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几何动点（特殊角的讨论）
1.掌握函数的解析式的确定方法；
2.明确动点中的特殊性；
3.综合运用多种数学思想，逐步形成数学应用和建模的意识.
【考纲要求】
1.掌握建立函数解析式的常规方法；
2.明确动点中的特殊性；
3.培养数形结合、分类讨论、转化化归、方程函数思想，解决实际应用的问题.
【知识点击】
1.如图 1，已知在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8 ㎝，BC=6 ㎝，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运
动，速度为 1 ㎝/S；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动,速度为 2cm/s．连接 PQ,设运动的时间为 t
（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，PQ∥CB？
（2）当 t 为何值时，PQ⊥AB？
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(3)当 t 为何值时,△APQ 为直角三角形？
（4）当 t 为何值时,△APQ 为等腰三角形？
（5）求△APQ 的面积（cm²）关于时间 t（s）的函数关系式.
（6）是否存在某一时刻 t，使 PQ 分△ACB 两部分的面积之比为 ？四边形△ 3:2: PQCBPQA SS 若存在，求出
此时 t 的值；若不存在，请说明理由.
（7）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 Rt△ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 t 的值；
若不存在，请说明理由.
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（8）是否存在某一时刻 t，使 PQ 的垂直平分线经过点 B？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明
理由.
（9）是否存在某一时刻 t，使 BQ 平分∠ABC？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由.
（10）连接 PC，并把△PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 CPQP' ,那么是否存在某一时刻 t，使四边形 CPQP'
为菱形？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由.
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【典型例题 1】含等腰三角形的动点
1.如图,已知在矩形 ABCD 中, , ,点 E 从点 D 出发,沿线段 DA 以每秒 1 个单位长的速度向
点 A 方向移动,同时点 F 从点 C 出发,沿射线 CD 方向以每秒 2 个单位长的速度移动,当 B,E,F 三点共线时,
两点同时停止运动.设点 E 移动的时间为 t(秒).
(1)求当 t 为何值时,两点同时停止运动;
(2)设四边形 BCFE 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围;
(3)求当 t 为何值时,以 E,F,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形;
(4)求当 t 为何值时, .
【对点演练 1】含等腰三角形的动点
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1.如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4 ，∠B=45°．动点 M 从 B 点出发沿线段
BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的
速度向终点 D 运动．设运动的时间为 t 秒．
（1）求 BC 的长；
（2）当 MN∥AB 时，求 t 的值；
（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．
2．如图，在△ABC 中，AB=6cm，AC=8cm，BC=12cm，动点 P 从点 B 出发，沿 BA 向 A 运动，运动速
度为 1cm/s，动点 Q 从点 C 出发，沿 CA 向 A 运动，运动速度为 2cm/s．P，Q 两个动点同时出发，t 表示
运动时间，在 0＜t≤4 时．
（1）求 t 为何值，△APQ 是等腰三角形．
（2）求 t 为何值，以 A、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似；
（3）线段 BC 上是否存在一点，使四边形 APDQ 是平行四边形？若存在，请直接写出 CD 的长度（不必
写具体求解过程）；若不存在，请说明理由．
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【典型例题 2】含直角三角形的动点
1.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝8cm，点 E，F，G 分别从点 A，B，C 三点同时出发，沿矩
形的边按逆时针方向移动，点 E，G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F
与点 G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第 t 秒时，△EFG 的面积为 S（cm2）．
（1）是否存在某一时刻 t,使得 S 的值是矩形 ABCD 面积的
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6 ?存在,请求出相应的 t 值;不存在,请说明理由;
（2）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E，B，F 为顶点的三角形与以 F，C，G 为顶点
的三角形相似？请说明理由
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【对点演练 2】含直角三角形的动点
1.已知：如图，△ABC 是边长 3cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC
方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动．设点 P 的运动时间为
t（s），解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?
（2）求四边形 APQC 的面积；是否存在某一时刻 t，使四边形 APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？
如果存在，求出相应的 t 值；不存在，说明理由；
2.如图，在 ABC△ 中，AB AC ，AD BC 于点 D ， 10cmBC ， 8cmAD .点 P 从点 B 出发，在线段 BC
上以每秒 3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2cm 的速
度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB 、 AC 、 AD 于 E 、 F 、 H ，当点 P 到达 C 时，点 P 与直线 m 同时停
止运动，设运动时间为 t 秒（ 0t ）
（1）当 t _________秒时，连接 DE 、 DF ，四边形 AEDF 为菱形；
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（2）求 PEF△ 的面积与 t 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 t ，使 PEF△ 为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存在，请说明理
由.
3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点 D 在 BC 上，且 CD=3cm，现有两个动点 P，
Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 AC 向终点 C 运动；点 Q 以 1.25 厘米/秒
的速度沿 BC 向终点 C 运动．过点 P 作 PE∥BC 交 AD 于点 E，连接 EQ．设动点运动时间为 t 秒（t＞0）．当
一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.
（1）连接 DP，t 为何值时，四边形 EQDP 能够成为平行四边形？
（2）t>1.6 时，设△EDQ 的面积为 y，求 y 与 t 的函数关系式；是否存在某一时刻 t 使△EDQ 的面积与
△AEP 的面积相等，若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由.
（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，△EDQ 为直角三角形？
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