挑战满分大题专练（九）—圆锥曲线-2021届高三高考数学三轮复习 含解析

挑战满分大题专练（九）—圆锥曲线 1．已知 ( 2,0)M  ， (2,0)N ，动点 P 满足：直线 PM 与直线 PN 的斜率之积为常数 1 4  ，设 动点 P 的轨迹为曲线 1C ．抛物线 2 2 : 2 ( 0)C x py p  与 1C 在第一象限的交点为 A ，过点 A 作 直线 l 交曲线 1C 于点 B ，交抛物线 2C 于点 E （点 B ， E 不同于点 )A ． （1）求曲线 1C 的方程． （2）是否存在不过原点的直线 l ，使点 E 为线段 AB 的中点？若存在，求出 p 的最大值；若 不存在，请说明理由． 解：（1）设动点 ( , )P x y ，则 2PM yk x   ， 2PN yk x   ， 因为 1 4PM PNk k   ，所以 1 2 2 4 y y x x     ， 所以 2 2 1( 2)4 x y x    ， 所以曲线 1C 的方程为 2 2 1( 2)4 x y x    ． （2）设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ， 0(E x ， 0 )y ， 直线 : ( 0, 0)l y kx m k m    ， 联立 2 24 4x y y kx m       ，得 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m     ， 所以 1 2 2 8 1 4 kmx x k    ， 0 2 4 1 4 kmx k   ， 又 2 2x py y kx m      ，得 2 2 ( )x p kx m  ， 即 2 2 2 0x pkx pm   ，所以 1 0 2x x pm  ， 所以 1 2 4 21 4 kmx pmk    ，所以 2 1 1 4( )2 kx p k  ， 因为 2 2 2 14 2 x y x py      ，所以 4 2 2 4xx p   ， 所以 2 4 4 2 2 2 2 1 4( )1 4 2( ) 42 kpk kp k p     ， 所以 2 2 2 2 4 4 1 4 1 4( ) ( )2 2 p k k k k    ， 设 2 2 21 4 1( ) ( 2 ) 42 2 k k tk k     … ，则 2 2 4 1p t   ， 当 1 2k  ，即 4t  时， 2p 取得最大值，最大值为 1 5 ，即 5 5p  ， 此时 2 5( 5A ， 2 5 )5 ，直线l 不过点 M ， N ， 所以存在不过原点的直线 l ，使点 E 为线段 AB 的中点，且 p 的最大值为 5 5 ． 2．设抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ，过点 F 的直线 1l 交抛物线 C 于 A ，B 两点，且 | | 8AB  ，线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 3． （1）求抛物线 C 的方程； （2）若直线 2l 与圆 2 2 1: 2O x y  切于点 P ，与抛物线 C 切于点 Q ，求 FPQ 的面积． 解：（1）设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ，则 AB 的中点坐标为 1 2 1 2( , )2 2 x x y y  ， 由题意知 1 2 32 x x  ， 1 2 6x x   ， 又 1 2| | 8AB x x p    ， 2p  ， 抛物线 C 的方程为： 2 4y x ． （2）设直线 2 :l y kx m  ，由 2l 与圆 O 相切，得： 2 2 | | 2 1 m k   ， 2 22 1m k   ①， 联立方程 2 4 y kx m y x     ，消去 y 得： 2 2 2(2 4) 0(*)k x km x m    ， 直线 2l 与抛物线 C 相切， △ 2 2 2(2 4) 4 0km k m    ， 1km  ②， 由①②得： 1k m   ， 方程 (*) 为： 2 2 1 0x x   ， 解得 1x  ， (1, 2)Q  ， 2 2 2 1 3 2| | 1 4 2 2Q QPQ x y r        ， 此时直线 2l 的方程为 1y x  或 1y x   ， (1,0)F 到直线 2l 的距离为 2d  ， 1 1 3 2 3| | 22 2 2 2PQFS PQ d       ． 3．已知直线 :l y x m  交抛物线 2: 4C y x 于 A ， B 两点． （1）设直线l 与 x 轴的交点为T ．若 2AT TB  ，求实数 m 的值； （2）若点 M ， N 在抛物线 C 上，且关于直线l 对称，求证： A ， B ， M ， N 四点共圆． 解：由 2 4 y x m y x     ，得 2 4 4 0y y m   ． 设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ，则 1 2 4y y  ， 1 2 4y y m ， 因为直线 l 与 C 相交，所以△ 16 16 0m   ，得 1m  ， （1）由 2AT TB  ，得 1 22 0y y  ， 所以 24 0y  ，解得 2 4y   ，从而 1 8y  ， 因为 1 2 4y y m ，所以 4 32m   ，解得 8m   ； （2）证明：设 3(M x ， 3 )y ， 4(N x ， 4 )y ， 因为 M ， N 两点关于直线 y x m  对称， 则 4 3 4 3 22 34 3 4 34 4 1 4 4 y y y y yx x y yy       ，解得 4 34y y   ， 又 4 3 4 3 2 2 y y x x m   ， 于是 3 3 4 34 2 2 y y x x m     ，解得 4 34 2x m x    ， 又点 N 在抛物线上，于是 2 3 3( 4 ) 4( 4 2 )y m x      ， 因为 2 3 34y x ，所以 2 3 34 16 4 0y y m    ， 于是 1 3 2 3 1 3 2 3( )( ) ( )( )MA MB x x x x y y y y        2 22 2 3 31 2 1 3 2 3( )( ) ( )( )4 4 4 4 y yy y y y y y      21 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 ( )( ) ( )( )[( )( ) 16] [ ( ) 16]16 16 y y y y y y y yy y y y y y y y y y            21 3 2 3 3 3 ( )( ) (4 4 16) 016 y y y y m y y      ， 所以 MA MB ，同理， NA NB ， 于是点 M ， N 在以 AB 为直径的圆上，即 A ， B ， M ， N 四点共圆． 4．已知点 3(1, )2M ， 3( 1, )2N   ，直线 PM ， PN 的斜率乘积为 3 4  ， P 点的轨迹为曲线 C ． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）设斜率为 k 的直线交 x 轴于T ，交曲线 C 于 A ，B 两点，是否存在 k 使得 2 2| | | |AT BT 为定值，若存在，求出的 k 值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）设点 ( , )P x y ，由已知可得 3 4PM PNk k   ， 即 3 3 32 2 1 1 4 y y x x       ，化简可得 2 2 1( 1)4 3 x y x    ， 即所求曲线方程为 2 2 1( 1)4 3 x y x    ； （Ⅱ）设 ( ,0)T t ，则斜率为 k 的直线为 ( )y k x t  ， 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ， 联立方程 2 2 ( ) 14 3 y k x t x y     ，消去 y 整理可得： 2 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k tx k t     ， 则 2 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12,3 4 3 4 k t k tx x x xk k     ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1| | | | (1 )[( ) ( ) ] [(18 24 ) 96 72](3 4 ) kAT BT k x t x t k t kk           ， 若要使 2 2| | | |AT BT 为定值，则需与 t 无关，即 218 24 0k  ，解得 3 2k   ， 此时 2 2| | | | 7AT BT  满足题意， 故 3 2k   ． 5．已知抛物线 2 1 : 4C x y 和椭圆 2 2 2 : 14 3 x yC   ．如图，经过抛物线 1C 焦点 F 的直线 l 分别 交抛物线 1C 和椭圆 2C 于 A ， B ， C ， D 四点，抛物线 1C 在点 A ， B 处的切线交于点 P ． （Ⅰ）求点 P 的纵坐标； （Ⅱ）设 M 为线段 AB 的中点， PM 交 1C 于点 Q ， BQ 交 AP 于点T ．记 TCD ， QBP 的 面积分别为 1S ， 2S ． （ⅰ）求证： Q 为线段 PM 的中点； （ⅱ）若 1 2 8 7 S S  ，求直线 l 的方程． 解：（Ⅰ）设点 2 1 1( , )4 xA x ， 2 2 2( , )4 xB x ，直线 l 的方程为： 1y kx  ， 由 2 4x y 可得 2 4 xy  ，则 2 xy  ，可知抛物线在点 A ， B 处的切线的斜率分别为 1 2,2 2 x x ， 抛物线 1C 在点 A ， B 处的切线方程分别为 2 1 1 2 4 x xy x  ， 2 2 2 2 4 x xy x  ， 联立方程组解得点 P 的坐标为 1 2 1 2( , )2 4 x x x x ， 由 2 1 4 y kx x y     ，得 2 4 4 0x kx   ， 2 1 16(1 ) 0k   ， 所以 1 2 4x x k  ， 1 2 4x x   ，所以点 P 的坐标为 (2 , 1)k  ， 所以点 P 的纵坐标为 1 ， （Ⅱ） ( )i 证明：由（Ⅰ）得点 (2 , 1)P k  ， 2(2 ,2 1)M k k  ， 2(2 , )Q k k ， 因为 2 2(2 1) ( 1) 2k k    ，所以点 Q 为 PM 的中点； ( )ii 因为 M ， Q 分别为线段 AB ， PM 的中点，所以 2AT TP ， 所以 2 3TAB PABS S  ，所以 2 1 1 3 2 4 8QBP MBP PAB TABS S S S S       ， 所以 1 2 8 8 | | 3 3 3 | | 8 TCD TCD TAB TAB S SS CD S S ABS          ， 设点 C ， D 的横坐标分别为 3x ， 4x ， 由 2 2 1 14 3 y kx x y     ，消去 y 整理可得： 2 2(3 4 ) 8 8 0k x kx    ， 则 3 4 3 42 2 8 8,3 4 3 4 kx x x xk k      ， 所 以 2 22 2 2 2 3 4 3 4 2 2 2 2 (1 )(1 2 )64 32| | 1 ( ) 4 1 4 6(3 4 ) 3 4 3 4 k kkCD k x x x x k k k k               ， 由（Ⅰ）得 2 2 2 1 2 1 2| | 1 ( ) 4 4(1 )AB k x x x x k       ， 所以 2 2 1 2 2 22 2 2 8 | | 8 6 1 2 8 6 1 2 3 | | 3 3 (3 4 ) (1 )(3 4 ) 1 S CD k k S AB k kk k           ， 设 2 2 1( ) ( 0)(3 4 ) (1 ) xf x xx x    … ，则 2 3 2 16 20 5( ) 0(3 4 ) ( 1) x xf x x x       ， 所以 ( )f x 在[0 ， ) 上单调递减， 因为 21 2 8 6 8( )3 7 S f kS    ，所以 2 2 3( ) 2 7f k   ，所以 2 1k  ，即 1k   ， 经检验符合条件，所以直线 l 的方程为 1y x   ． 6．已知动点 M 与两个定点 (0,0)O ， (3,0)A 的距离的比为 1 2 ，动点 M 的轨迹为曲线 C ． （1）求 C 的轨迹方程，并说明其形状； （2）过直线 3x  上的动点 (3P ， )( 0)p p  分别作 C 的两条切线 PQ 、 (PR Q 、 R 为切点）， N 为弦QR 的中点，直线 :3 4 6l x y  分别与 x 轴、y 轴交于点 E 、F ，求 NEF 的面积 S 的 取值范围． 解：（1）设 ( , )M x y ，由 | | 1 | | 2 MO MA  ，得 2 2 2 2 1 2( 3) x y x y     ， 化简的 2 2 2 3 0x y x    ，即 2 2( 1) 4x y   ， 故 C 是以 ( 1,0) 为圆心，半径为 2 的圆； （2）以线段 DP 为直径的圆的方程为 ( 1)( 3) ( 0)( ) 0x x y y p      ， 整理可得 2 2 2 3 0x y x py     ① 又 Q ， R 在以 DP 为直径的圆上， 且 Q ， R 在 2 2: 2 3 0C x y x    ② ②  ①得： 4 0x py  ，所以，切点弦 QR 所在直线的方程为 4 0x py  ， 可见 QR 恒过原点 (0,0)O ， 联立方程 2 2 4 0 ( 1) 4 x py x y       ，消去 x 整理可得： 2 2(16 ) 8 48 0p y py    ， 设 1(Q x ， 1)y ， 2(R x ， 2 )y ，则 1 2 2 8 16 py y p    ， 点 N 的纵坐标 1 2 2 4 2 16N y y py p    ，因为 0p  ，显然 0Ny  ， 所以点 N 与点 ( 1,0)D  ， (0,0)O 均不重合， 因为 N 为弦 QR 的中点，且 ( 1,0)D  为 C 的圆心， 由圆的性质可得 DN QR ，即 DN ON ， 所以点 N 在以 OD 为直径的圆上，圆心为 1( 2G  ， 0) ，半径为 1 2r  ， 因为直线 3 4 6x y  分别与 x 轴，y 轴交于点 E ，F ，所以 (2,0)E ， 3(0, )2F ，因此 5| | 2EF  ， 圆心 1( 2G  ， 0) 到直线 3 4 6x y  的距离 2 2 1| 3 ( ) 4 0 6 | 32 23 4 d         ， 设 NEF 的 边 EF 上 的 高 为 h ， 则 点 N 到 直 线 3 4 6x y  的 距 离 h 的 最 小 值 为 3 1 12 2d r    ， 点 N 到直线 3 4 6x y  的距离 h 的最大值为 3 1 22 2d r    ， 所以 S 的最小值为 1 5 512 2 4minS     ， 1 5 522 2 2maxS     ， 所以三角形 NEF 的面积 S 的取值范围为 5 5[ , ]4 2 ．