人教版 九年级数学 22.1 二次函数的图象性质
一、选择题
1. 二次函数 y＝(x＋1)2 的图象的对称轴是( )
A．直线 x＝－1
B．直线 x＝1
C．直线 x＝－2
D．直线 x＝2
2. 抛物线 y＝2(x－3)2＋1 的顶点坐标是( )
A. (3，1) B. (3，－1) C. (－3，1) D. (－3，－1)
3. 要将抛物线 y＝x2＋2x＋3 平移后得到抛物线 y＝x2，下列平移方法正确的是
( )
A. 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
B. 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
C. 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
D. 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
4. 以 x 为自变量的二次函数 y＝x2－2(b－2)x＋b2－1 的图象不经过第三象限，则
实数 b 的取值范围是( )
A. b≥5
4 B. b≥1 或 b≤－1
C. b≥2 D. 1≤b≤2
5. 二次函数 y＝2x2－3 的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的
是( )
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线经过点(2，3)
C. 抛物线的对称轴是直线 x＝1 D. 抛物线与 x 轴有两个交点
6. 若二次函数 y＝x2－6x＋c 的图象过 A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋ 2，y3)三点，
则 y1，y2，y3 的大小关系是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
7. （2020·深圳）二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，n)，其部分图
象如图所示，以下结论错误．．的是（ ）
A．abc＞0 B．4ac－b2＜0
C．3a＋c＞0 D．关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝n＋1 无实数根
8. 抛物线 y＝x2＋bx＋c(其中 b，c 是常数)过点 A(2，6)，且抛物线的对称轴与线
段 y＝0(1≤x≤3)有交点，则 c 的值不可能是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
二、填空题
9. 将抛物线 y＝－(x＋2)2 向________平移________个单位长度，得到抛物线 y＝
－(x－1)2.
10. (2019•荆州)二次函数 22 4 5y x x 的最大值是__________．
11. 抛物线 y＝ax2＋k 与 y＝3x2 的形状相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其函数解
析式为________________________．
12. 若二次函数 y＝2x2＋bx＋3 的图象的对称轴是直线 x＝1，则常数 b 的值为
________．
13. 已知二次函数 y＝(x－m)2－1，当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取
值范围是________．
14. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点 (2,2)P ，顶点为 (0,0)O 将该图象向右
平移，当它再次经过点 P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．
15. 如图，直线 y＝x＋m 和抛物线 y＝x2＋bx＋c 都经过点 A(1，0)和 B(3，2)，不
等式 x2＋bx＋c＞x＋m 的解集为____________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2(a＞0)与 y＝a(x－2)2 交于点 B，
抛物线 y＝a(x－2)2 交 y 轴于点 E，过点 B 作 x 轴的平行线与两条抛物线分别交
于 D，C 两点．若 A 是 x 轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接 AD，AC，EC，
ED，则四边形 ACED 的面积为________．(用含 a 的代数式表示)
三、解答题
17. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪 AB，喷水口 A 距地面 2.25 m，喷出水流
的运动路线是抛物线的一部分．水流的最高点 P 到喷水枪 AB 所在直线的距离为
1 m，且到地面的距离为 3 m．求水流的落地点 C 到水枪底部 B 的距离．
18. 2018·南京 已知二次函数 y＝2(x－1)(x－m－3)(m 为常数)．
(1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；
(2)当 m 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？
19. 如图，已知二次函数 y＝x2＋ax＋3 的图象经过点 P(－2，3)．
(1)求 a 的值和图象的顶点坐标．
(2)点 Q(m，n)在该二次函数的图象上：
①当 m＝2 时，求 n 的值；
②若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围．
20. 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y＝a(x－3)2－1，且
平移后的抛物线经过点 A(2，1)．
(1)求平移后的抛物线的解析式；
(2)设原抛物线与 y 轴的交点为 B，顶点为 P，平移后的抛物线的对称轴与 x 轴交
于点 M，求△BPM 的面积．
21. 在平面直角坐标系中，设二次函数 y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中 a≠0.
(1)若函数 y1 的图象经过点(1，－2)，求函数 y1 的表达式；
(2)若一次函数 y2＝ax＋b 的图象与 y1 的图象经过 x 轴上同一点，探究实数 a，b
满足的关系式；
(3)已知点 P(x0，m)和 Q(1，n)在函数 y1 的图象上．若 m0，所以抛物线的开
口向上，所以 A 选项错误；由于当 x＝2 时，y＝8－3＝5，所以 B 选项错误；由
于 y＝2x2－3 的对称轴是 y 轴，所以 C 选项错误；由 2x2－3＝0 得 b2－4ac＝24>0，
则该抛物线与 x 轴有两个交点，所以 D 选项正确．
6. 【答案】B [解析] 解法一：y＝x2－6x＋c＝(x－3)2－9＋c，其大致图象如图，
对称轴为直线 x＝3，由图可得 y1>y3>y2.
解法二：把 A，B，C 三点的坐标分别代入解析式并化简，得 y1＝7＋c，y2＝－8＋c，
y3＝－7＋c，所以 y1>y3>y2.故选 B.
7. 【答案】C
【解析】根据抛物线开口向下，得到 a＜0，对称轴为直线 x＝－ b
2a
＝－1，知 b
＝2a＜0，抛物线与 y 轴交于正半轴，c＞0，∴abc＞0，故选项 A 正确；根据抛
物线与 x 轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即 4ac－b2＜0，故选项 B 正确；当 x＝1
时，y＝a＋b＋c＜0，又∵b＝2a，∴3a＋c＜0，∴选项 C 错误；∵抛物线开口向
下，顶点为（－1，n），∴函数有最大值 n，即抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y＝n
＋1 无交点，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝n＋1 无实数根，选项 D 正确；而要选
择结论错误．．的，因此本题选 C．
8. 【答案】A 【解析】 由题知，对称轴与线段 y＝0(1≤x≤3)有交点，则有 1≤
－b
2
≤3，可得到：－6≤b≤－2，由抛物线经过点 A(2，6)，代入可得 4＋2b＋c
＝6，∴b＝2－c
2
，∴－6≤2－c
2
≤－2, 解得 6≤c≤14，∴c 的值不可能是 4.
二、填空题
9. 【答案】右 3
10. 【答案】7
【解析】 2 22 4 5 2( 1) 7y x x x ，
即二次函数 2 4 5y x x 的最大值是 7，
故答案为：7．
11. 【答案】y＝3x2＋1 或 y＝－3x2＋1 [解析] ∵抛物线 y＝ax2＋k 与 y＝3x2 的形
状相同，∴a＝±3.
又∵其顶点坐标为(0，1)，∴k＝1，
∴所求抛物线的函数解析式为 y＝3x2＋1 或 y＝－3x2＋1.
12. 【答案】－4 [解析] ∵二次函数 y＝2x2＋bx＋3 的图象的对称轴是直线 x＝1，
∴x＝－ b
2×2
＝1，∴b＝－4.
则 b 的值为－4.
13. 【答案】m≥1 [解析] 抛物线的对称轴为直线 x＝m.
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当 x＜m 时，y 的值随 x 值的增大而减小，
而 x＜1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，
∴m≥1.
14. 【答案】 21 ( 4)2y x
【解析】设原来的抛物线解析式为： 2y ax ( 0)a ，
把 (2,2)P 代入，得 2 4a ，
解得 1
2a ，
故原来的抛物线解析式是： 21
2y x ，
设平移后的抛物线解析式为： 21 ( )2y x b ，
把 (2,2)P 代入，得 212 (2 )2 b ，
解得 0b (舍去)或 4b ，
所以平移后抛物线的解析式是： 21 ( 4)2y x ，
故答案为： 21 ( 4)2y x ．
15. 【答案】x3 【解析】∵直线 y＝x＋m 和抛物线 y＝x2＋bx＋c 都经过
点 A(1，0)和 B(3，2)，∴根据图象可知，不等式 x2＋bx＋c＞x＋m 的解集为 x
＜1 或 x＞3.
16. 【答案】8a [解析] ∵抛物线 y＝ax2(a＞0)与 y＝a(x－2)2 交于点 B，
∴BD＝BC＝2，
∴DC＝4.
∵y＝a(x－2)2＝ax2－4ax＋4a，
∴E(0，4a)，
∴S 四边形 ACED＝S△ACD＋S△CDE＝1
2DC·OE＝1
2×4×4a＝8a.
三、解答题
17. 【答案】
解：如图，以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴建立
平面直角坐标系．
根据题意，得抛物线的顶点 P 的坐标为(1，3)，
∴设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2＋3.
把 A(0，2.25)代入，得 2.25＝a(0－1)2＋3，
解得 a＝－0.75，
∴y＝－0.75(x－1)2＋3.
令 y＝0，
得－0.75(x－1)2＋3＝0，
解得 x1＝3，x2＝－1(舍去)，
∴BC＝3 m.
答：水流的落地点 C 到水枪底部 B 的距离为 3 m.
18. 【答案】
解：(1)证明：当 y＝0 时，2(x－1)(x－m－3)＝0，
解得 x1＝1，x2＝m＋3.
当 m＋3＝1，即 m＝－2 时，方程有两个相等的实数根；
当 m＋3≠1，即 m≠－2 时，方程有两个不相等的实数根．
综上，不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点．
(2)当 x＝0 时，y＝2(x－1)(x－m－3)＝2m＋6，
∴该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2m＋6，
∴当 2m＋6＞0，即 m＞－3 时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方．
19. 【答案】
解：(1)把点 P(－2，3)代入 y＝x2＋ax＋3 中，
得 a＝2，
∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
∴图象的顶点坐标为(－1，2)．
(2)①当 m＝2 时，n＝11.
②点 Q 到 y 轴的距离小于 2，
∴|m|＜2，
∴－2＜m＜2，∴2≤n＜11.
20. 【答案】
解：(1)把(2，1)代入 y＝a(x－3)2－1，
得 1＝a(2－3)2－1，
整理，得 1＝a－1，解得 a＝2.
故平移后的抛物线的解析式为 y＝2(x－3)2－1.
(2)由(1)知，平移后的抛物线的解析式为 y＝2(x－3)2－1，则 M(3，0)．
∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y＝2(x－3)2－1，
∴平移前的抛物线的解析式为 y＝2(x－1)2－1，
∴P(1，－1)．
在 y＝2(x－1)2－1 中，令 x＝0，得 y＝1，
故 B(0，1)，
∴BM＝ 10，BP＝PM＝ 5.
∵BM2＝BP2＋PM2，
∴△BPM 为直角三角形，且∠BPM＝90°，
∴S△BPM＝1
2BP·PM＝1
2× 5× 5＝5
2.
21. 【答案】
【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入 y1 的函数表达式中，解方程即可；
(2)由 y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出 y1 过 x 轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论
即可；(3)先求出 y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对
称轴越近，函数值越小即可得解．
解：(1)∵函数 y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，
∴把 x＝1，y＝－2 代入 y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2 分)
化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，
∴y1＝x2＋x－2；(4 分)
(2)函数 y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在 x 轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，
①当函数 y2＝ax＋b 的图象经过点(－a，0)时，
把 x＝－a，y＝0 代入 y2＝ax＋b 中，
得 a2＝b；(6 分)
②当函数 y2＝ax＋b 的图象经过点(a＋1，0)时，
把 x＝a＋1，y＝0 代入 y2＝ax＋b 中，
得 a2＋a＝－b；(8 分)
(3)∵抛物线 y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线 x＝－a＋a＋1
2
＝1
2
，m
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