人教版八年级数学上册14.1整式的乘法

14.1 整式的乘法 【基础知识梳理】 1、同底数幂的乘法：am·an＝am+n（m，n 都是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2、幂的乘方法则：（am）n＝amn（m，n 都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。 3、积的乘方法则：（ab）n ＝ an·bn（n 为正整数） 积的乘方=乘方的积 4、单项式与单项式相乘法则：（1）系数与系数相乘（2）同底数幂与同底数幂相乘（3）其余字母及其指 数不变作为积的因式 注意点：（1）任何一个因式都不可丢掉（2）结果仍是单项式 （3）要注意运算顺序 5、多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （注意：项是包括符号的） 注意点（1）多项式与多项式相乘的结果仍是多项式；（2）结果的项数应该是原两个多项式项数的积（没 有经过合并同类项之前），检验项数常常作为检验解题过程是否的一个有效方法。 6、乘法公式一：平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）。 乘法公式二：完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2 （首±尾）2＝首 2±2×首×尾＋尾 2 7、am÷an==am－n（a≠0，m，n 都是正整数，且 m＞n））即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 8、① a0=1（a≠0） ② a－p=1/ap （a≠0，p 是正整数）③ 用科学记数法表示较小的数 如：即 0.000 ……01=10－n 9、单项式相除除以单项式 （1）系数相除（2）同底数幂相除 （3）只在被除式里的幂不变 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 【教学重难点】 重点：1、正确理解同底数幂的乘法法则； 2、准确掌握幂的乘方法则及其应用； 3、准确掌握积的乘方的运算性质； 4、准确运用法则进行计算，单项式与多项式乘法法则及其应用，多项式乘法法则。 难点：1、正确理解和运用同底数幂的乘法法则； 2、同底数幂的乘法和幂的乘方的综合运用； 3、用数学语言概括运算性质； 4、灵活运用已有知识解决问题，单项式与多项式相乘时结果的符号的确定，利用单项式与多项式相乘的 法则推导本节法则。 【经典例题讲解】 例 1 2008 年 6 月 1 日北京奥运圣火在宜昌传递，圣火传递路线分为两段，其中在市区的传递路程为 700(a－1) 20 米 30 米 x 米 米，三峡坝区的传递路程为(881a＋2309)米．设圣火在宜昌的传递总路程为 x 米．用含 a 的代数式表示 s，并求 当 a=11 时 s 的值． 析解：首先根据题意列出代数式，再去括号合并同类项，最后代入求值．因为 s=700(a－1)＋(881a＋2309)=700a －700＋881a＋2309=1581a＋1609，所以当 a=11 时，s=1581×11＋1609=19000(米)． 二、幂的运算在生活中的应用 例 2 一种被污染的液体中每升含有 2.4×1013 个有害细菌，为了了解某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验， 发现一滴杀菌剂可以杀死 4×1010 个有害细菌，要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少毫升？ （15 滴=1 毫升） 析解：先算出 1 毫升杀菌剂可杀死有害细菌的数量，再用每升被污染的液体含有的有害细菌个数除以 1 毫升杀菌 剂可杀死有害细菌的数量，即可解决问题． (2.4×1013)÷(4×1010×15)= (2.4÷4÷15)×(1013÷1010)=0.04×103=40（毫升）． 答：要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂 40 毫升． 三、整式的乘法在生活中的应用 例 3 某少年宫准备在一块长为 30 米，宽为 20 米的长方形场地上建造一个游泳池，使四周人行道的宽都是 x 米， 如图所示，请求出该游泳池的面积是多少平方米？ 析解：观察图形发现，游泳池的面积等于游泳池的长 乘以游泳池的宽．而游泳池的长为(30－2x)米，游泳池的宽 为(20－2x)米．所以游泳池的面积为：(30－2x) (20－2x)= 30×20－30×2x－2x×20+2x×2x=600－60x－40x+4x2=4x2 －100x+600(平方米)． 答：该游泳池的面积是(4x2－100x+600)平方米． 四、整式的除法在生活中的应用 例 4 某玩具生产厂有 9 个生产部门，现在每个部门原来某种玩具一样多，每个部门每天生产的该玩具数量也一 样多，有甲、乙两组检验员，其中甲组有检验员 8 名，他们先用 2 天将第一、二部门的所有玩具（指原来的和后 来生产的）检验完毕后，再去检验第三、四部门的所有玩具，有用去了 3 天时间；同时用 5 天的时间，乙组检验 员也检验完余下的 5 个部门的所有玩具，如果每个检验员速度一样快，如果每个部门原有玩具 a 件，每个部门每 天生产玩具 b 件． （1）试用 a、b 表示乙组检验员检验的玩具数量； （2）求乙组检验员的人数． 析解：要求乙组检验员的人数，可用乙组 1 天检验的总件数除以 1 名检验员 1 天检验的件数．又因为甲、乙两组 每个检验员速度一样快，所以可借助甲组计算检验的速度，从而解决问题． （1）乙组检验的 5 个部门原有玩具 5a 件，5 个部门 5 天生产 25b 件玩具，所以乙组共检验（5a+25b）件玩具． （2）甲组前 2 天检验的总件数为 2（a+2b），后 3 天检验的总件数为 2（a+5b），因每个检验员速度一样，所以 2 （a+2b）÷2=2（a+5b）÷3，即 a=4b．所以甲组 1 名检验员 1 天检验的件数为 2（a+2b）÷（2×8）=12 b÷16= 4 3 b．根 据每个检验员速度一样，得乙组检验员的人数为（a+5b）÷ 4 3 b=9b÷ 4 3 b=12（人）． 【课堂练习】 1、底数互为相反数的情况需化为同底数，注意符号问题。  34 )()( xyyx （s-t）2·（t-s）·[-（t-s）3]= 2、255，344，433，522，这四个幂的数值中，最大的一个是 ； （m+n）(-m-n)= , (m-n)(-m-n)= , 3、 2 ）(81 104 yx ；（2a-b）2-(2a+b)2= ;(x-y-z)2= （2×104）（6×103）·107 = ；（2y-x-3z）(-x-2y-3z)= 4、已知 a＋b=3 ab=0.5 求：（1）a2＋b2 （2）a4＋b4 （3）a2＋ab＋b2 (4) a b b a  5、已知 xx 1 =3，则 2 2 1 x x  = ，  4 4 1 x x ，  2 2 1 x x 6、（1）请用科学计数法（1）-0.0000501= （2）x4n＋1÷x 2n－1·x2n＋1= （3）已知 ax=2 ay=3 则 ax－y= （4）已知 am=4 an=5 求 a3m－2n 的值。 （5）若 10a=20 10b=1/5，试求 9a÷32b 的值。 （6）已知 2x－5y－4=0，求 4x÷32y 的值。 7、已知 20052x,01 232  xxx 求 8、(1) 222222 1061054321   (2) 311 )2(2 1)2 1()2(   9、（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）+2 10(1)若 a,b 为有理数，且 04422 22  ababa ，则 22 abba  的值。 （2）请说明无论 x,y 为何值，多项式的 156422  yxyx 的值始终为正数。 【课后作业】 计算下列各题 )8 3(4 322 yzxxy  )3 12)(7 3( 3323 cbaba  )125.0(2.3 322 nmmn  )5 3(3 2)2 1( 322 yzyxxyz  )2.1()25.2()3 1(5 22 yxaxyaxx  3322 )2()5.0(5 2 xyxxyyx  )4 7(123)5( 232 yxyxxy  23223 )4()()6()3(5 aabababbba  2、已知： 8 1,4  yx ，求代数式 522 4 1)(147 1 xxyxy  的值. 3、已知： 69 3273  mm ，求 m.