 5 . 【详解】 解：（1）证明：如图，连接 AE ， ∵E 为 BC 的中点，故 AD BE 且 =2AD BE ， 故四边形 ABED 为平行四边形， AB DE∥ ， 60PED   所以 PEDV 为等边三角形. 同理可证 ABE△ 为等边三角形， 所以 ,AE DE AD ADE  △ 为等边三角形， ∵在等腰梯形 ABCD 中， 2AD  ， 60ABC   ， ABE△ 为等边三角形，F 为 AB 的中点， 故 EF AB ，即 EF DE ． 又∵平面 PDE  平面 =ABED DE ，且平面 PDE  平面 ABED ， 故 EF  平面 PDE . 又∵ EF  平面 PEF ， 故平面 PEF  平面 PED . （2）取 DE 的中点 O，连接OP ，OA， ∵ PE PD ，∴ PO DE . 又∵平面 PDE  平面 =ABED DE ，且平面 PDE  平面 ABED ， ∴ PO  平面 ABED ， AED 为等边三角形，故 AO DE . 如图，以 O 为坐标原点， OA为 x 轴， OE 为 y 轴， OP 为 z 轴建立空间直角坐标系． (0,0, 3)P ， (0,1,0)E ， ( 3,2,0)B ， (0,1, 3)PE   ， ( 3, 2, 3)PB   . 设平面 PBE 的法向量为 ( , , )m x y z 故 3 00 0 3 2 3 0 y zm PE m PB x y z              ，， ， 解得 (1, 3, 1)m    ． 设平面 BED 的法向量为 (0 0 1)n  ， ， ， 则 | | 5|cos | 5| | | | m nm n m n          ， ， ∵ P BE D  为锐二面角， 故二面角 P BE D  的余弦值为 5 5 . 20．（1）见解析；（2） 17 1108     ， . 【详解】 解：（1） 2( ) 6 2 2 (3 )f x x ax x x a     ， 令 ( ) 0f x  ，得 0x  或 3 ax  ． 若 0a  ，则当 ( 0) 3 ax       ， ， 时， ( ) 0f x  ； 当 0 3 a     ， 时， ( ) 0f x  ， 故 ( )f x 在 ( 0)， ， 3 a     ， 上单调递增，在 3 a     ， 上单调递减， 此时 ( )f x 的极大值点为 0x  ； 若 0a  ，则当 (0 )3 ax        ， ， 时， ( ) 0f x  ； 当 03 ax     ， 时， ( ) 0f x  ， 故 ( )f x 在 3 a    ， ， (0 ) ， 上单调递增，在 03 a     ， 上单调递减， 此时 ( )f x 的极大值点为 3 ax  ； 若 0a  ， ( )f x 在 ( )  ， 上单调递增，无极值． （2）设过点 (1 )P t， 的直线与曲线 ( )y f x 相切于点 0 0( )x y， ， 则 3 2 0 0 02y x x  ，且切线斜率 2 0 06 2k x x  ， 所以切线方程为 2 0 0 0 0(6 2 )( )y y x x x x    ， 因此 2 0 0 0 0(6 2 )(1 )t y x x x    ，整理得 3 2 0 0 04 7 2 0x x x t    ， 构造函数 3 2( ) 4 7 2g x x x x t    ， 则“若过点 (1 )P t， 存在 3 条直线与曲线 ( )y f x 相切”等价于“ ( )g x 有三个不同的零点”， 2( ) 12 14 2g x x x    ， ( )g x 与 ( )g x 的关系如下表： x 1 6     ， 1 6 1 16      ， 1 (1 ) ， ( )g x + 0 − 0 + ( )g x  极大值  极小值  所以 ( )g x 的极大值为 1 17 6 108g t      ，极小值为 (1) 1g t  ， 要使 ( ) 0g x  有三个解，即 1 06g     且 (1) 0g  ，解得 17 1108 t   ． 因此，当过点 (1 )P t， 存在 3 条直线与曲线 ( )y f x 相切时， t 的取值范围是 17 1108     ， ． 21．（1）12 8 7 0x y   ；（2） 4 13 3 . 【详解】 （1）设直线 l 方程为： 3 2y x m  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y 由抛物线焦半径公式可知： 1 2 3 42AF BF x x     1 2 5 2x x   联立 2 3 2 3 y x m y x      得：  2 29 12 12 4 0x m x m    则  2 212 12 144 0m m     1 2m  1 2 12 12 5 9 2 mx x      ，解得： 7 8m   直线 l 的方程为： 3 7 2 8y x  ，即：12 8 7 0x y   （2）设  ,0P t ，则可设直线 l 方程为： 2 3x y t  联立 2 2 3 3 x y t y x      得： 2 2 3 0y y t   则 4 12 0t    1 3t   1 2 2y y   ， 1 2 3y y t 3A P P B   1 23y y  2 1y  ， 1 3y  1 2 3y y  则  2 1 2 1 2 4 13 4 131 4 4 129 3 3AB y y y y         22．（1） 2 2 14 9 x y  ；（2） 6 21 7 . 【详解】 解：（1）由题意得曲线 1C ： cos sin x y      ， ，（ 为参数）的普通方程为 2 2 1x y  . 由伸缩变换 2 3 x x y y      ， ，得 2 3 xx yy        ， ， 代入 2 2 1x y  ，得 2 2 14 9 x y   . ∴ 2C 的普通方程为 2 2 14 9 x y  （2）因为 cos sinx y    ， ，所以 3 cos 2 sin 2 3     可化为： 3 2 2 3 0x y   . ∴直线 l 的普通方程为 3 2 2 3 0x y   . 因为点 P 是曲线 2C 上的动点，所以设点 P 的坐标为 (2cos 3sin ) ， ， 则点 P 到直线 l 的距离 1 32 2 3 cos sin 32 2|2 3 cos 6sin 2 3| 3 4 7 d                   π2 2 3sin 36 7      当 πsin 16       时， max 6 21 7d  ， 所以点 P 到直线 l 距离 d 的最大值为 6 21 7 .