知识点 1 平方差公式
1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差.
即 2 2( )( )a b a b a b
2.要深刻理解该公式，必须抓住公式的结构特征和理解公式中字母的广泛含义.
（1）公式中的字母“ a ”、“b ”既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式.从本质
上说“ a ”、“ b ”所表示的内容具有广泛性，它可表示为（○+□）（○-□）=○ 2 -
□ 2 .
（2）掌握公式中的几种变化形式有利于理解公式.
a. 位置变化：如 ( )( )a b b a ，可利用加法交换律；将第二个括号变为 ( )a b ，即
可变为“标准型”.
b.符号变化：如 ( )( )a b a b ，将第一个括号变形，即可得到
( )( ) [ ( )]( )a b a b a b a b ( )( )a b a b 2 2 2 2( )a b b a ；也可
直接用平方差公式特点去解.因为在这两个括号中，有一项完全相同，即都是 ( )b ，
另 一 项 互 为 相 反 数 ， 即 a 与 a ， 故 而 ，
2 2 2 2( )( ) ( )( ) ( )a b a b b a b a b a b a .
c.增项变化：（多项平方差）如 ( )( )a b c a b c ，若能将 a b 看作一个整体，则在
两个因式中既有相同的项 ( )a b ，又有互为相反数的项 c 与 c ，即可用平方差公式
写出结果：
2 2 2 2 2( )( ) [( ) ][( ) ] ( ) 2a b c a b c a b c a b c a b c a ab b c .
d.增因式变化：如 2 2 4 4( )( )( )( )a b a b a b a b ，可连续运用平方差公式写出结果，
即原式 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 8 8( )( )( ) ( )( )a b a b a b a b a b a b .
第四讲 乘法公式
知识要点
例 1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式的，先把式
化成公式的标准形式，再计算结果.
（1）(3 4 )(3 4 )x y x y ； （2）(3 4 )(4 3 )x y y x ； （3）( 3 4 )(3 4 )x y x y ；
（4）( 3 4 )( 3 4 )x y x y ； （5）( 3 4 )(3 4 )x y x y ； （6）(3 4 )( 3 4 )x y x y .
例 2 计算下列各题:
（1） 2 2( 7 )(7 )3 3x y y x ； （2） 1 1( 2 )( 2 )2 2x y x y ；
（3） 2 2( 1 3 )(3 1)a b a b ； （4） 2 3 3 2( 3 )(3 )x y y x .
例 3 化简求值， 2[2 ( )( )][( 2)(2 ) (2 )( 2)]x x y x y x x y y ，其中 1x ，
1
2y .
练习
1.计算：
（1） 2 2( 2 )( 4 )( 2 )a b a b a b ； （2） ( 1)( 1)x y x y ；
（3） 2 4 8 100(2 1) (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) .
2.利用平方差公式计算：
（1） 5 299 1007 7
； （2） 22006 2007 2005 .
3.若 (2 2 1)(2 2 1) 63a b a b ，求 a b 的值.
知识点 2 完全平方公式
1.完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的
2
倍.即 2 2 2( ) 2a b a ab b ， 2 2 2( ) 2a b a ab b .
2.完全平方公式的特点：
（1）在公式 2 2 2( ) 2a b a ab b 中，左边是一个二项式的完全平方，右边都是一个
二次三项式.其中有两项是左边括号内二项式中每一项的平方，中间一项为左边二
项式中两项乘积的 2 倍，其符号由左边括号内的符号决定,本公式可用语言叙述为：
首平方、尾平方，二倍乘积在中央.
（2）公式中的“ a ”、“b ”既可以代表具体的数，也可以是单项式或多项式.
（3） 2 2 2( ) ( ) ( )a b b a a b ； 2 2( ) ( )a b a b .
3.应用完全平方公式时应注意的问题：
（1）将完全平方公式与平方差公式区分开.二者的形式完全不同.
（2）将 2( )a b 与 2 2a b 区分开： 2( )a b 是先求和然后再平方，读作“ a 与b 两数和
的平方”，它的展开式 2 22a ab b 是二次三项式； 2 2a b 是先求平方再求和，读
作“ a 与 b 两数的平方和”，它是一个二次二项式.只有当 0ab 时，才有
2 2a b = 2( )a b .
（3）掌握完全平方公式的几种常见变形，灵活地解决问题.
如： 2 2 2 2( ) 2 ( ) 2a b a b ab a b ab ； 2 2( ) ( ) 4a b a b ab ；
2 2( ) ( ) 4a b a b ab ； 2 2( ) ( ) 4a b a b ab 等.
（4）当完全平方的底数为三项式时，可把其中两项看作整体视为一项，再利用完全平方
公式展开.
如 ：
2 2 2 2 2 2 2( ) [( ) ] ( ) 2 ( ) 2 2 2a b c a b c a b a b c c a b c ab ac bc
.
例 1 计下列各题：
（1）
21( 3 )2 a b ； （2） 21( 2 )4 a b ；
（3） 2( 2 5 )x y ； （4） 2( 3 2 )x y .
例 2 下面的计算对不对？若不对，指明错误原因，并改正.
（1） 2 2 2( + )x y x y
（2） 2 2 2( ) 2x y x xy y
（3） 2 2 21 1( )2 4x y x xy y
（4） 2 2 21 1( )2 4x y x xy y
例 3 化简： 2 2(2 )(2 ) ( ) 2(2 )x y x y x y x xy .
练习：
1.计算
（1） 2 2( 2 )( 2 )( 4 )a b a b a b ； （2） (2 3 )(2 3 )a b c a b c ；
（3） 2 2(3 ) (3 )a b a b .
2.利用完全平方公式计算：
（1） 299.7 ； （2） 22006 .
3.先化简，再求值.
2 2 2 21 1 1[( ) ( ) ](2 )2 2 2x y x y x y ，其中 1x ， 2y .
4.计算 2( )a b c ，并利用它的结论直接计算： 2( 2 3 )x y z .
5.（1）已知 2a b ， 1ab ，求 2( )a b 的值.
（2）已知 2( 1) ( ) 2a a a b ，求
2 2
2
a b ab 的值.
（3）已知 1 3x x
，求 2
2
1x x
的值.
一．填空题
1. 与 的乘积等于这两个数的 .
2.( )( )a b a b = ； 3. (2 )( 2 )x y y x = ；
课堂练习
4.( 4)( 4)mn mn = ； 5. 2( 3)( ) 9x x ；
6.
2( 5)( ) 25a a ； 7. 2 2( 2 )(2 )( 4 )x y y x x y ；
8.( 1)a ( )= 2 1a ； 9. 2 2( ) ( ) ( )a b a b ；
2 2 210.( ) 4 12 9x xy y ；
2 211. ( ) 4 ( ) ( )m n
212.(0.2 ) ( ) 2 ( ) a a 2 2 13.(3 4 ) ( ) (3 4 )x y x y ；
14. 2 2( ) ( )2 2 2 2
a b a b ； 3 2715.(2 )2
ma ；
16. 2( 2 3 )a b c ； 17. 2 2( 3 ) ( 3 )m n m n .
二．选择题
1.下列计算中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. ( )( )p q p q B. ( )( )p q q p C. (5 3 )(3 5 )x y y x
D. (2 3 )(3 2 )a b a b
2.计算[( )( )]x y x y [( )( )]x y x y 所得结果是（ ）
A. 4 4x y B. 4 2 2 4x x y y C. 4 4x y
D. 4 2 2 42x x y y
3.下列运算中正确的是（ ）
A. 5 5 102 x x x B. 3 5 8( ) ( )x x x
C. 2 3 3 3 3( 2 ) 4 24x y x x y D. 2 21 1 1( 3 )( 3 ) 92 2 4x y x y x y
4.下列等式能够成立的是（ ）
A. 2 2 2(2 ) 4 2 x y x xy y B. 2 2 2( )x y x y
C. 2 2 21 1( ) 2 4a b a ab b D. 2 2
2
1 1( )x xx x
5. 27 3( ) 3 2x 等于（ ）
A. 27 373 2x x B. 249 7 9
9 2 4x x C. 249 97 9 4x x
D. 27 7 9
3 2 4x x
6.要使式子 24 12a a 成为一个完全平方式的结果，则应加上（ ）
A. 3 B. 9 C. 2.25 D. 1.5
7.小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A. 2 2 2( ) a b a b B. 3 2 6( 2 ) 4a a C. 3 2 52 a a a D. ( 1) 1a a
8.下列运算中正确的是（ ）
A. 3 3 6 x x x B. 2 3 53 2 5x x x C. 2 3 5( )x x D. 2 2 2 4( )x y x y
三．计算题
1.利用平方差公式计算：
（1）( )( )2 2
b bm m （2）( 3 5 )(3 5 )x y x y （3） 2 3 3 2( )( )a b b a
（4） ( 1)( 1 )xy xy （5） 2 2( )( )( )p q p q p q
（5） ( )( ) ( )( ) ( )( )a b a b b c b c c a c a
2.利用完全平方公式计算：
（1） 2( 1) 2
a ； （2） 2 3 2( 2 5 )a b ；
（3） (2 3 1)(2 3 1)a b a b ； （4） 2(2 3)a b .
3.用简便方法计算：
（1） 99.8 ( 100.2) ； （2） 299.99 .
4.计算：
（1） 2 2( 2 )( )( 3 2 )x y x y x xy y ；
（2） 2 2 2 2( 2 )( 2 )( 2 4 )( 2 4 )a b a b a ab b a ab b ；
2 2 3 3(3)(3 2 )(9 6 4 )(27 8 ) x y x xy y x y 4 2 (4)( 2)( 2)( 4 16)p p p p
四．解答题
1.计算： 2( 2)( 2)( 4)a a a .
2.化简： 2 4 8(2 1)(2 1)(2 1)(2 1) 1
3.化简求值： 2 2[2 ( )( )] [( )( ) 2 ]x x y x y x y x y y ，其中 x=-1，y=-2.
2 2 34. 6( 1) 2( 1)( 1) 2( 1) 32x x x x x 解方程：
5.解不等式 (3 4)(3 4) 9( 2)( 3)x x x x .
一．填空题
1.计算：( 6 )( 6 )x y x y = ； 2.计算：( 6 )(6 )x y x y = .
3.计算：( 6 )(6 )x y x y = ； 4.计算：( 6 )( 6 )x y x y = .
5.计算： ( )( )m n n mx y y x = ； 6.计算： 2 3 2( 3 )mx y x = .
7.( 2 )x y （ ）= 2 24y x ； 8.（ ） 2 = 2 2 1m m .
9.（ +3） 2 = 24x （ ）（每格内只需填一个代数式）.
10.计算： 2 2( )( )( )x y x y x y .
11.计算： 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 )a a a .
12.计算： 22006 2005 2007 .
13.若 2 2 10a b ， 3ab ，则 2( )a b = .
14.已知 7
4xy ， 4x y ，则 2 2x y .
15.已知 3x y ，则
2 2
2
x y xy .
家庭作业
二．计算题
1. 2 2(9 4 )( 3 2 )( 3 2 )x y x y x y 2. 2( 2 )(2 ) (2 )m n m n m n
3. 2( 3 2)x y 4. ( 2 1)( 2 1)x y x y 5. 18( 3)( 6)2 x x
6. 2 21 1 1( )( )( )2 2 4x y x y x y 7. 2 2(2 ) (2 )a b a b
7. 用乘法公式计算：
（1） 6.9 7.1 （2） 2 140 393 3
（3）59.8 60.2
（4） 2499 （5） 21(14 )2
（6） 2 2102 99 ；
（7） 2105 ； （8） 2197 .
三．解答题
1.求不等式 2 2(1 3 ) (2 1) 13( 1)( 1)y y y y 的最大整数解.
2.一个正方形，如果先把一组对边延长 2 cm ，再把另一组对边减少 2 cm ，这时得到的长
方形面积恰好与原正方形边长减少 1 cm 后的正方形面积相等，求原正方形的面积.
3.如图，已知 ABE 和 DCE 都为等腰直角三角形， AB BE a ， DC EC b .
求 ADE 的面积.（用含 a 、b 的代数式表示）
微信/支付宝扫码支付