28.1 锐角三角函数
第1课时 正弦函数
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A
＝30°，BC＝35 m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，
即
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
A
B
C
分析：
2
1
AB
BCA
斜边
的对边
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡
铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷
灌．现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35 m，
那么需要准备多长的水管？
在上面的问题中，如果使出水口的高度为
50 m，那么需要准备多长的水管？
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论
这个三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 .
A
B
C
50 m30m
B '
C '
AB'＝2B'C'＝2×50＝1002
1
BA
CBA
斜边
的对边
2
1
在Rt△ABC中，∠C＝90°，因为∠A＝45°，所以
Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得
因此
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角
三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，
∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，
你能得出什么结论？ AB
BC
A
BC
BCAB
BCBCACAB
2
2 2222
，
2
2
2
1
2
BC
BC
AB
BC
2
2
综上可知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A
的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，
∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.
一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜
边的比是否也是一个固定值呢？
2
22
1
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'，所以
Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，因此
这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论
三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，
∠A＝∠A'，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
AB
BC
BA
CB
探究
A
B
C A'
B'
C'
，
BA
AB
CB
BC
，即
BA
CB
AB
BC
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与
斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即
c
aAA 斜边
的对边sin
例如，当∠A＝30°时，我们有
2
130sinsin A
当∠A＝45°时，我们有
2
245sinsin A
A
B
C
c a
b
对边斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
c
bBB 斜边
的对边sin
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
A
B
C A
3
4
13
B
C
5
典例精讲一 会用定义求锐角的正弦值.
练习
A
B
C
3
5
教材P64练习1、2
B
A
C
1
5
例2 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，sin A＝ ，
求AB，AC的长． 5
3
典例精讲二 在直角三角形中利用锐角的正弦值结合勾股
定理求三角形其余边的长.
练习 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，
BC＝2，求AB，AC的长．
3
1变式 如上图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，
AC＝2，求AB，BC的长．
3
1
1.判断下列结论是否正确，并说明理由：
质疑解惑 巩固知识
(1)在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，
sinA的值也扩大100倍；
(2)如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则
.4
10sin
BC
ACB
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，
下列比值中不等于sinA的是（ ）
CB
CD
AB
CB
CB
BD
AC
CD .D.CB..A
质疑解惑 巩固知识
变式思考：如图，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于
点D.若AC=5,CD=3,求sinA和sin∠BCD.
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，求sinB的值.
2
5
轻松上阵 灵活运用
2.如图AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则sin ∠ADC＝___
3. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，
求△ABC 的面积.
5 5
C
B
A
4
5
课堂小结
正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边sin A =
微信/支付宝扫码支付