沪教版（上海）数学高一下册-6.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质 教案

1 课题： 6.3 函数 )sin()(   xAxf )0,0(  A 的图像与性质（1） 学科：数学 执教： 班级： 时间： 【教材分析】 本节是上海市高中数学高一第二册第六章第三节的内容，在学习基本三角函数的基础上，对一般正弦型函 数的图像和性质的研究，分为两个课时.本节课是第一课时，采用了分解与组合的思想方法研究了 、、A 对 函数 )sin(   xAy )0,0(  A 的图像的影响，体现了简单到复杂、特殊到一般的分析方法. 【学情分析】 在初中，学生有过用分解与组合的思想讨论参数 kha ,, 对二次函数 khxay  2)( 的图像的影响的经历. 在高中，学生已经学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，并学习了用“五点法”绘制三角函数在一个周期 内的大致图像.同时物理中学生已经学习了机械振动和机械波相应的数学函数模型，即 )sin(   xAy . 一、教学目标 1、理 解函数 )sin(   xAy )0,0(  A 与函 数 xy sin 的图 像与性 质之间 的关系 ，初步 掌握 、、A 在图像变换中的作用，会用五点法作函数 )sin(   xAy )0,0(  A 的图像. 2、经历函数 xy sin 与函数 )sin(   xAy )0,0(  A 的图像与性质之间的关系的探究过程，体会分 解与组合、简单到复杂和特殊到一般的思想方法. 3、体验数学方法对解决实际问题的意义和价值，提升数学学习的兴趣 . 二、教学重难点：参数 、、A 对函数 )sin(   xAy )0,0(  A 的图像与性质的影响. 三、教学用具准备 多媒体设备 四、教学流程设计 五、教学过程： 设置情景，引入函数模 型 )sin(   xAy 巩固 练习 布置 作业 探究参数 、、A 对函数 )sin(   xAy 图像的影响 归纳 总结 2 教学流程 教学内容 师生活动 设计意图 情 景 导 入 PPT 展示摩天轮实例，为了研究 摩天轮上某一吊篮位置的纵向变 化规律，把锦江乐园的摩天轮画 成一个圆，以摩天轮的轴心作为 圆心，过圆心在此圆所在平面内 作一平面直角坐标系，其 x 轴与 地平面平行， y 轴与地平面垂 直，摩天轮的近地点为 A ，如 图所示.考察摩天轮上吊篮与轮 环的某一个连接点 0P ，设摩天轮 半径为 R ，起始时 0OP 与 O 的夹 角  0BOP （图中取负值）， 0OP 绕 O 按逆时针方向做匀速旋 转运动，其角速度为 （弧度/ 分），经过t 分钟后， 0OP 到达OP . 师：以t 为自变量，点 P 的纵坐标 y 为因 变量建立函数关系式？ 生 ： 探 究 点 P 纵 向 的 运 动 规 律 ， )sin(   tRy . 师 ： 这 就 是 今 天 要 研 究 的 函 数 模 型 )sin(   xAy )0,0(  A . 利用实例引入数学函 数模型，体现数学的应 用价值，激发学生研究 )sin(   xAy 的 兴趣. 探 究 如 何 研 究 函 数 )sin(   xAy )0,0(  A 的图像与性质. 师 ： 当 01,1   ，A 时 ， 函 数 )sin(   xAy )0,0(  A 就 是 正弦函数函数 xy sin ，这启发我们可 以 从 参 数 、、A 出 发 研 究 函 数 )sin(   xAy )0,0(  A 的 图 像与性质.那参数共同作用时比较复杂， 采取什么方式来进行研究呢? 生：控制变量法. 师 ： 对 的 ， 和 初 中 研 究 二 次 函 数 khxay  2)( 的图像的方法一样，先 引 导 学 生 思 考 函 数 )sin(   xAy )0,0(  A 与正弦 函数之间的一般与特 殊关系，进而引导学生 探讨两个函数之间关 系. 启发学生用分解和组 合的数学思想探究参 数的作用. 3 探 索 新 知 研究 kxyhxyaxy  222 )( 、、 的图像，再研究 2)( hxay  等的图像； 那 我 们 可 以 用 同 样 的 方 法 研 究 函 数 )sin(   xAy 的图像，先研究函数 ）（、、 xyxAyxy  sinsin)sin(  的图像，再研究函数 )sin( xAy  等的 图 像 . 本 节 课 中 我 们 先 研 究 函 数 ）（、、 xyxAyxy  sinsin)sin(  )sin( xAy  的图像，下节课我们再讨 论其它情况. 1、研究 师：下面通过问题 1 研究参数 ，怎么 由 函 数 xy sin 的 图 像 得 到 函 数 )4sin(  xy 的图像？ 生：函数 xy sin 的图像向左平移 4  得 到函数 )4sin(  xy 的图像，向右平移 )4sin(  xy 的图像. 师：很好，我们从图像上来直观感受下， 几何画板展示，说明几何画板展示时 取的是近似值，没办法取 4  ，从整体上 看 将 图 像 向 左 平 移 4  得 到 函 数 )4sin(  xy 的图像，从局部上看将图 像上各点向左平移 4  个单位得到函数 )4sin(  xy 的图像.因为具有周期 性，所以向左（右）平移 Zkk  ,24  处理教材上把参数  放到最前面，因为学生 对平移有了一定的认 知，不用画图就直接能 够说出中间发生了什 么变换,遵循了由易到 难的过程. 为研究参数 ,A 的作 用作铺垫，严格的从点 出来进行描述，启发学 生可以参考这样的变 换 方 法 来 研 究 参 数 ,A 的作用. 4 也可以实现.实际上就是纵坐标不变，横 坐标减 4  ，函数解析式里面是加，横坐 标就减 4  .将图像上各点向右平移 4  个 单位得到函数 )4sin(  xy 的图像. 从特殊到一般，我们总结如何将函数 xy sin 的 图 像 变 换 得 到 函 数 )sin(  xy 的图像？ 生：成立，将函数 xy sin 的图像上各 点向左平（或右）移  个单位，得到函 数 )sin(  xy 的图像. 师：对的， 0 时，将函数 xy sin 的 图像上各点向左平移  个单位，得到函 数 )sin(  xy 的图像； 0 时，将 函数 xy sin 的图像上各点向右平移  个单位，得到函数 )sin(  xy 的图 像. 2、研究 A 师：下面通过问题 2 研究 A 的作用，先 用“五点法”作函数图象，并思考怎样 由 函 数 xy sin 的 图 像 得 到 函 数 xy sin2 和 xy sin2 1 的图像？ 生：动手操作. 师：下去查看学生作图情况、指导学生 作图，并拍下学生作图情况.一圈后，好 了，大家差不多都画好了，我们来看下 这两位同学的作图情况，用希沃助手展 类比研究 的方法，让 学生自主探究 A 的作 用，体现学生的主体作 用，提高学生探索新知 的能力. 学生交流分享，但语言 上可能不是很准确，教 师总结并板书，再次强 调,培养学生的数学表 达能力. 5 示.观察图像，我们发现在性质上函数 xy sin2 和 xy sin2 1 与 函 数 xy sin 具有相同的周期性、奇偶性、 单调性、在相同的位置取最值，但最值 不同、值域不同.是不是平移变换？ 生：不是. 师：从图形上看图像纵向拉伸或收缩了， 那如何用点的坐标描述这种变换呢？先 思考怎样由函数 xy sin 的图像得到函 数 xy sin2 的图像. 生：讨论交流，请吴羿萱、卢国兴试试 看.将函数 xy sin 图像上各点的横坐 标不变,纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到 函数 xy sin2 的图像. 注：有困难的情况下可以提示从特殊点， 比如从最值点的坐标分析. 师 ： 好 的 ， 很 好 . 为 了 得 到 函 数 xy sin2 1 的图像，需将函数 xy sin 图像上各点的横坐标不变,纵坐标缩短到 原来的 2 1 倍.那这种变化方法对一般函 数还成立吗？ 生：成立. 注：如果看不出来，从坐标变化提示并 验证. 师：那我们一起总结下，将函数 xy sin 的各点横坐标不变，纵坐标伸长（或缩 短 ） 到 原 来 的 A 倍 ， 就 得 到 了 函 数 几何画板动态展示，更 直观形象. 6 xAy sin 的图像. 师：什么时候伸长，什么时候缩短呢？ 生： 1A 时，伸长; 10  A 时，缩短. 3、研究 师：下面通过问题 3 研究参数 的作用, 生：类比参数 A 的研究方法，学生动手 操作. 师：希沃助手展示两位学生的作图情况， 一个好、一个差.强调用“五点法”作图 时，注意先整体代值、反解 x 、列表.由 图像我们知道函数 xy 2sin 的周期为  ， xy 2 1sin 的周期为 4 .那怎么由 函数 xy sin 得到函数 xy 2sin 的图 像呢？请李卓玥、姬文杰试试看 生：将函数 xy sin 图像上各点的纵坐 标不变,横坐标缩短到原来的 2 1 倍，得到 函数 ）（ xy 2sin . 师：怎么得到函数 ）（ xy 2 1sin 的图 像？ 生：纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 ）（ xy 2 1sin 的图像. 师：好的，很好.我们一起归纳总结怎样 将函 xy sin 图像变换为 )sin(wxy  的图像?将板书下的点坐标空着让学生 自己填，并口述变换过程. 生：函数 xy sin 图像上各点的纵坐标 不变,横坐标缩短（伸长）到原来的  1 倍. 让学生自主探究  的 作用，体现学生的主体 作用. 在此过程中，学生对伸 长或者缩短  1 倍可能 有困惑，老师可针对学 生遇到的困难做适当 指导.但要放手让学生 尝试，激发学生的探究 欲望.最后老师可从周 期变换上着手分析，周 期变大，相当于各点横 坐标伸长；周期变小， 相当于各点横坐标缩 短. 7 师：什么时候伸长，什么时候缩短呢？ 生： 10   时，伸长； 1 时，缩 短. （1）师：小结 、、A 的作用， 使 图像发生了平移变换， A 使图像发生了 纵向拉伸或收缩变换， 使图像发生了 横向拉伸或收缩变换，这个变换是我们 以前没有学过的，我们称之为伸缩变换. 下面我们口答两个小问题. （1）要得到函数 xy sin3 的图像，只 需把函数 xy sin 的图像上所有点的横 坐标______,纵坐标___________. （2）要得到函数 xy 4sin 的图像，只 需把函数 xy sin 的图像上所有点的纵 坐标______,横坐标___________. 巩 固 深 化 4、研究 ，A 共同作用 师：但通常我们遇到的函数模型很少只 有一个参数的，通常是几个参数一起作 用的.下面我们通过问题 4 来研究参数 ,A 共同作用时，对函数图像有什么影 响,并思考如何将函数 xy sin 的图像 进行怎样变换得到函数 xy 2 3sin3 的 图像？ 生：动手操作，交流探讨. 师：请学生 1 詹博雅分析，学生 2 陈思 婕分析； 生：法 1；法 2； 师：几何画板动态展示，总结有两种方 8 法.那这个变换方法对一般情况也是成 立的，由函数 xy sin 的图像得到函数 ）（ xAy sin 的图像有两种方法： 法 1：先 A ，再 . 法 2：先 ，再 A . 通过参数 ,A 的研究，我们发现参数 A 只影响纵坐标；参数 只影响横坐标， 两个作用是相互独立的.那我们下面研究 、 共同作用时， 和 的作用还是 否是相互独立的？ 5、研究 、 共同作用 师：下面我们通过问题 5 来研究参数 、 共同作用时对函数图像有什么影 响？ 生：动手操作，交流探讨. 师：请学生 1 何梦颖分析，学生 2 丁于 馨分析； 生：法 1；法 2； 师：几何画板动态展示，总结有两种方 法.那这个变换方法对一般情况也是成 立的，由函数 xy sin 的图像得到函数 ）（ xAy sin 的图像有两种方法： 法 1： 法 2： 小 结 师：请学生回顾，总结整节课的学习内 容. 生：本节课学了 （1）五点法作 )sin(   xAy 采取学生总结的办法， 这样可检查学生对所 学内容有无一个全面、 系统、完整的掌握，又 是学生对概括能力的 9 )0,0(  A 的图像，通过图像了解函 数的性质； （2） 、、A 在图像变换中的作用； （3）在三角中再次学习了分解与组合 的数学方法. 培养。 作 业 布 置 课后习题 100 页 1、2， 练习册 A 组 2. 五、板书 PPT 课题：6.3 函数 )sin(   xAy )0,0(  A 的图像与性质（1） 1、研究 时，令 1,1  A 2、研究 A 时，令 0,1   3、研究 时，令 0,1  A 4、研究 ，A 共同作用时，令 0