人教版八年级下册数学18.2.3正方形——正方形内十字架模型专题

【初二数学专题】正方形内十字架模型 母题：如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别在 BC，CD 上，BE＝CF.AE 与 BF 之间有怎样的关系？请说明理由． 解：AE＝BF 且 AE⊥BF. 理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠C. 又∵BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF(SAS)． ∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF. 又∵∠BAE＋∠AEB＝90°， ∴∠CBF＋∠AEB＝90°. ∴∠BOE＝90°. ∴AE⊥BF. 【变式 1】 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，AE，BF 交于点 O，∠AOF＝90°.求证： BE＝CF. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°. ∵∠AOB＝180°－∠AOF＝90°， ∴∠BAE＋∠OBA＝90°. 又∵∠ABE＝∠CBF＋∠OBA＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF. 在△ABE 和△BCF 中， ∠ABE＝∠BCF， AB＝BC， ∠BAE＝∠CBF， ∴△ABE≌△BCF(ASA)． ∴BE＝CF. 【变式 2】 (长春中考改编)如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 上一点(点 E 不与 C，D 重合)，连接 BE，M 为 BE 上一点，过点 M 作 GF⊥BE 交 BC 于点 F，交 AD 于点 G.求证：BE＝FG. 证明：过点 G 作 GP⊥BC 于点 P. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°. ∴四边形 ABPG 是矩形． ∴PG＝AB.∴PG＝BC. ∵∠EBC＋∠BEC＝90°，∠EBC＋∠GFP＝90°， ∴∠BEC＝∠GFP. 又∵∠BCE＝∠GPF＝90°， ∴△CBE≌△PGF(AAS)． ∴BE＝FG. 【变式 2 的拓展应用】 若 M 是 BE 的中点，连接 CM.若 CM＝1，则 FG＝2． 【变式 3】 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，H，F，G 分别在边 AB，BC，CD，DA 上，EF，GH 交于点 O， ∠FOH＝90°，EF＝4.求 GH 的长． 解：过点 A 作 AM∥GH 交 BC 于点 M，过点 B 作 BN∥EF 交 CD 于点 N，AM 与 BN 交于点 O′，则四边形 AMHG 和四边形 BNFE 均为平行四边形， ∴EF＝BN，GH＝AM. ∵∠FOH＝90°，AM∥GH，BN∥EF， ∴∠NO′A＝90°. 由变式 1，得△ABM≌△BCN， ∴AM＝BN. ∴GH＝EF＝4. 【变式 3 的拓展应用】 如图，矩形 ABCD 由两个全等的正方形组成，点 E，H，F，G 分别在矩形 ABCD 的边 AB， BC，CD，DA 上，EF，GH 交于点 O，∠FOH＝90°，EF＝4，则 GH＝8． 模型总结： 正方形中“十字架模型”：在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段①若垂直，则相等；②若相等，则 垂直. 正方形内垂直十字架相等运用——2020 年新中考提高篇 【针对训练 1】如图，将边长为 2 2 cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN，则线段 MN 的长是 . 【分析】链接 DE，根据折叠的性质可得 MN 垂直平分 DE，根据正方形内互相垂直的“十字架”的线段相等，则可 得 MN=DE.在 Rt△DEC 中，根据勾股定理求出 DE= 2 2EC DC = 10 .