人教版九年级数学上册24.1.4圆周角课件

一. 复习引入: 1.圆心角的定义? .O B C 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有 一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都 分别相等。 答:顶点在圆心的角叫圆心角 2.上节课我们学习了一个反映圆 心角、弧、弦三个量之间关系的 一个结论，这个结论是什么？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角． 什么叫做圆周角？ · A B C D E O 一、概念 辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗? C D E C D E C D E C D E 练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？ 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通 过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C， 他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、 丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和 ∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？ 甲O B A 丙D 乙C 丁E 它们之间有什么关系呢？ O B A D C E AOB AB 是 所对的圆心角 ⌒ ACB AB 是 所对的圆周角 ⌒ ADB AB 是 所对的圆周角 ⌒ AEB AB 是 所对的圆周角⌒ 类比圆心角探知圆周角 n 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. n 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么 关系？ n 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角 和圆心角之间有的关系. 你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗? 圆周角和圆心角的关系 n教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系. 图 23.1.11 （1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部． n 如图,观察圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大 小有什么关系? n 说说你的想法,并与同伴交流. ●O A B C B ●O A C ●O A B C ⌒ 探究 · C D A B O 同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数 恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． 三、 分别量一下图中 所对的两个 圆周角的度数，比较一下，再改 变动点C在圆周上的位置，圆周 角的度数有没有变化？你能发现 什么规律吗？ 再分别量出图中 所对的圆周 角和圆心角的度数，比较一下， 你什么发现？ AB AB 圆周角.gsp ⌒ ⌒ 1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相 等的角？ A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 ∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6 练 习 n 1.首先考虑一种特殊情况： n 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. n∵∠AOC是△ABO的外角， n∴∠AOC=∠B+∠A. n∵OA=OB， ●O A B C n∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC = ∠AOC. 2 1 你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半. 老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型. 四、同弧所对圆周角与圆心角的关系 n 如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样? n 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部 时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大 小关系会怎样? n老师提示:能否转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得: ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2 1 你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半. A B C D n∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 2 1 2 1 ●O A B C 四、同弧所对圆周角与圆心角的关系 n 如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样? n 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外 部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的 大小关系会怎样? n老师提示:能否也转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得: ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2 1 你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半. D n∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 2 1 2 1 A B C ●O A B C 四、同弧所对圆周角与圆心角的关系 n 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 : n同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半. ●O A B C ●O A B C ●O A B C 即 ∠ABC = ∠AOC. 2 1 B O A D C 如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB 分别是什么角？ 它们 有何共同点？ ∠ADB与∠ACB有什么关系？ 同弧 所对的圆周角相等.(等弧) 思考: 相等的圆周角所对的弧相等 吗? 在同圆或等圆中 都等于这条弧所对的圆心角的一半. 圆周角定理: A B C D 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等. 则 ∠ D=∠A ∴AB∥CD 如图, 若 AC = BD ⌒ ⌒ n 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°, 求∠A的大小. ●O B A C 解: ∠A = ∠BOC = 25°. 2 1 A BO C 如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿＿＿90 度 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90度的圆周角所对的弦是直径。 ·A B C1 O C2 C3 五、定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 定 理 半圆（或直径）所对的圆周 角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径． 推 论 2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多 少种方法？与同学交流一下． D A B C O O O · 方法一 方法二 方法三 方法四 A B 练 习 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？ 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它 们所对的弧一定相等． 六、 例 如图，⊙ O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙ O于D，求BC、AD、BD的长． 8610 2222  ACABBC 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， 2 2 10 5 2 (cm ) 2 2 AD BD AB      解：∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中， ∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD. .ACD BCD   七、例题 O A B C D能求出弦 CD的长吗？ 如果要求四 边形ADBC 的面积呢？ 3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） ·A B C O 求证： △ABC 为直角三角形. 证明： CO= AB, 1 2 以AB为直径作⊙ O， ∵AO=BO， ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙ O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB= ×180°= 90°. 1 2 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 1 2 且CO= AB ∴ △ABC 为直角三角形. 练 习 还有别的证法吗？ 练习:如图 AB是⊙ O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿. A BO C D 40° 3、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ， 求∠BOC的度数。 ∠BOC =140° 350 700  1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A  1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A    2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF, 弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC 4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为 (2x+100)°和(5x-30)°，则x=_ _； 3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则 ∠CAD=______； 20° 25° 练习： 如图，圆心角∠AOB=100°， 则∠ACB=___。 O A B C 作业：P88 习题24.1 11、12、14、15题