规律探索训练
1、一组按规律排列的数：
4
1 ，
9
3 ，
16
7 ，
25
13 ，
36
21，…… 请你推断第 9 个数是 ．
2、观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：
1，
4
3 ，
9
5 ，
16
7 ，
25
9 ， ，…
3、有一列数：
4
1,3
3,3
2,3
1,2
2,2
1,1 ……，第 9 个数是 .
4、观察下列一串真分数， 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4, , , , , , , , , ,2 3 3 4 4 4 5 5 5 5
……，则第 15 个数是______________
5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第 2005 个数是 。
6.如果有 2009 名学生排成一列，按 1，2，3，4，5，4，3，2，1，2，3，4，5，4，3，2，1，2，……的
规律报数，那么第 2009 名学生所报的数是_______
7.(2009 年牡丹江市)有一列数 1 2 3 4
2 5 10 17
，， ， ，…，那么第 7 个数是 ．那么第 n 个数是 ．
8. 观察下列各式；①、1 2 +1=1×2 ； ②、2 2 +2=2×3； ③、3 2 +3=3×4 ；………请把你猜想到的规
律用自然数 n 表示出来 。
9．观察下列等式，你发现了什么规律，
1×5+4=9，2×6+4=16，3×7+4=25，4×8+4=36……第 n 个等式为___________
10．（2007 内蒙古赤峰）观察下列各式：
2 215 1 (1 1) 100 5 225
2 225 2 (2 1) 100 5 625
2 235 3 (3 1) 100 5 1225
……依此规律，第 n 个等式（ n 为正整数）为
11．观察下列等式 9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，……这些等式反映出自
然数间的什么规律呢？设 n 表示自然数，请用含有 n 的等式表示出来。 .
12.观察下列等式：
2＝2＝1×2 2＋4＝6＝2×3 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝ 4×5 ……
（1） 可以猜想，从 2 开始到第 n（n 为自然数）个 连续偶数的和是__________；
（2） 当 n＝10 时，从 2 开始到第 10 个连续偶数的和是__________ __.
13．观察下列各式：3 1 =3，3 2 =9，3 3 =27，3 4 =81，3 5 =243，3 6 =729…你能从中发现底数为 3 的幂的个
位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：3 2004 的个位数字是 .
14．观察下列算式： 12 2 ， 22 4 ， 32 8 ， 42 16 ， 52 32 ， 62 64 ， 72 128 ，通过观
察，用你所发现的规律确定 272 的个位数字是 （ ）A. 2 B. 4 C.6 D. 8
15 观察下列各式： 1 2 3 4 5 6 7 82 2,2 4,2 8,2 16,2 32,2 64,2 128,2 256, …，请你根据
上述规律，猜想 108 的末位数字是_______ __.
16．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 5 个图形共有 个★，
第 6 个图形共有 个★．第 n 个图形共有 个★．
17. 一串有趣的图案按一定的规律排列（如图）：
按 此 规 律 画 出 的 第 2011 个 图 案
是 ：
18. 已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62；
④ 13＋23＋33＋43＝102 ；…………由此规律知，第⑤个等式是 ．第 n 个
等式是 ．
19. 223 214
111 ， 2233 324
1921 ， 22333 434
136321 ，…… …
(1)猜想填空：
4
1321 3333 n ( )2 ( )2
(2)若 23333 2404
1321 n ,则 n 的值为 .
20. 观察下列等式： 1
2
=1－ 1
2
， 2 2
1 1 112 2 2
， 2 3 3
1 1 1 112 2 2 2
，…请根据上面的规律计算：
2 3 10
1 1 1 1
2 2 2 2
____________.
21. （1）观察下列等式： 21 1 21 3 2 21 3 5 3 …
根据观察可得：1 3 5 2 1n _________.（n 为正整数）
（2）根据规律填代数式，1+2= 2 2 1 ;2
3 3 11 2 3 ;2
4 4 11 2 3 4 2
;…
1+2+3+…+n=______________.
22.根据规律填代数式：
13+23=(1+2)2 13+23+33=(1+2+3)2 13+23+33+43=(1+2+3+4)2 … 13+23+33+…+n3= .
23、（2009 重庆綦江）观察下列等式： 2 21.4 1 3 5 ； 2 22.5 2 3 7 ； 2 23.6 3 3 9 ; 2 24.7 4 3 11 ；
…………则第 n （ n 是正整数）个等式为________.
24（2011 内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有
个小圆. （用含 n 的代数式表示）
第 1 个图形 第 2 个图形 第 3 个图形 第 4 个图形
第 24题图
25.（2009 年娄底）王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第 n 个“中”字形图
案需 根火柴棒.
26.（2009 肇庆）观察下列各式： 1 1 111 3 2 3
， 1 1 1 1
3 5 2 3 5
， 1 1 1 1
5 7 2 5 7
，…，根据观
察计算： 1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 (2 1)(2 1)n n
＝ ．（n 为正整数）
27 （2009 年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形
中有黑色瓷砖 __________块，第 n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含 n 的代数式表示）．
28 观察下面的几个算式：①、1+2+1=4； ②、1+2+3+2+1=9； ③、1+2+3+4+3+2+1=16；……根据你所
发现的规律，请你直接写出第 n 个式子
29．（2011 湖南常德）先找规律，再填数：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 , , , ,1 2 2 3 4 2 12 5 6 3 30 7 8 4 56
............
1 1 1+ _______ .2011 2012 2011 2012
则
30 把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一
列，从上至下依次为 1、5、13、25、……，则第 10 个数为________。
[
（1） （2） （3）
31.一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那
么第 10 行从左边数第 5 个数等于 ．
第 1 行 1
第 2 行 －2 3
第 3 行 －4 5 －6
第 4 行 7 －8 9 －10
第 5 行 11 －12 13 －14 15
………………
32. （2011 广东肇庆）如图 5 所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下
去，则第 n （ n 是大于 0 的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．【答案】 )2( nn
33.规律排列的一串数：
1 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3, , , , , , , , , , , ,...1 3 3 3 5 5 5 5 5 7 7 7
中，第 98 个数是_____________
解：由题中数据可得，第 98 项即为 1+3+5+7+…+n=98，当 n=19 时，1+3+5+7+…+19=100，
所以第 98 项的分母为 19，而第 100 项为 ，所以第 98 项为-故答案为- ．
34(2005 年威海市中考题)一组按规律排列的数： ， ， ， ， ，…请你推断第 9 个数是
解析：这列数的分母为 2，3，4，5，6……的平方数，分子形成而二阶等差数列，依次相差 2，4，6，
8……故第 9 个数为 1+2+4+6+8+10+12+14+16＝73，分母为 100，故答案为 。
35.（2011 四川绵阳）观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有 120
个。
36.（2010 年安徽中考）下面两个多位数 1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一
位数字乘以 2，若积为一位数，将其写在第 2 位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第 2 位。对第 2
位数字再进行如上操作得到第 3 位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。
当第 1 位数字是 3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100 位的所有数字之和是（ ）
A. 495 B. 497 C. 501 D. 503
37.观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……
从第 1 个球起到第 2004 个球止，共有实心球 个。
这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔 10 个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。
每个循环节里有 3 个实心球。我们只要知道 2004 包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因
为 2004÷10=200（余 4）。所以，2004 个球里有 200 个循环节，还余 4 个球。200 个循环节里有 200×3=600
个实心球，剩下的 4 个球里有 2 个实心球。所以，一共有 602 个实心球。
38. 德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为 1，分母为正整数的分数）：
第一行 1
1
第二行 1
2
1
2
第三行 1
3
1
6
1
3
第四行 1
4
1
12
1
12
1
4
第五行 1
5
1
20
1
30
1
20
1
5
… …… ……
根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是： ．
39. （2010•盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是（ ）
A、38 B、52 C、66 D、74
40. （2009 年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角
形中白色三角形有 个 ．
41.（2009 年广西梧州）下图是用火柴棍摆成的边长分别是 1，2，3 根火柴棍时的正方形．当
边长为 n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为 s ，则 s ＝ ． （用
n 的代数式表示 s ）
第1个 第2个 第3个
1n 2n 3n
第 20 题图
……
n=1 n=2 n=3
42. 如图：是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆 20（即 n ＝20）根时，
需要的火柴棍总数为 根。
43.（2010•汕头）阅读下列材料：
1×2= 1/3（1×2×3-0×1×2），
2×3= 1/3（2×3×4-1×2×3），
3×4= 1/3（3×4×5-2×3×4），
由以上三个等式相加，可得：
1×2+2×3+3×4= 1/3×3×4×5=20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=
44.（2011 山东济宁）观察下面的变形规律：
21
1
＝1－ 1
2
；
32
1
＝ 1
2
－
3
1 ；
43
1
＝
3
1 －
4
1 ；……
解答下面的问题：
（1）若 n 为正整数，请你猜想
)1(
1
nn
＝ ；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：
21
1
＋
32
1
＋
43
1
＋…＋
20102009
1
.
45. 观察下列等式
1 111 2 2
， 1 1 1
2 3 2 3
， 1 1 1
3 4 3 4
，
将以上三个等式两边分别相加得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 11 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4
．
（1）猜想并写出： 1
( 1)n n
．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 2006 2007
；
② 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 ( 1)n n
．
（3）探究并计算： 1 1 1 1
2 4 4 6 6 8 2006 2008
．
46.计算：
（1） 1 1 1 1 1 1
2 6 12 20 30 9900
（2） 1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 99 101
（3）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2005 2006 2007 2008
(4)1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997．
（5） 4 8 12 16 40
1 3 3 5 5 7 7 9 19 21
47.填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C = ＿＿＿．[来源:Z.Com]
C
B
A
5
56
7
5
3
20
5
3
1
。则符合前面式子的规律，若
，，，
__________,1010
24
5524
5515
4415
44,8
338
333
223
22
2
2222
baa
b
a
b
48.已知：
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