人教版七年级数学上册满分冲刺突破：数轴类动点问题综合（三）

人教版七年级上册满分冲刺突破： 数轴类动点问题综合（三） 1．如图，直线 l 上有 AB 两点，AB＝18cm，点 O 是线段 AB 上的一点，OA＝2OB （1）OA＝ cm，OB＝ cm； （2）若点 C 是直线 AB 上一点，且满足 AC＝CO+CB，求 CO 的长； （3）若动点 P，Q 分别从 A，B 同时出发，向右运动，点 P 的速度为 3cm/s，点 Q 的速 度为 1cm/s．设运动时间为 ts，当点 P 与点 Q 重合时，P，Q 两点停止运动． ① 当 t 为何值时，2OP﹣OQ＝4； ② 当点 P 经过点 O 时，动点 M 从点 O 出发，以 4cm/s 的速度也向右运动．当点 M 追上 点 Q 后立即返回，以 4cm/s 的速度向点 P 运动，遇到点 P 后再立即返回，以 4cm/s 的速 度向点 Q 运动，如此往返．当点 P 与点 Q 重合时，P，Q 两点停止运动．此时点 M 也停 止运动．在此过程中，点 M 行驶的总路程是多少？ 2．如图 1，已知点 A、C、F、E、B 为直线 l 上的点，且 AB＝12，CE＝6．F 为 AE 的中点． （1）如图 1，若 CF＝2，则 BE＝ ．若 CF＝m，BE 与 CF 的数量关系是 ； （2）当点 E 沿直线 l 向左运动至图 2 的位置时，（1）中 BE 与 CF 的数量关系是否仍然 成立？请说明理由； （3）如图 3，在（2）的条件下，在线段 BE 上，是否存在点 D，使得 BD＝7，且 DF＝ 3DE？若存在，利用一元一次方程求出 DF 的长；若不存在，请说明理由． 3．如图，M 是线段 AB 上一点，且 AB＝16cm，C、D 两点分别从 M、B 同时出发，C 点以 1cm/s 的速度向点 A 运动，D 点以 3cm/s 的速度向点 M 运动，当一点到达终点时，另一 点也停止运动． （1）当 AM＝6cm，点 C、D 运动了 2s 时，求这时 AC 与 MD 的数量关系； （2）若 AM＝6cm，请你求出点 C、D 运动了多少 s 时，点 C、D 的距离等于 4cm； （3）若点 C、D 运动时，总有 MD＝3AC，求 AM 的长． 4．如图，AB＝12cm，点 C 在线段 AB 上，AB＝3BC，动点 P 从点 A 出发，以 4cm/s 的速度 向右运动，到达点 B 之后立即返回，以 4cm/s 的速度向左运动；动点 Q 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度向右运动，到达点 B 之后立即返回，以 1cm/s 的速度向左运动．设它们同时 出发，运动时间为 t 秒，当第二次重合时，P、Q 两点停止运动． （1）AC＝ cm，BC＝ cm； （2）当 t＝ 秒时，点 P 与点 Q 第一次重合；当 t＝ 秒时，点 P 与点 Q 第 二次重合； （3）当 t 为何值时，AP＝PQ？ 5．如图所示，线段 AB＝6cm，点 C 从点 P 出发以 1cm/s 的速度沿 AB 向左运动，点 D 从点 B 出发以 2cm/s 的速度沿 AB 向左运动（点 C 在线段 AP 上，D 在线段 BP 上） （1）若 C，D 运动到任意时刻都有 PD＝2AC，试说明 PB＝2AP； （2）在（1）的条件下，Q 是直线 AB 上一点，若 AQ﹣BQ＝PQ，求 PQ 的值； （3）在（1）的条件下，若 C，D 运动了一段时间后恰有 AB＝2CD，这时点 C 停止运动， 点 D 继续在线段 PB 上运动，M，N 分别是 CD，PD 的中点，求 MN 的值． 6．如图，C 为线段 AB 上一点，且 AC＝2BC，AC 的 比 BC 小 5． （1）求 AC，BC 的长； （2）点 P 从点 A 出发，以 1 个单位/秒的速度在线段 AB 上向点 B 运动，设运动时间为 t 秒（t＜10），D 为 PB 的中点，E 为 PC 的中点，已知 CD＝ DE，试求点 P 运动时间 t 的值． 7．如图 1，点 C 在线段 AB 上，图中有三条线段，分别为线段 AB，AC 和 BC，若其中一条 线段的长度是另外一条线段的 2 倍，则称点 C 是线段 AB 的“巧点”． （1）线段的中点 这条线段的“巧点”（填“是”或”不是”）； （2）若线段 AB＝12cm，点 C 是线段 AB 的“巧点”，则 AC＝ cm． 【解决问题】 （3）如图 2，已知 AB＝12cm，动点 P 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 运动， 点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BA 向点 A 运动，点 P，Q 同时出发，当其中一点 到达终点时，运动停止．设运动的时间为 ts，当 t 为何值时，点 P 为线段 AQ 的“巧点”， 并说明理由． 8．如图，P 是线段 AB 上一点，AB＝12cm，C、D 两点分别从 P、B 出发以 1cm/s、2cm/s 的速度同时沿直线 AB 向左运动（C 在线段 AP 上，D 在线段 BP 上），运动时间为 ts （I）若 C、D 运动 1s 时，且 PD＝2AC，求 AP 的长； （II）若 C、D 运动到任一时刻时，总有 PD＝2AC，AP 的长度是否变化？若不变，请求 出 AP 的长；若变化，请说明理由； （III）在（II）的条件下，Q 是直线 AB 上一点，且 AQ﹣BQ＝PQ，求 PQ 的长． 9．如图，射线 OM 上有三点 A，B，C，满足 OA＝40cm，AB＝30cm，BC＝20cm．点 P 从 点 O 出发，沿 OM 方向以 2cm/秒的速度匀速运动，点 Q 从点 C 出发在线段 CO 上向点 O 匀速运动，两点同时出发，当点 Q 运动到点 O 时，点 P，Q 停止运动． （1）若点 Q 运动速度为 3cm/秒，经过多长时间 P，Q 两点相遇？ （2）当 PB＝2PA 时，点 Q 运动到的位置恰好是线段 OB 的中点，求点 Q 的运动速度； （3）自点 P 运动到线段 AB 上时，分别取 OP 和 AB 的中点 E，F，求 的值． 10．如图，直线 a 上有 M、N 两点，MN＝12cm，点 O 是线段 MN 上的一点，OM＝3ON． （1）填空：OM＝ cm，ON＝ cm； （2）若点 C 是线段 OM 上一点，且满足 MC＝CO+CN，求 CO 的长； （3）若动点 P、Q 分别从 M、N 两点同时出发，向右运动，点 P 的速度为 3cm/s，点 Q 的速度为 2cm/s．设运动时间为 ts，当点 P 与点 Q 重合时，P、Q 两点停止运动． ① 当 t 为何值时，2OP﹣OQ＝4cm？ ② 当点 P 经过点 O 时，动点 D 从点 O 出发，以 4cm/s 的速度也向右运动，当点 D 追上 点 Q 后立即返回，以 4cm/s 的速度向点 P 运动，遇到点 P 后再立即返回，以 4cm/s 的速 度向点 Q 运动，如此往返，直到点 P、Q 停止运动时，点 D 也停止运动．求出在此过程 中点 D 运动的总路程是多少？ 参考答案 1．解：（1）∵AB＝18cm，OA＝2OB， ∴OA+OB＝3OB＝AB＝18cm， 解得：OB＝6cm， OA＝2OB＝12cm． 故答案为：12；6． （2）设 CO 的长是 xcm，依题意有： ① 当点 C 在线段 AO 上时，12﹣x＝x+6+x， 解得 x＝2； ② 当点 C 在线段 OB 上时，12+x＝x+6﹣x， 解得：x＝﹣6（舍去）； ③ 当点 C 在线段 AB 的延长线上时，12+x＝x+x﹣6， 解得 x＝18． 故 CO 的长为 2cm 或 18cm； （3）当运动时间为 ts 时，点 P 表示的数为 3t﹣12，点 Q 表示的数为 t+6． 当 3t﹣12＝t+6 时，t＝9， ∴0≤t≤9． ① ∵2OP﹣OQ＝4， ∴2|3t﹣12|﹣|t+6|＝4． 当 0≤t＜4 时，有 2（12﹣3t）﹣（6+t）＝4， 解得 t＝2； 当 4≤t≤9 时，有 2（3t﹣12）﹣（6+t）＝4， 解得 t＝6.8． 故当 t 为 2s 或 6.8s 时，2OP﹣OQ＝4． ② 当 3t﹣12＝0 时，t＝4， 4×（9﹣4）＝20（cm）． 答：在此过程中，点 M 行驶的总路程是 20cm． 2．解：（1）∵CE＝6，CF＝2， ∴EF＝CE﹣CF＝6﹣2＝4， ∵F 为 AE 的中点， ∴AE＝2EF＝2×4＝8， ∴BE＝AB﹣AE＝12﹣8＝4， 若 CF＝m， 则 BE＝2m， BE＝2CF； （2）（1）中 BE＝2CF 仍然成立． 理由如下：∵F 为 AE 的中点， ∴AE＝2EF， ∴BE＝AB﹣AE， ＝12﹣2EF， ＝12﹣2（CE﹣CF）， ＝12﹣2（6﹣CF）， ＝2CF； （3）存在，DF＝3DE． 理由如下：设 DE＝x，则 DF＝3x， ∴EF＝2x，CF＝6﹣2x，BE＝x+7， 由（2）知：BE＝2CF， ∴x+7＝2（6﹣2x）， 解得 x＝1， ∴DF＝3． 故答案是：4；2m；BE＝2CF． 3．解：（1） ∵AB＝16cm，AM＝6cm， ∴BM＝16﹣6＝10cm， ∵点 C、D 运动了 2s， ∴CM＝1×2＝2cm，BD＝3×2＝6cm， ∴AC＝AM﹣CM＝4cm，MD＝BM﹣BD＝10﹣6＝4cm， ∴AC＝MD； （2）∵AB＝16cm，AM＝6cm， ∴BM＝16﹣6＝10cm， 设点 C、D 运动了 ts， ∴CM＝tcm，BD＝3tcm， ∴MD＝BM﹣BD＝（10﹣3t）cm， ∴点 C、D 的距离等于 4cm， ∴CD＝CM+MD＝t+（10﹣3t）＝4， ∴t＝3 秒， 即：点 C、D 运动了 3s 时，点 C、D 的距离等于 4cm （3）∵C 点以 1cm/s 的速度向点 A 运动，D 点以 3cm/s 的速度向点 M 运动 ∴BD＝3CM， ∵MD＝3AC， ∴BM＝MD+BD＝3AC+3CM＝3（AC+CM）＝3AM， ∵AB＝AM+BM＝16cm， ∴AM+3AM＝16， ∴AM＝4cm． 4．解：（1）∵AB＝12cm，AB＝3BC ∴BC＝4，AC＝8 故答案为：8；4． （2）设运动时间为 t，则 AP＝4t，CQ＝t， 由题意，4t﹣t＝8，解得 t＝ ； 当点 P 与点 Q 第二次重合时有： 4t﹣12+8+t＝12，解得 t＝ ． 故当 t＝ 秒时，点 P 与点 Q 第一次重合；当 t＝ 秒时，点 P 与点 Q 第二次重合． 故答案为： ； ． （3）在点 P 和点 Q 运动过程中，当 AP＝PQ 时， 可得：2×4t＝8+t，解得 t＝ ； 故当 t 为 秒时，AP＝PQ． 5．解：（1）根据 C、D 的运动速度知：BD＝2PC． ∵PD＝2AC， ∴BD+PD＝2（PC+AC），即 PB＝2AP； （2）当点 Q 在 AB 上时，如图 1 ∵AQ﹣BQ＝PQ， ∴AQ＝PQ+BQ； 又∵AQ＝AP+PQ， ∴AP＝BQ， 又∵PB＝2AP， ∴PQ＝ AB＝2cm， 当点 Q'在 AB 的延长线上时， AQ′﹣AP＝PQ′ 所以 AQ′﹣BQ′＝PQ＝AB＝6cm． 综上所述，PQ＝2cm 或 6cm． （3）如图 2， 当 C 点停止运动时，有 CD＝ AB＝3cm， ∴AC+BD＝ AB＝3cm， ∴AP﹣PC+BD＝ AB＝3cm， ∵AP＝ AB＝2cm， ∴PC＝1cm， ∵M 是 CD 中点，N 是 PD 中点， ∴MN＝MD﹣ND＝ CD﹣ PD＝ PC＝ cm． 6．解：（1）设 BC＝a，则 AC＝2a， ， 解得，a＝10， ∴2a＝20， 即 AC＝20，BC＝10； （2）由题意可得， AP＝t，则 BP＝10+20﹣t＝30﹣t，CP＝20﹣t， ∴CE＝ ，BD＝ ， ∴CD＝BD﹣BC＝ （30﹣t）﹣10＝5﹣0.5t， DE＝CE﹣CD＝ （20﹣t）﹣（5﹣0.5t）＝5， ∵CD＝ DE， ∴5﹣0.5t＝ ×5， 解得，t＝6， 即点 P 运动时间 t 的值是 6． 7．解：（1）∵线段的长度是线段中线长度的 2 倍， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）∵若线段 AB＝12cm，点 C 是线段 AB 的“巧点”， ∴AC＝ AB＝ ×12＝4 或 AC＝ AB＝ ×12＝6 或 AC＝ AB＝ ×12＝8， 故答案为：4 或 6 或 8； （3）运动 ts 时，AP＝2t，AQ＝12﹣2t（0≤t≤6）， 由题意得：A 不可能为 P、Q 的“巧点”， 当 P 为 A、Q 的“巧点”时，AP＝ AQ 或 AP＝ AQ 或 AP＝ AQ， 即：2t＝ （12﹣2t）或 2t＝ （12﹣2t）或 2t＝ （12﹣2t）， 解得：t＝ 或 t＝ 或 t＝3； 综上所述，t 为 s 或 s 或 3s 时，点 P 为线段 AQ 的“巧点”． 8．解：（Ⅰ）根据 C、D 的运动速度可知：BD＝2cm，PC＝1cm， ∵AC+CP+PD+BD＝AB，且 PD＝2AC， ∴AC+1+2AC+2＝12， ∴AC＝3cm， ∴PA＝4cm； （Ⅱ）长度不发生变化， 理由如下： 根据 C、D 的运动速度可知：BD＝2PC， ∵AC+CP+PD+BD＝AB，且 PD＝2AC， ∴3AC+3PC＝12， ∴AP＝4cm， （Ⅲ）如图： ∵AQ﹣BQ＝PQ， ∴AQ＝PQ+BQ； 又∵AQ＝AP+PQ， ∴AP＝BQ， ∴PQ＝ AB＝4cm； 当点 Q'在 AB 的延长线上时， AQ′﹣AP＝PQ′， 所以 AQ′﹣BQ′＝PQ＝AB＝12cm． 综上所述，PQ＝4cm 或 12cm． 9．解：（1）设经过 ts，P、Q 两点相遇， ∴2t+3t＝40+30+20， 解得：t＝18， 答：经过 18s 后 P、Q 两点相遇． （2）设 Q 的速度为 v，经过 ts 后，点 Q 运动到的位置恰好是线段 OB 的中点 点 O 对应数轴上的 0，点 A 对应数轴上的 40，点 B 对应数轴上的 70，点 C 对应数轴上 的 90， ∴点 P 对应数轴上的 2t，点 Q 对应数轴上的 90﹣vt， ∵点 Q 运动到的位置恰好是线段 OB 的中点， ∴ ＝90﹣vt， ∴vt＝55， ∵PB＝2PA， ∴|2t﹣70|＝2|2t﹣40|， ∴解得：t＝5 或 t＝25， 当 t＝5s 时， 此时 v＝11， 而点 Q 到达 O 点所需要时间为 s＞5s， 当 t＝25 时， 此时 v＝ ， 而点 Q 到达 O 点所需要的时间为 ＝ ＞25s， 综上所述，当 v＝11 或 v＝ ． （3）设经过 ts 时，点 P 在 AB 之间， 点 O 对应数轴上的 0，点 A 对应数轴上的 40，点 B 对应数轴上的 70，点 C 对应数轴上 的 90， ∴点 P 对应数轴上的 2t， ∵OP 和 AB 的中点 E，F， ∴点 E 对应数轴上的 t，点 F 对应数轴上的 55， ∴EF＝55﹣t，AP＝2t﹣40，OB＝70， ∴原式＝ ＝2 10．解：（1）∵MN＝12cm，OM＝3ON． ∴3ON+ON＝12cm， ∴ON＝3cm， ∴OM＝9cm， 故答案为：9，3； （2）∵MC＝CO+CN， ∴9﹣OC＝OC+3+OC ∴OC＝2 （3） ① 若点 P 在 OM 上， ∵2OP﹣OQ＝4cm， ∴2（9﹣3t）﹣（3+2t）＝4 ∴t＝ 若点 P 在 ON 上， ∵2OP﹣OQ＝4cm， ∴2（3t﹣9）﹣（3+2t）＝4 ∴t＝ ∴综上所述：当 或 时，2OP﹣OQ＝4cm； ② 设点 P 从 O 点到追上点 Q 所用时间为 ys， 由题意可得：3y﹣2y＝3+2×3 ∴y＝9 ∴点 D 运动的总路程是＝4×9＝36cm．