初中数学 九年级下册 1 / 26
期末测试
一、单选题（共 10 题；共 30 分）
1.已知⊙O 的直径为 6 cm ，点 A 不在⊙O 内，则 OA 的长（ ）
A.大于 3 cm B.不小于 3 cm C.大于 6 cm D.不小于 6 cm
2.已知抛物线 2 2 3y x x ，下列判断正确的是（ ）
A.开口方向向上， y 有最小值是 2 B.抛物线与 x 轴有两个交点
C.顶点坐标是（ 1 ， 2 ） D.当 1x＜ 时， y 随 x 增大而增大
3.超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市顾客在收银台排队付款的等待时间，
并绘制成如下的频数分布直方图（图中等待时间 6 分钟到 7 分钟表示＞或等于 6 分钟而 7＜ 分钟，其它类
同）。这个时间段内顾客等待时间不少于 6 分钟的人数为（ ）
A.5 B.7 C.16 D.33
4.小明从如图所示的二次函数 2y ax bx c 的图象中，观察得出了下面五条信息：
① 0c＜ ，② 0abc＞ ，③ 0a b c ＞ ，④ 2 3 0a b ，⑤ 4 2 0a b c ＞ ，
你认为其中正确信息的个数有（ ）
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
初中数学 九年级下册 2 / 26
5.如果点 M（ 2 ， 1y ），N（ 1 ， 2y ）在抛物线 2 2y x x 上，那么下列结论正确的是（ ）
A. 1 2y y＜ B. 1 2 y y＞ C. 1 2y y D. 1 2y y
6.已知二次函数 2y ax bx c 的图象如图所示．下列结论：① 0abc＞ ；② 2 0a b ＜ ；③ 4 2 0a b c ＜ ；
④ 2 2a c b ＜ 其中正确的个数有（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知正方形内接于半径为 20，圆心角为90 的扇形（即正方形的各顶点都在扇形边或弧上），则正方形的
边长是（ ）
A.10 2 B. 2 10
C.10 2 或 2 10 D.10 2 或 4 10
8.如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，若 76AOB ，则 ACB 的度数为（ ）
A.19° B.30° C.38° D.76°
9.若一次函数 y ax b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 2y ax bx 的图象只可能是（ ）
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A.（A） B.（B） C.（C） D.（D）
10.下列命题中，是真命题的为（ ）
A.三个点确定一个圆
B.一个圆中可以有无数条弦，但只有一条直径
C.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
D.同弧所对的圆周角与圆心角相等
二、填空题（共 10 题；共 30 分）
11.如图所示，在 ABC△ 中， 4BC ，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，
交 AC 于点 F，且 80EAF ，则图中阴影部分的面积是________。
12.如图．在 ABC△ 中， 60A ， 5 cmBC 。能够将 ABC△ 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是
________ cm 。
13.已知点 11,A y ， 22,B y ， 32,C y 在函数 2 2( 1) 0.5y x 的图像上，试确定 1y ， 2y ， 3y 的大
小关系是________。
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14.下列说法：①弦是直径；②直径是弦；③过圆心的线段是直径；④一个圆的直径只有一条．其中正确的
是________（填序号）。
15.抛物线 2 0 0y ax bx a b＝ ＋ ＞ ， ＞ 的图象经过第________象限。
16.二次函数 2 0y ax bx c a 的部分图象如图所示，图象过点（ 1 ，0），对称轴为直线 2x ，下列
结论：（1）4 0a b ；（2）9 3a c b ＞ ；（3）8 7 2 0a b c ＞ ；（4）若点 13,A y 、点 2
1 ,2B y
、点 3
7 ,2C y
在该函数图象上，则 1 3 2y y y＜ ＜ ；（5）若方程 ( 1)( 5) 3a x x 的两根为 1 x 和 2x ，且 1 2x x＜ ，则 1 2x x＜ 1＜ ，
其中正确的结论是________。
17.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上， OD BC∥ ，若 1OD ，则 BC 的长为________。
18.如图所示，宽为 2 cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数
恰好为“2”和“8”（单位： cm ）则该圆的半径为________ cm 。
19.已知⊙O 的半径为 5，AB 是⊙O 的直径，D 是 AB 延长线上一点，DC 是⊙O 的切线，C 是切点，连接
AC，若 30CAB ，则 BD 的长为________。
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20.如图，已知⊙O 是等腰 Rt ABC△ 的外接圆，点 D 是 AC 上的一点，BD 交 AC 于点 E，若 4BC ， 4
5AD ，
则 AE 的长是________。
三、解答题（共 9 题；共 60 分）
21.如图，一块矩形草地的长为100 m ，宽为80 m ，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为 mx 的小路，这时
草坪的面积为 2my 。求 y 与 x 的函数关系式，并求出 x 的取值范围。
22.某学校 20 名数学教师的年龄（单位：岁）情况如下：29，42，58，37，53，52，49，24，37，46，42，
55，40，38，50，26，54，26，44，52。
（1）填写下面的频率分布表：
分组 频数 频率
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19.5～29.5
29.5～39.5
39.5～49.5
49.5～59.5
合计
（2）画出数据的频数分布直方图。
23.如图⊙O 是 ABC△ 的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 AD 上， 10AB ， 12BC ，求⊙O 的半径。
24.已知抛物线 C： 2 2 1 2y x m x m 。
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（1）若 1m ，抛物线 C 交 x 轴于 A，B 两点，求 AB 的长；
（2）若一次函数 y kx mk 的图象与抛物线 C 有唯一公共点，求 m 的取值范围；
25.已知⊙O 的半径为 1，等腰直角三角形 ABC 的顶点 B 的坐标为（ 2 ，0）， 90CAB ， AC AB ，
顶点 A 在⊙O 上运动。
（1）设点 A 的横坐标为 x ， ABC△ 的面积为 S ，求 S 与 x 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值与最小值；
（2）当直线 AB 与⊙O 相切时，求 AB 所在直线对应的函数关系式。
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26.为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统计，并
按照成绩从低到高分成 A，B，C，D，E 五个小组，绘制统计图如下（未完成），解答下列问题：
（1）样本容量为________，频数分布直方图中 a ________；
（2）扇形统计图中 D 小组所对应的扇形圆心角为 n ，求 n 的值并补全频数分布直方图；
（3）若成绩在 80 分以上（不含 80 分）为优秀，全校共有 2 000 名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
27.已知 ABC△ 中 90ACB ，E 在 AB 上，以 AE 为直径的⊙O 与 BC 相切于 D，与 AC 相交于 F，连接
AD。
（1）求证：AD 平分 BAC ；
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（2）连接 OC，如果 BAC ， 1CF 求 OC 的长。
28.如图，在扇形纸片 AOB 中， 10OA ， 36AOB ，OB 在桌面内的直线 l 上。现将此扇形沿l 按顺时针
方向旋转（旋转过程中无滑动），当 OA 落在 l 上时，停止旋转。求点 O 所经过的路线长。
29.如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 21
3y x bx c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于
点 C，直线 6y x 经过 A、C 两点。
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（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 是第二象限抛物线上的一个动点，过点 P 作 PQ AC∥ ，PQ 交直线 BC 于点 Q，设点 P 的横坐标
为 t ，点 Q 的横坐标为 m ，求 m 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，作点 P 关于直线 AC 的对称点点 K，连接 QK，当点 K 落在直线 12
5y x 上时，
求线段 QK 的长。
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期末测试
答案解析
一、
1.【答案】B
【解析】根据点与圆的位置关系，易得 OA 不小于 3 cm ，故选 B。
2.【答案】D
【解析】 22 2 3 1 2y x x x ， 1a ，抛物线开口向下，对称轴为直线 1x ，顶点坐标为（1，
2 ）， 4 12 8 0 ＜ ，抛物线与 x 轴没有交点，当 1x＜ 时， y 随 x 的增大而增大。故选 D。
3.【答案】B
【解析】由频数直方图可以看出：最后两组顾客等待时间不少于 6 分钟，人数为 5 2 7 。
4.【答案】C
【解析】①由二次函数 2y ax bx c 的图象开口向上可知 0a＞ ，图象与 y 轴交点在负半轴， 0c＜ ，正确；
②由图象可知 1x 时， 0y a b c ＞ ，正确；
③对称轴 02
bx a
＞ ， 0a＞ ， 0b＜ ， 0abc＞ ，正确；
④对称轴 1
2 3
bx a
， 3 2b a ， 2 3 6a b b ，错误；
⑤由图象可知 2x 时， 4 2 0y a b c ＞ ，正确。
所以①②③⑤四项正确。故选 C。
5.【答案】A
【解析】抛物线 2 2y x x 的对称轴是 2 12x
，
1 0a ＜ ，抛物线开口向下， 2 1 1 ＜ ＜ ，
1 2y y ＜ ，故选 A。
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6.【答案】D
【解析】抛物线开口向下， 0a ＜ ，抛物线的对称轴在 y 轴的左侧， 02
bx a
＜ ， 0b ＜ ，
抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， 0c ＞ ， 0abc ＞ ，（故①正确）；
1 02
b
a
＜ ＜ ， 2 0a b ＜ ，（故②正确）；
当 2x 时， 0y＜ ， 4 2 0a b c ＜ ，（故③正确）；
当 1x 时， 0y＞ ， 0a b c ＞ ，
当 1x 时， 0y＜ ， 0a b c ＜ ，
0a b c a b c ＜ ，即 0a b c a b c ＜ ， 2 2 0a c b ＜ ，（故④正确）。
综上所述，正确的个数有 4 个。故选 D。
7.【答案】D
【解析】如图 1 所示，连接 OD，设正方形 OCDE 的边长为 x ，
则在 Rt OCD△ 中， 2 2 2OD OC CD ，即 2 2 220 x x ，解得 10 2x ，
如图 2 所示，过 O 作 OG DE ，交 CF 于点 H，连接 OD，
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设 FH x ，
四边形 CDEF 是正方形，
OH CF ，
FH CH x ，
90AOC ，
CH OH ，
3OG x ，
在 Rt ODG△ 中，
2 2 2OD GD OG ，即 2 2 2 20 (3 )x x ，解的 2 10x ，
2 4 10CF x ，故选 D。
8.【答案】C
【解析】⊙O 是 ABC△ 的外接圆， 76AOB ，
1 1 76 382 2ACB AOB 。
故选 C。
9.【答案】C
【解析】 y ax b 的图象经过二、三、四象限， 0a ， 0b ，抛物线开口方向向下，
抛物线对称轴为直线 02
bx a
＜ ，对称轴在 y 轴的左边，纵观各选项，只有 C 选项符合。
故选 C。
10.【答案】C
【解析】A、不在同一直线上的三点可以确定一个圆，错误；
B、经过圆心的弦都是圆的直径，圆有无数条直径，错误；
C、圆是最特殊的平面图形，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
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D、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，错误。
真命题为 C。故选 C。
二、
11.【答案】 94 8
【解析】连结 AD，如图，
⊙A 与 BC 相切于点 D，
AD BC ，
ABCS AD BC △ ，
ABC AEFS S S 阴影部分 扇形△
21 80 22 42 360
94 8
。
故答案为 94 8
。
12.【答案】 10 3
3
【解析】设圆的圆心为点 O，能够将 ABC△ 完全覆盖的最小圆是 ABC△ 的外接圆，
在 ABC△ 中， 60 , 5 cmA BC
∴ 120BOC ，
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作 OD BC 于点 D，则 90ODB ， 60BOD
5
2BD ， 30OBD
5
2
sin60OB ，得 5 3
3OB ，
10 32 3OB ，
即 ABC△ 外接圆的直径是 10 3 cm3
，
故答案为 10 3
3
。
13.【答案】 1 3 2y y y＞ ＞
【解析】函数 22 1 0.5y x 的图象开口向上，对称轴为直线 1x ，在对称轴的左侧，y 随 x 增大
而减小．对称轴为直线 1x ，A（1， 1y ）关于对称轴的对称点为 A （ 3 ， 1y ）。
3 2 2 1 ＜ ＜ ＜ ， 1 3 2y y y ＞ ＞ 。故答案为 1 3 2y y y＞ ＞ 。
14.【答案】②
【解析】过圆心的弦是直径，所以①③错误；直径是弦，所以②正确；一个圆的直径有一条无数条，所以
④错误。故答案为②。
15.【答案】一、二、三
【解析】抛物线 2 ( )0 0y ax bx a b ＋ ＞ ， ＞ ，对称轴为 02
bx a
＜ ，抛物线开口向上， 0c ，与 y 轴交点为
（0，0）所以函数图像过一、二、三象限。
16.【答案】（1）（3）（5）
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【解析】（1）正确， 22
b
a
，
4 0a b 。故正确。
（2）错误， 3x 时， 0y＜ ，
9 3 0a b c ＜ ，
9 3a c b ＜ ，故（2）错误。
（3）正确，由图象可知抛物线经过（ 1 ，0）和（5，0），
0
25 5 0
a b c
a b c
，
解得 4
5
b a
c a
，
8 7 2 8 28 10 30a b c a a a a ，
0a ＜ ，
8 7 2 0a b c ＞ ，故（3）正确。
（4）错误，点 A 13 y ， 、点 B 2
1
2 y
， 、点 C 3
7
2 y
， ，
7 3 1 52 22 2 2 2
， ，
3 5
2 2
＜ ，
点 C 离对称轴的距离近，
3 2y y ＞ ，
0a ＜ ， 13 22
＜ ＜ ，
1 2y y ＜
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1 2 3y y y ＜ ＜ ，故（4）错误。
（5）正确． 0a ＜ ，
1 5 3 / 0x x a ＞ ，
即 1 5 0x x ＞ ，
故 1x ＜ 或 5x＞ ，故（5）正确。
正确的有三个，
故正确的是（1）（3）（5）。
17.【答案】2
【解析】 OD BC ∥ ，且 O 是 AB 的中点，
OD 是△ABC 的中位线，
2 2BC OD ，
故答案是 2。
18.【答案】 13 cm4
【解析】
设 cmOB r ，
刻度尺的宽为 2 cm ，
2OC r ，
另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，
6 3BC ，
在 Rt OBC△ 中，
2 2 2OB OC BC ，即 22 22 3r r ，解得 13 cm4r 。
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故答案为 13 cm4
。
19.【答案】5
【解析】连接 OC，BC，AB 是圆 O 的直径，DC 是圆 O 的切线，C 是切点， 90ACB OCD 。
30CAB ， 2 60COD A ， 2 10OD OC ， 10 5 5BD OD OB 。故答案为 5。
20.【答案】1
【解析】在等腰 Rt ABC△ 中， 4BC ，
AB 是⊙O 的直径， 2AB A ，
90D ，
4
5AD ， 4 2AB ，
28
5BD ，
D C ， DAC CBE ，
ADE BCE△ ∽△ ，
1
5
AE AD
BE BC
，即 5BE AE ，
在 Rt BCE△ 中， 2 2 2CE BC BE 即 2 2 2 (4 ) 4 (5 )AE AE
解得， 1AE ，故答案为 1。
三、
21.【答案】 2 180 8000 0 80y x x x ＜ ＜
【解析】设中间修筑两条互相垂直的宽为 mx 的小路，草坪的面积为 2my ，
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根据题意得出： 2 2100 80 80 100 180 8000 0 80y x x x x x x ＜ ＜
22.【答案】（1）频率分布表：
分组 频数 频率
19.5～29.5 4 0.2
29.5～39.5 3 0.15
39.5～49.5 6 0.3
49.5～59.5 7 0.35
合计 20 1.00
（2）画出数据的频数分布直方图如下：
23.【答案】如图，连接 OB，
AD 是 ABC△ 的高，
1 62BD BC ，
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在 Rt ABD△ 中， 2 100 36 8AD AB B ，
设圆的半径是 R，
则 8OD R ，
在 Rt OBD△ 中，根据勾股定理可以得到： 22 36 8R R ，
解得 25
4R 。
24.【答案】（1） 3AB
（2） 1 0m ≤ ≤ 时，一次函数 y kx mk 的图象与抛物线 C 有唯一公共点。
【解析】（1） 1m 时，抛物线为： 2 2y x x ，
令 0y 得到： 2 2 0x x ，解得 2x 或 1，
所以点 A（ 2 ，0），点 B（1，0），
所以 3AB 。
（2）由 2 (2 1) 2
y kx mk
y x m x m
消去 y 得到： 2 2 1 2 0x m k x m mk ，
一次函数 y kx mk 的图象与抛物线有唯一公共点，
0 ，
22 1 8 4 0m k m mk ，
整理得： 224 4 1m m k ，
21 0k ≥ ，
设 24 4y m m ，当 0y≥ 时， 1 0m ≤ ≤ ，
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1 0m ≤ ≤ 时，一次函数 y kx mk 的图象与抛物线 C 有唯一公共点。
25.【答案】（1） 3 22S x ，其中 1 1x ≤ ≤ ，S 的最大值为 3 22
，最小值为 3 22
（2） 2y x 或 2y x
【解析】（1）如图 1，连接 OA，过点 A 作 AE OB 于点 E，
在 Rt OAE△ 中， 2 2 2 21AE OE x ，
在 Rt BAE△ 中， 222 2 2 1 2 3 2 2AB BE x x x ，
21 1 1 33 2 2 22 2 2 2S AB AC AB x x ，其中 1 1x ≤ ≤ ，
当 1x 时，S 的最大值为 3 22
，当 1x 时，S 的最小值为 3 22
，
（2）①当点 A 位于第一象限时（如图 1），连接 OA，并过点 A 作 AE OB 于点 E，
直线 AB 与⊙O 相切， 90OAB ，
又 90CAB ， 180CAB OAB ，点 O、A、C 在同一条直线，
45AOB C ，即 90CBO ，
在 Rt OAE△ 中， 2
2OE AE ，点 A 的坐标为 2 2
2 2
， ，
又B 的坐标为（ 2 ，0），过 A、B 两点的直线为 2y x ，
②当点 A 位于第四象限时（如图 2），点 A 的坐标为 2 2
2 2
， ，
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B 的坐标为（ 2 ，0），∴过 A、B 两点的直线 2y x ，
综上所述，过 A、B 两点的直线为 2y x 或 2y x 。
26.【答案】（1）200 16
（2）
（3）样本 D、E 两组的百分数的和为1 25% 20% 8% 47% ，
2000 47% 940 （名）
答：估计成绩优秀的学生有 940 名。
【解析】（1）学生总数是 40 20% 200 （人），
则 200 8% 16a ；
故答案为 200；16；
（2） 70360 126200n
C 组的人数是： 200 25% 50 ，如图所示： ；
（3）样本 D、E 两组的百分数的和为1 25% 20% 8% 47% ，
2000 47% 940 （名）
答：估计成绩优秀的学生有 940 名。
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27.【答案】（1）证明：连接 OD， OD OA ， 1 2 ，
BC 为⊙O 的切线， 90ODB ， 90C ， ODB C ， OD AC ∥ ，
3 2 ， 1 3 ，AD 是 BAC 的平分线；
（2）解：连接 DF， 30B ， 60BAC ，
AD 是 BAC 的平分线， 3 30 ，BC 是⊙O 的切线， 3 30FDC ，
3 3CD CF ， 3 3AC CD ， 2AF ，
过 O 作 OG AF 于 G， 1GF AF ，四边形 ODCG 是矩形，
2CG ， 3OG CD ， 2 2 7OC OG CG 。
28.【答案】点 O 所经过的路线长 90 10 36 10 90 10 216 10 12180 180 180 180
。
29.【答案】（1）因为直线 6y x 经过 A，C 两点，
所以 A（ 6 ，0），C（0，6），
因为抛物线 21
3y x bx c 经过 A，C 两点，把 A（ 6 ，0），C（0，6）代入可得：
210 ( 6) 63
6
b c
c
，
解得： 1
6
b
c
，
所以二次函数解析式为： 21y 63 x x ，
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（2）因为 P 点在抛物线上，所以 P 点坐标是（ t ， 21 63t t ），Q 点在直线 BC 上，
设直线 BC 的解析式为 y kx b ，根据题意可得：
0 3
6
k b
b
，解得： 2
6
k
b
，
所以直线 BC 的解析式为： 2 6y x ，
因为 PQ AC∥ ，
所以可得为： 21 63t t t b 解得： 21 2 63b t t ，
所以直线 PQ 的直线解析式为： 21 2 63y x t t
，
将直线 PQ 和直线 BC 联立可求得 Q 的横坐标：
212 6 2 63x x t t
，
213 23x t t ，
21 2
9 3x t t ，
所以 21 2
9 3m t t ，
（3）根据题意可得：直线 QK 于直线 AC 垂直，可得：
21 63t t t b ，解得： 21 63b t ，
所以直线 QK 的解析式为： 21 63y x t
，
联立直线 QK 和直线 AC，可求得两直线的交点横坐标：
21 6 63x t x
，
初中数学 九年级下册 26 / 26
解得： 22
3x t ，
所以交点纵坐标为： 22 63y t ，
根据中点坐标公式可得 K 的坐标为 24 , 63 t t t t
，
因为 K 在 12
5y x 上，
所以 2 212 46 5 3t t t t
，
因为 Q 的坐标为 2 21 2 2 4, 62 29 9t t t t
，K 的坐标为 2 24 , 63 t t t t
，
根据两点之间距离公式可得：
2 2
2 213 5 7 7 45
9 3 9 3 8QK t t t t
。
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