沪教版（上海）数学高一下册-6.3 在给定区间上函数y=asinx+bcosx的最值单调性 教案

日期______ 6.3（3）在给定区间上函数 y=asinx+bcosx 的最值单调性 班级：____________ 姓名：____________ 学号：______________ 一、学习目标: 1、 理解函数 sin cosy a x b x  ( 0, 0)a b  与函数 sin( )y A x   的内在联系； 掌握函数 sin cosy a x b x  ( 0)a  最值、值域、单调区间的求解方法； 充分认识函数 sin( )y A x   的对称性，掌握函数 sin cosy a x b x  ( 0)a  的 对称轴方程及参数求解方法； 2、 通过函数 sin cosy a x b x  与 sin( )y A x   的互化，体会化归思想及分解与组 合的思想方法，培养学生的理解能力、抽象概括能力； 3、在自主探究的过程中培养学生的独立意识和独立思考能力，在小组交流中学会合作学习， 在解决问题难点时培养学生能够抓住主要矛盾，再深入问题探究问 题，培养学生科学 的学习态度和勇于探索的精神； 二、学习过程： 1、辅助角公式复习： 1、辅助角公式可以帮助解决形如 ( ) sin cosf x a x b x  ( 0, 0)a b  的函数问题 公式： 2 2sin cos sin( )a x b x a b x     ， 其中 由 2 2 2 2 c o s s i n a a b b a b         确定，通常 [0,2 )  ， 2、应用： （一）定义域的改变： 例 1、 当 2 2x    时，求函数 ( ) sin cosf x x x  的最值、值域、单调区间 解：此函数可化为： ( ) 2 sin( )4f x x   ， 2 2x    （由代换思想）令 4t x   ， 3,4 4t       可得函数 2 siny t ， 3,4 4t       ，作图得： 所以，①当 2t  时， max 2y  ，此时 4 2 4x x      当 4t   时， min 2 sin( ) 14y     ，此时 4 4 2x x        ②该函数的值域为[ 1, 2] ③由图得： 4 2 4 4 2 2 4t x x                  该函数的单调递增区间为 ,2 4      ，单调递减区间为 ,4 2       巩固练习：已知 2( ) 2cos 3sin 2f x x x a   （ a R 为常数），若 [0, ]2x  时， ( )f x 的最大值是 4，求 a 的值并求单调递增区间 环节小结 1：1、定义域的改变将影响到函数的最值、值域和单调区间。 2、求解方法：利用换元法将函数化归为 siny A t 型，再画出函数 siny A t 的图像，找 到 t 的取值范围上的图像部分，最后还原到 x 的取值问题。 3、注意解题的规范性，它可以帮助你形成正确的流畅的思维方式。 （二）参数 a，b 的作用： 由练习知sin x 和 cos x 前的参数 a，b 直接影响了函数的最值、值域和单调性。 除了这些性质，三角函数还有一些重要性质，如对称性。 例 2、 已知函数 ( ) sin cosf x x a x  的图像关于直线 4x   对称，求 a 的值 [方法一]：（利用最值） 解：原函数可化为 2( ) 1 sin( )f x a x    ， x R 可得： ( )f x 的最大值为 21 a ，最小值为 21 a  由题意可知：当 4x   时，函数 ( )f x 取到最值，即有： 2( ) 14f a    即得： 22 2 12 2 a a     ，计算可得： 1a   [方法二]：（利用特值法） 解：  函数 ( ) sin cosf x x a x  的图像关于直线 4x   对称  点 (0, (0))f 与点 ( , ( ))2 2f   一定关于直线 4x   对称 故有 (0) ( )2f f   ，代入计算可得： 1a   [方法三]：（利用对称轴） [分析]：函数 ( )f x 关于直线 x z 对称的充要条件是 ( ) ( )f z x f z x   对定义域内的任 意 x 恒成立。或写成另一形式： ( ) (2 )f x f z x  对定义域内的任意 x 恒成立 解：由题意得： ( ) ( )4 4f x f x      对任意实数 x 恒成立 即得：sin( ) cos( ) sin( ) cos( )4 4 4 4x a x x a x              2 sin 2sina x x   1a   环节小结 2：1、函数 ( ) sin cosf x a x b x  的参数 a 和b 与函数的对称性有关。 2、解题方法：利用对称轴的性质。方法一，是将函数变形化归为 siny A t 型，再利用正弦函数的对称轴过曲线的最高点或最低点的特点解题。方法二和方法三，都 是利用轴对称的图形特点——关于直线 :l x z 对称的两点 1 1 1( , )P x y 和 2 2 2( , )P x y ，其直线 l 是线段 1 2PP 的中垂线，即有关系 1 2 1 2 2x x z y y     。后两种解法具有一般性。 x=z (x 2 ,y) (x 1 ,y) p 2 p 1 o x y 三、小结： 今天我们重点讨论了 ( ) sin cosf x a x b x  ( 0)a  的最值、值域和单调区间，以 及此类函数的对称性问题。换元法，数形结合思想是解好题的金钥匙，熟悉基 本函数图像特征是解好题的关键。若 0a  时，则提取负号，转换为 0a  时情况 解决即可。