人教版八年级数学上册14.2完全平方公式

14.2.2 完全平方公式 【基础知识梳理】 完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。 该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。 完全平方公式： 两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的 2 倍。 （a+b）²=a²﹢2ab+b² 两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。 ﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b² 【教学重难点】 重点：对完全平方公式的熟记及应用。 难点：对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。 【经典例题讲解】 例 1 利用完全平方公式计算： （1） ；（2） ；（3） ． 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算． 解：（1） ； （2） ； （3） ． 说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数 差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现 的错误． 例 2 计算： （1） ；（2） ；（3） ． 分析：（2）题可看成 ，也可看成 ；（3）题可看成 ，也可以看成 ，变形后都符合完全平方公式． 解：（1） （2）原式 或原式 （3）原式 或原式 说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用． 例 3 用完全平方公式计算： （1） ； （2） ； （3） ． 分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式 为公式中 a， 为公式中 b，利用差的平方计算；第（2） 小题应把 化为 再利用和的平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中 a，如把 作为公式中的 a， 作为公式中的 b，再两次运用完全平方公式计算． 解：（1） = （2） = （3） = 说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误： ， ． 例 4 运用乘法公式计算： （1） ； （2） ； （3） ． 分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算．第（2）小题，根据题目 特点，两式中都有完全相同的项 ，和互为相反数的项 b，所以先利用平方差公式计算 与 的 积 ， 再 利 用完 全 平 方 公 式 计 算 ； 第 三 小 题 先需 要 利 用 幂 的 性 质 把 原 式 化为 ，再利用乘法公式计算． 解：（1）原式= （2）原式= = （3）原式= = ． 说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，以达到简化运算的目的． 例 5 计算： （1） ；（2） ；（3） ． 分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公 式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式． 解：（1） ； （2） ； （3） ． 说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究． 【课堂练习】 1.填空题 (1)a2-4ab+( )＝(a-2b)2 (2)(a+b)2-( )＝(a-b)2 (3)( -2)2＝ - x+ (4)(3x+2y)2-(3x-2y)2＝ (5)(3a2-2a+1)(3a2+2a+1)＝ (6)( )-24a2c2+( )＝( -4c2)2 2.选择题 (1)下列等式能成立的是( ). A.(a-b)2＝a2-ab+b2 B.(a+3b)2＝a2+9b2 C.(a+b)2＝a2+2ab+b2 D.(x+9)(x-9)＝x2-9 (2)(a+3b)2-(3a+b)2 计算的结果是( ). A.8(a-b)2 B.8(a+b)2 C.8b2-8a2 D.8a2-8b2 (3)在括号内选入适当的代数式使等式(5x- 2 1 y)·( )＝25x2-5xy+ 4 1 y2 成立. A.5x- 2 1 y B.5x+ 2 1 y C.-5x+ 2 1 y D.-5x- 2 1 y (4)(5x2-4y2)(-5x2+4y2)运算的结果是( ). A.-25x4-16y4 B.-25x4+40x2y2-16y2 C.25x4-16y4 D.25x4-40x2y2+16y2 (5)如果 x2+kx+81 是一个完全平方式，那么 k 的值是( ). A.9 B.-9 C.9 或-9 D.18 或-18 (6)边长为 m 的正方形边长减少 n(m＞n)以后，所得较小正方形的面积比原正方形面积减少了( ) A.n2 B.2mn C.2mn-n2 D.2mn+n2 3.化简或计算 (1)(3y+2x)2 (2)(3a+2b)2-(3a-2b)2 (3)(x2+x+6)(x2-x+6) (4)(a+b+c+d)2 (5)(9-a2)2-(3-a)(3-a)(9+a)2 4.先化简，再求值. (x3+2)2-2(x+2)(x-2)(x2+4)-(x2-2)2，其中 x=- 2 1 . 【课后作业】 一: 1、已知 m2+n2-6m+10n+34=0，求 m+n 的值 2、已知 0136422  yxyx ， yx、 都是有理数，求 yx 的值。 3．已知 2( ) 16, 4,a b ab   求 2 2 3 a b 与 2( )a b 的值。 二： 1．已知 ( ) 5, 3a b ab   求 2( )a b 与 2 23( )a b 的值。 2．已知 6, 4a b a b    求 ab 与 2 2a b 的值。 3、已知 2 24, 4a b a b    求 2 2a b 与 2( )a b 的值。 4、已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，求 a2+b2 及 ab 的值 5．已知 6, 4a b ab   ，求 2 2 2 23a b a b ab  的值。