青岛版九年级数学上册第4章测试题及答案

1 青岛版九年级数学上册第 4 章测试题及答案 4.1 一元二次方程 1. 下列方程一定是关于 x 的一元二次方程的是 （ ） A. 2 1 2 0x x    B. 22 3x y  B. C. 2 2( 1) 0a x  D. 1 2xy  2. 已知 1 是关于 x 的一元二次方程 2( 1) 1 0m x x    的一个根 ，则 m 的值是（ ） A．1 B. -1 C. 0 D. 无法确认 3. 地理兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组成员各赠送一件，全组共互赠了 132 件，如果全组有 x 名同学，则根据题意可以列出的方程是（ ） A. ( 1) 132x x   B. ( 1) 132x x   B. C. 2 ( 1) 132x x   D. 2 ( 1) 132x x   4.若方程 2( 1) 0m x mx   是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） A. 1m  B. 0m  C. 0m  且 1m  D. 任意实数 5.目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系. 某校去年上半年发给每个经济困难学生 389 元， 今年上半年发放了 438 元，设每半年．．．发放的资助金额的平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. 2438(1 ) 389x  B. 2389(1 ) 438x  C. 389(1 2 ) 438x  D. 438(1 2 ) 389x  6．只含有 个未知数的 次数是 的整式方程叫做一元二次方程。 7. 任何一个关于 x 的一元二次方程都可以化成 的形式.这种形式叫做一元二次方 程的一般形式，其中 2ax 、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数，a 、b 分别叫 系数和 系 数. 8.下列方程：① 2 0x  ；② 2 1x x  ；③ 2 0ax bx c   ；④ ( 1) 0x x   ；⑤ 2( 1)x x x  ； ⑥ 2 1 1 0xx    ；⑦ 22 1x x  ；⑧ 2 2 2k x x x  其中，一元二次方程有 .(填序号) 9. 把方程 ( 2) 3( 1)x x x   化为一元二次方程的一般形式是 ，二次项系数为 ， 一次项系数为 ，常数项为 . 10. 已知 1x  是一元二次方程 2 0x ax b   的一个根，则代数式 2 2 2a b ab  的值是 . 11. 把下列关于的一元二次方程划为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项： （1） ( 5)(2 1) 4x x   （2） 2 2( 8) 6 (2 1)x x x    . 2 12. 教材或资料会出现这样的题目：把方程 21 22 x x  化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次 项系数、一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答： （1） 下列式子中，哪些是 21 22 x x  方程所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） ① 21 2 02 x x   ；② 21 2 02 x x    ；③ 2 2 4x x  ； ④ 2 2 4 0x x    ； ⑤ 23 2 3 4 3 0x x   （2） 方程 21 22 x x  化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数、一次项系数和常数项之间具 有什么关系？ 13. 若一元二次方程 2( 1) ( 1) 0a x b x c     化为一般形式后为 23 2 1 0x x   ，试求 2 2 2a b c  的 值得算数平方根. 14. 已知 x 关于的方程 2 2( 9) ( 3) 5 0m x m x     . （1）当 m 为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的解； （2）当 m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项，一次项系数及常数项. 3 15. 如图，某小区规划在一个长 30m，宽 20m 的矩形 ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条鱼 AB 平 行，另一条于 AD 平行，其余部分种花草.要使每一块花草面积都为 78 2m ，那才能通道宽应设计成多少米？ 设通道的宽为 x m，由题意列出方程. 第 15 题图 16. 若关于 x 的方程 1( 3) ( 6) 9 0mm x m x     是一元二次方程，试求 m 的值，并计算这个一元二方 程的各项系数之和. 4 参考答案 1．C 2. B 3. B 4. C 5. B 6. 一 最高 2 7． 2 0ax bx c   （ a 、b 、 c 是常数，且 0a  ）二次项 一次项 6. ①②④⑧ 9. 2 5 3 0x x   1 -5 -3 10. 1 11. (1) 22 11 1 0x x   2 -11 1 (2) 23 14 63 0x x   3 -14 -63 12. (1) ①②③④⑤ (2) 若设它的二次项系数为 ( 0)a a  ，则一次项系数为-2a，常数项为-4a. 二次项系数：一次项系数： 常 数项=1：（-2）：（-4）. 13. 25 14. (1) 3m  , 5 6x  (2) 3m   ,二次项系数为 2 9m  ，一次项系数为 3m ，常数项为-5 15． (30 2 )(20 ) 468x x   16．m=3,各项系数之和为 12 4.2 用配方法解一元二次方程 1．用配方法解方程 x2﹣6x﹣7=0，下列配方正确的是（ ） A．（x﹣3）2=16 B．（x+3）2=16 C．（x﹣3）2=7 D．（x﹣3）2=2 2．用配方法解方程 x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ） A．（x﹣4）2=19 B．（x+4）2=19 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7 3．把方程 x2﹣8x+3=0 化成（x+m）2=n 的形式，则 m，n 的值是（ ） A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19 4．用配方法解方程 x2+x=2，应把方程的两边同时（ ） A．加 B．加 C．减 D．减 5．已知 a2﹣2a+1=0，则 a2010 等于（ ） A．1 B．﹣1 C． D．﹣ 6．一元二次方程 2x2+3x+1=0 用配方法解方程，配方结果是（ ） A． B． C． D． 5 7．将方程 3x2+6x﹣1=0 配方，变形正确的是（ ） A．（3x+1）2﹣1=0 B．（3x+1）2﹣2=0 C．3（x+1）2﹣4=0 D．3（x+1）2﹣1=0 8．已知方程 x2﹣6x+q=0 可以配方成（x﹣p）2=7 的形式，那么 x2﹣6x+q=2 可以配方成下列的（ ） A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9 D．（x﹣p+2）2=5 9．一元二次方程 x2﹣2x+1=0 的根为______． 10．用配方法解方程 x2﹣4x﹣1=0 配方后得到方程______． 11．将方程 x2﹣4x﹣1=0 化为（x﹣m）2=n 的形式，其中 m，n 是常数，则 m+n=______． 12．如果一个三角形的三边均满足方程 x2﹣10x+25=0，则此三角形的面积是______． 13．已知点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，且在其角平分线上，则 k=______． 14．方程（x﹣1）（x﹣3）=1 的两个根是______． 15．当 x=______时，代数式 的值是 0． 16．方程 4x2﹣4x+1=0 的解 x1=x2=______． 17．解方程：9x2﹣6x+1=0， 解：9x2﹣6x+1=0， 所以（3x﹣1）2=0， 即 3x﹣1=0， 解得 x1=x2=______． 18．用配方法解一元二次方程 2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则 h=______，k=______． 19．用配方法解方程 （1）x2﹣6x﹣15=0 （2）3x2﹣2x﹣6=0 （3）x2=3﹣2x （4）（x+3）（x﹣1）=12． 20．证明：不论 x 为何实数，多项式 2x4﹣4x2﹣1 的值总大于 x4﹣2x2﹣3 的值． 6 21．分别按照下列条件，求 x 的值：分式 的值为零． 22．观察下列方程及其解的特征： （1）x+ =2 的解为 x1=x2=1； （2）x+ = 的解为 x1=2，x2= ； （3）x+ = 的解为 x1=3，x2= ； … 解答下列问题： （1）请猜想：方程 x+ = 的解为______； （2）请猜想：关于 x 的方程 x+ =______的解为 x1=a，x2= （a≠0）； （3）下面以解方程 x+ = 为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为 5x2﹣26x=﹣5． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 7 参考答案 1．A 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．C 8．B 【解析】∵x2﹣6x+q=0，∴x2﹣6x=﹣q，∴x2﹣6x+9=﹣q+9，∴（x﹣3）2=9﹣q 据题意得 p=3，9﹣q=7，∴p=3，q=2，∴x2﹣6x+q=2 是 x2﹣6x+2=2，∴x2﹣6x=0，∴x2﹣6x+9=9，∴（x﹣3） 2=9，即（x﹣p）2=9，故选 B． 9． x1=x2=1 10．（x﹣2）2=5 11．7 【解析】x2﹣4x﹣1=0，移项得：x2﹣4x=1，配方得：x2﹣4x+4=1+4，（x﹣2）2=5，∴m=2，n=5， ∴m+n=5+2=7． 12． 【解析】由方程 x2﹣10x+25=0，得该方程有两个相等的实数根，即 5．则此三角形的三边都 是 5．则该三角形的面积为 S= ×5×5×sin60°= ×5×5× = ． 13．﹣2 【解析】∵点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，∴ ，解得﹣ ＜x＜﹣ ；又∵点 （5﹣k2，2k+3）在第四象限的角平分线上，∴5﹣k2=﹣2k﹣3，即 k2﹣2k﹣8=0，∴k1=4（不合题意，舍去）， k2=﹣2． 14． x1=2+ ，x2=2﹣ 【解析】由原方程，得 x2﹣4x+2=0，移项，得 x2﹣4x=﹣2，等式的两边同时加 上一次项系数一半的平方，得 x2﹣4x+4=﹣2+4，配方，得（x﹣2）2=2，∴x=2± ，∴x1=2+ ，x2=2﹣ ． 15．﹣1 【解析】由分式的值为零的条件得（x+2）2﹣1=0，x+3≠0，由（x+2）2﹣1=0，得（x+2）2=1， ∴x=﹣1 或 x=﹣3，由 x+3≠0，得 x≠﹣3．综上，得 x=﹣1． 16． 17． 18． ， 【解析】原方程可以化为 ，移项，得 x2+ x=﹣ ，等式的两边同时加上 一次项系数一半的平方，得 x2+ x+ =﹣ + ，配方，得（x+ ）2= ，比较对应系数，有 19．【解】（1）移项得：x2﹣6x=15， 8 配方得：x2﹣6x+9=15+9， （x﹣3）2=24， 开方得：x﹣3=± ， x1=3+2 ，x2=3﹣2 ； （2）移先得：3x2﹣2x=6， x2﹣ x=2， 配方得：x2﹣ x+（ ）2=2+（ ）2， （x﹣ ）2= ， 开方得：x﹣ =± ， ， ； （3）x2+2x=3， 配方得：x2+2x+1=3+1 （x+1）2=4， 开方得：x=﹣1±2， x1=1，x2=﹣3； （4）整理得：x2+2x=15， 配方得：x2+2x+1=15+1， （x+1）2=16， 开方得：x=﹣1±4， x1=3，x2=﹣5． 20．【证明】2x4﹣4x2﹣1﹣（x4﹣2x2﹣3）=x4﹣2x2+2=（x2﹣1）2+1 ∵（x2﹣1）2≥0， ∴（x2﹣1）2+1＞0， ∴不论 x 为何实数，多项式 2x4﹣4x2﹣1 的值总大于 x4﹣2x2﹣3 的值． 21．【解】根据题意得，x2﹣5x﹣6=0， 即（x+1）（x﹣6）=0， ∴x+1=0，x﹣6=0， 解得 x=﹣1 或 x=6， 又 x+1≠0， 解得 x≠﹣1， ∴x 的值是 6． 9 22．【解】（1）x1=5， ； （2） （或 ）； （3）方程二次项系数化为 1， 得 ． 配方得， ，即 ， 开方得， ， 解得 x1=5， ． 经检验，x1=5， 都是原方程的解． 4.3 用公式法求解一元二次方程 1．方程 x2－4x＝0 中，b2－4ac 的值为( ) A．－16 B．16 C．4 D．－4 2．方程 x2＋x－1＝0 的一个根是( ) A．1－ 5 B.1－ 5 2 C．－1＋ 5 D.－1＋ 5 2 3．下列关于 x 的方程有实数根的是( ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 4. 一元二次方程 x2－4x＋4＝0 的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 5. 若关于 x 的一元二次方程 x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是( ) A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1 6. 若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( ) A．k＜5 B．k＜5，且 k≠1 C．k≤5，且 k≠1 D．k＞5 7. a，b，c 为常数，且(a－c)2>a2＋c2，则关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 根的情况是( ) 10 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为 0 8. 用求根公式法解得某方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反数，则( ) A．b＝0 B．c＝0 C．b2－4ac＝0 D．b＋c＝0 9. 若关于 x 的一元二次方程 x2－2x－k＋1＝0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y＝kx－k 的大致图象 是( ) A B C D 10．已知关于 x 的方程 x2＋(1－m)x＋＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的最大整数值是________． 11．若实数范围内定义一种运算“*”，使 a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0 的解为__________． 12. 已知等腰三角形的一腰长 x 满足方程 x2－12x＋31＝0，其周长为 20，则腰长 x 的值为________． 13. 已知一元二次方程(m－3)x2＋2mx＋m＋1＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 m 的取值范围； (2)当 m 在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根． 14. 如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 10 m)，另三边用木栏围成，中间隔有 一道木栏，木栏的总长为 23 m. (1)请你设计一个鸡场，使该鸡场的面积达到 40 m2； (2)你能设计一个面积为 50 m2 的鸡场吗？请说明理由． 11 15. 已知一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若△ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当△ABC 是等腰三角形时， 求 k 的值． 参考答案 1~9 BADBD BBAB 10. 0 11. x1＝－1＋ 5 2 ，x2＝－1－ 5 2 12. 6＋ 5 13. 【解】 (1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝4m2－4(m－3)(m＋1)＞0， 解得 m＞－3 2 ，∴m＞－3 2 且 m≠3. (2)当 m 在取值范围内取最小正偶数，即 m＝2 时， 方程是－x2＋4x＋3＝0， 解得 x1＝2＋ 7，x2＝2－ 7. 14. 【解】(1)设鸡场的宽为 x m，则另一边长为(23－3x)m，依题意得 x(23－3x)＝40，解得 x1＝5，x2＝8 3 ， 当 x＝5 时，23－3x＝810，不符合题意，舍去． ∴鸡场的宽为 5 m，就能使该鸡场的面积达到 40 m2. 12 (2)不能，理由：依题意得 x(23－3x)＝50， 整理得 3x2－23x＋50＝0， ∵b2－4ac＝529－600＝－710， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)【解】∵方程有两个不相等的实数根，∴AB＝AC 不成立， ∴要使△ABC 是等腰三角形， 则 AB 与 AC 其中一条边与 BC 相等，即方程必有一根为 5， ∴52－5(2k＋1)＋k2＋k＝0，解得 k＝4 或 k＝5， 经检验 k＝4 或 k＝5 符合题意，则 k 的值为 4 或 5. 4.4 用因式分解法解一元二次方程 1．方程 x2﹣2x=0 的解为（ ） A．x1=1，x2=2 B．x1=0，x2=1 C．x1=0，x2=2 D．x1= ，x2=2 2．一元二次方程 x（x﹣2）=2﹣x 的根是（ ） A．﹣1 B．2 C．1 和 2 D．﹣1 和 2 3．若实数 x，y 满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0．则 x2+y2 的值为（ ） A．1 B．2 C．2 或﹣1 D．﹣2 或﹣1 4．已知 x2﹣5xy﹣6y2=0（y≠0 且 x≠0），则 的值为（ ） A．6 B．﹣1 C．1 或﹣6 D．﹣1 或 6 5．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式 x2﹣x+1 的值为（ ） A．﹣1 B．7 C．﹣1 或 7 D．以上全不正确 6．已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1=3，x2=﹣4，则二次三项式 x2﹣px+q 可分解为（ ） A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4） C．（x+3）（x+4） D．（x﹣3）（x﹣4） 7．方程 x（x﹣2）=0 的解为______． 8．方程（x﹣2）2=3（x﹣2）的解是______． 9．一元二次方程 x（x﹣6）=0 的两个实数根中较大的根是______． 10．若方程 x2﹣x=0 的两根为 x1，x2（x1＜x2），则 x2﹣x1=______． 11．若 x2﹣mx﹣15=（x+3）（x+n），则 nm 的值为______． 12．方程（x﹣2）2﹣25x2=0 用______法较简便，方程的根为 x1=______，x2=______． 13 13．用因式分解法解方程 x2﹣kx﹣16=0 时，得到的两根均整数，则 k 的值可以是______ （只写出一个即 可） 14．a※b 是新规定的一种运算法则：a※b=a2﹣b2，则方程（x+2）※5=0 的解为______． 15．三角形的每条边的长都是方程 x2﹣6x+8=0 的根，则三角形的周长是______． 16．用因式分解法解下列方程； ①（x+2）2﹣9=0 ②（2x﹣3）2=3（2x﹣3） ③x2﹣6x+9=0 ④（x+5）（x﹣1）=7． 17．用适当方法解下列方程： ①x2﹣2x=99 ②x2+8x=﹣16 ③x2+3x+1=0 ④5x（x+2）=4x+8． 18．已知下列 n（n 为正整数）个关于 x 的一元二次方程：①x2﹣1=0，②x2+x﹣2=0，③x2+2x﹣3=0，…（n） x2+（n﹣1）x﹣n=0． （1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）； （2）请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 14 参考答案 1．C 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A 7． 0 或 2 8． x1=2，x2=5 9．6 10．1 11．25 12．因式分解， ，﹣ 13． 6（答案不唯一） 14． x1=﹣7，x2=3 【解析】由题中的新定义得：（x+2）※5=（x+2）2﹣52=0，可得（x+7）（x﹣3）=0， 即 x+7=0 或 x﹣3=0，解得：x1=﹣7，x2=3． 15． 6 或 12 或 10 【解析】由方程 x2﹣6x+8=0，得 x=2 或 4．当三角形的三边是 2，2，2 时，则周长是 6；当三角形的三边是 4，4，4 时，则周长是 12；当三角形的三边长是 2，2，4 时，2+2=4，不符合三角形 的三边关系，应舍去；当三角形的三边是 4，4，2 时，则三角形的周长是 4+4+2=10．综上所述此三角形的 周长是 6 或 12 或 10． 16【解】①分解因式，得 （x+2+3）（x+2﹣3）=0， ∴x+5=0 或 x﹣1=0 ∴x1=﹣5，x2=1； ②移项，得 （2x﹣3）2﹣3（2x﹣3）=0 提公因式，得 （2x﹣3）（2x﹣3﹣3）=0， ∴2x﹣3=0 或 2x﹣6=0 ∴x1= ，x2=3； ③由公式法，得 （x﹣3）2=0， ∴x﹣3=0 ∴x1=x2=3 （4）变形为： x2+4x﹣5=7， 移项，得 x2+4x﹣5﹣7=0， x2+4x﹣12=0 15 ∴（x+6）（x﹣2）=0， ∴x+6=0 或 x﹣2=0 ∴x1=﹣6，x2=2． 17．【解】①x2﹣2x=99， x2﹣2x﹣99=0， （x﹣11）（x+9）=0， x﹣11=0，x+9=0， x1=11，x2=﹣9； ②x2+8x=﹣16， x2+8x+16=0， （x+4）2=0， x+4=0， x=﹣4， 即 x1=x2=﹣4； ③x2+3x+1=0， b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5， x= ， x1= ，x2= ； ④5x（x+2）=4x+8 5x（x+2）﹣4（x+2）=0， （x+2）（5x﹣4）=0， x+2=0，5x﹣4=0， x1=﹣2，x2= ． 18．【解】（1）①（x+1）（x﹣1）=0， 所以 x1=﹣1，x2=1 ②（x+2）（x﹣1）=0， 所以 x1=﹣2，x2=1； ③（x+3）（x﹣1）=0， 所以 x1=﹣3，x2=1； （n）（x+n）（x﹣1）=0， 所以 x1=﹣n，x2=1 （2）共同特点是：都有一个根为 1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等等． 4.5 一元二次方程根的判别式 16 1．一元二次方程 x2－x－1＝0 的根的情况为( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．下列方程没有实数根的是( ) A．x2＋4x＝0 B．3x2＋8x－3＝0 C．x2－2x＋3＝0 D．(x－2)(x－3)＝12 3．下列关于 x 的方程有实数根的是( ) A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0 4．下列方程中，有两个相等的实数根的是( ) A．x2－2x－1＝0 B．x2－2x＋1＝0 C．x2＝3x－9 D．x2－4x－4＝0 5．关于 x 的一元二次方程 x2－2ax－1＝0(其中 a 为常数)的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．可能有实数根，也可能没有 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 6．关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为( ) A．m＞9 4 B．m＜9 4 C．m＝9 4 D．m＜－9 4 7．若一元二次方程 x2－2x＋m＝0 总有实数根，则 m 应满足的条件是( ) A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≤1 8．下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax2－4x＋c＝0 一定有实数根的是( ) A．a＞0 B．a＝0 C．c＞0 D．c＝0 9．已知关于 x 的方程 kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是( ) A．当 k＝0 时，方程无解 B．当 k＝1 时，方程有一个实数解 C．当 k＝－1 时，方程有两个相等的实数解 D．当 k≠0 时，方程总有两个不相等的实数解 17 10．若关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋k＝0 无实数根，则实数 k 的取值范围是 ． 11．关于 x 的一元二次方程 x2 ＋bx＋2＝0 有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数 b 的 值： ． 12 ． 若 |b－ 1| ＋ a－4 ＝ 0 ， 且 一 元 二 次 方 程 kx2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 有 两 个 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 ． 13．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况． (1)3x2－2x－1＝0； (2)2x2－x＋1＝0； (3)4x－x2＝x2＋2. 14．已知关于 x 的方程为 2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当 k 取什么值时： (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程没有实数根． 15．已知关于 x 的方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值． 16．已知关于 x 的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长． (1)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； 18 (2)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 参考答案 1．A 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．D 9．C 10． k＞1 11． b＝3(答案不唯一，满足 b2>8 即可) 12． k≤4 且 k≠0 13．解：(1)Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0， ∴方程没有实数根． (3)原方程可整理为 x2－2x＋1＝0， ∴Δ＝(－2)2－4×1×1＝0. ∴方程有两个相等的实数根． 14．解：(1)∵a＝2，b＝－(4k＋1)，c＝2k2－1， ∴Δ＝b2－4ac＝[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)＝8k＋9. ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即 8k＋9＞0，解得 k＞－9 8 . (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即 8k＋9＝0，解得 k＝－9 8 . (3)∵方程没有实数根， ∴Δ＜0，即 8k＋9＜0，解得 k0 (2)|x1－x2|＝1，即(x1－x2)2＝1，也就是(x1＋x2)2－4x1x2＝1， 22 而 x1＋x2＝2，x1x2＝m－2 m ，∴22－4×m－2 m ＝1， 解得 m＝8，而 8>0，∴m 的值为 8 16. 解： (1)(x1－1)(x2－1)＝28，即 x1x2－(x1＋x2)＝27， 而 x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，∴m2＋5－2(m＋1)＝27， 解得 m1＝6，m2＝－4， 又Δ＝[－2(m＋1)]2－4×1×(m2＋5)≥0 时，m≥2， ∴m 的值为 6 (2) 若 7 为腰长，则方程 x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0 的一根为 7， 即 72－2×7×(m＋1)＋m2＋5＝0， 解得 m1＝10，m2＝4， 当 m＝10 时，方程 x2－22x＋105＝0，根为 x1＝15，x2＝7，不符合题意，舍去． 当 m＝4 时，方程为 x2－10x＋21＝0，根为 x1＝3，x2＝7，此时周长为 7＋7＋3＝17 若 7 为底边，则方程 x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0 有两等根， ∴Δ＝0，解得 m＝2， 此时方程为 x2－6x＋9＝0，根为 x1＝3，x2＝3，3＋3