最新冀教版八年级数学上册第十七章特殊三角形PPT

第十七章 特殊三角形 17.1 等腰三角形（ 第 1 课时 ） 如图所示， 哪些是轴对称图形 ？ 什么是轴对称图形 ？ 什么样的三角形才是轴对称图形 ？ 观察思考   如图所示 , 把一张长方形纸按图中虚线对折 , 并剪去阴影部分 , 再把它展开 , 得到的 △ ABC 有什么特点 ? 学 习 新 知 AB=AC 复习旧知 什么是 等腰三角形 ？ 有两边相等的三角形叫做等腰三角形 . 在等腰三角形中 , 相等的两边叫做腰 , 另一边叫做底边 , 两腰的夹角叫做顶角 , 腰和底边的夹角叫做底角 . 如图所示 , 在 △ ABC 中 , 若 AB=AC , 则 △ ABC 是等腰三角形 , AB , AC 是腰 , BC 是底边 , ∠ A 是顶角 , ∠ B 和∠ C 是底角 . 如图所示 , △ ABC 是等腰三角形 , 其中 AB=AC. (1) 我们知道线段 BC 为轴对称图形 , 中垂线为它的对称轴 , 由 AB = AC , 可知点 A 在线段 BC 的中垂线上 . 据此 , 你认为 △ ABC 是轴对称图形吗 ? 如果是 , 对称轴是哪条直线 ? (2) ∠ B 和∠ C 有怎样的关系 ? (3) 底边 BC 上的高、中线及∠ A 的平分 线有怎样的关系 ? 是 相等 同一条线 性质 1   等腰三角形的两个底角相等 ( 简称“等边对等角” ) . 等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法 . 性质 2   等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合 ( 简称“三线合一” ) . 知识拓展   如图所示 , 在 △ ABC 中 , AB = AC. 求证∠ B = ∠ C. 证明 : 作 BC 边上的中线 AD , 如图所示 , 则 BD = CD , AD = AD ， AB = AC ， BD = CD ， 所以 △ ABD ≌ △ ACD (SSS), 所以∠ B = ∠ C. 这样 , 就证明了性质 1 . 类比性质 1 的证明你能证明性质 2 吗 ? 在△ ABC 和△ ACD 中， 由 △ ABD ≌ △ ACD , 还可得出 ∠ BAD = ∠ CAD , ∠ ADB = ∠ ADC =90 ° . 从而 AD ⊥ BC , 这也就证明了等腰三角形 ABC 底边上的中线平分顶角∠ A 并垂直于底边 BC. 说明 : 经过以上证明也可以得出等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合 , 等腰三角形是轴对称图形 , 底边上的中线 ( 顶角平分线、底边上的高 ) 所在直线就是它的对称轴 . 等腰三角形还有以下性质 : 知识拓展 (1) 等腰三角形两腰上的中线、高线相等 ; (2) 等腰三角形两个底角平分线相等 ; (3) 等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之 和等于一腰上的高 . 已知 : 如图所示 , 在 △ ABC 中 , AB = BC = AC. 求证 : ∠ A = ∠ B = ∠ C =60 ° 证明 : 在 △ ABC 中 , 由 AB = AC , 得∠ B = ∠ C. 由 AC = BC , 得∠ A = ∠ B. 所以∠ A = ∠ B = ∠ C. 由三角形内角和定理可得∠ A = ∠ B = ∠ C =60 ° . 等边三角形是特殊的等腰三角形 , 除了具有等腰三角形的性质外 , 等边三角形还具有自己特有的性质 : (1) 等边三角形有三条对称轴 ( 等边三角形三条 边都相等 , 都可以作为底边 ); 知识拓展 (2) 作等边三角形各边的高线、中线、各角的 平分线一共有三条 . 例 1 ： 已知 : 如图所示 , 在 △ AB 中 , AB = AC , BD , CE 分别为∠ ABC , ∠ ACB 的平分线 . 求证 : BD = CE. 【 解析 】 根据角平分线定义得到 ∠ ABD = ∠ ABC , ∠ ACE = ∠ ACB , 再根据等边对等角得到∠ ABC = ∠ ACB , 从而得到∠ ABD = ∠ ACE , 然后通过 ASA 证得 △ ABD ≌ △ ACE , 就可以得到 BD = CE. 例 2 ： ( 补充例题 ) 如图所示 , 在 △ ABC 中 , AB = AC , 点 D 在 AC 上 , 且 BD = BC = AD , 求 △ ABC 中各角的度数 . 解 : 因为 AB = AC , BD = BC = AD , 所以∠ ABC = ∠ C = ∠ BDC , ∠ A = ∠ ABD ， 设∠ A = x , 则∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD =2 x , 从而∠ ABC = ∠ C = ∠ BDC =2 x. 在 △ ABC 中 , ∠ A + ∠ ABC + ∠ C = x +2 x +2 x =180 ° , 解得 x =36 ° . 所以∠ A =36 ° , ∠ ABC = ∠ C =72 ° . 课堂小结 1 . 等腰三角形的性质 1 ： 等腰三角形的两个底角相等 ( 简 称“等边对等角” ) . 注意 : 等边对等角只限于在同一个三角形中使用 . 2 . 等腰三角形的性质 2 ： 等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高重合 ( 简称“三线合一” ) . 说明 : 等腰三角形是轴对称图形 , 底边上的中线 ( 底边上的高、顶角平分线 ) 所在的直线是它的对称轴 . 3 . 等边三角形的性质 ： 等边三角形的三个角都相等 , 并且每一个角都等于 60 ° . 检测反馈 1 . 若等腰三角形的顶角为 40 ° , 则它的底角度 数为 (    ) A.40 ° B.50 ° C.60 ° D.70 ° D 解析 : 因为等腰三角形的两个底角相等 , 顶角是 40°, 所以其底角为 (180 ° -40 °) =70° . 故选 D. 2 . 一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7, 则它的周长为 (    ) A.17 B.15 C.13 D.13 或 17 A 解析 : ① 当等腰三角形的腰为 3, 底边为 7 时 ,3+3 c 2 , 那么这个三角形是锐角三角形 . (3) 勾股定理的逆定理的应用 : 应用勾股定理的逆定理可以判断一 个三角形是不是直角三角形 , 在实际应用时 , 可用较短两边长的 平方和与较长边长的平方作比较 , 若它们正好相等 , 则三角形为 直角三角形 , 较长边所对的角为直角 . 课堂小结 1 . 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 , 那么这个三角形是直角三角形 . 它是判断一个三角形是不是直角三角形的重要方法 . 2 . 勾股定理与其逆定理的联系与区别 联系 : ① 两者都与三角形三边关系 a 2 + b 2 = c 2 有关 ; ② 两者都与直角三角形有关 . 区别 : 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件 , 进而得到这个直角三角形的三边数量关系 , 即 a 2 + b 2 = c 2 ; 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足 a 2 + b 2 = c 2 ”为条件 , 进而得到这三角形是直角三角形 , 是判别一个三角形是不是直角三角形的有效方法 . 检测反馈 1 . 以下列各组数为边长的三角形中 , 是直角三角形的是 (    ) A.3,4,6 B.9,12,15 C.5,12,14 D.10,16,25 B 解析 : A.3 2 +4 2 ≠ 6 2 , 故不是直角三角形 , 故不正确 ; B.9 2 +12 2 =15 2 , 故是直角三角形 , 故正确 ; C.5 2 +12 2 ≠ 14 2 , 故不是直角三角形 , 故不正确 ; D.10 2 +16 2 ≠ 25 2 , 故不是直角三角形 , 故不正确 . 2 . △ ABC 的三边为 a , b , c , 在下列条件中 , △ ABC 不是直角三角形的是 (   ) A. a 2 = b 2 -c 2 B. a 2 ∶ b 2 ∶ c 2 =1∶2∶3 C. ∠ A = ∠ B- ∠ C D. ∠ A ∶ ∠ B ∶ ∠ C =3∶4∶5 D 解析 : A.∵ a 2 = b 2 -c 2 ,∴ a 2 + c 2 = b 2 , 故本选项正确 ;B.∵ a 2 ∶ b 2 ∶ c 2 = 1∶2∶3,∴ 令 a 2 = x , 则 b 2 =2 x , c 2 =3 x .∵ x +2 x =3 x ,∴ a 2 + b 2 = c 2 , 故本选项 正确 ;C.∵ ∠ A = ∠ B- ∠ C , ∴ ∠ B = ∠ A + ∠ C . ∵ ∠ A + ∠ B + ∠ C =180 ° , ∴2( ∠ A + ∠ C )=180 ° , 即∠ A + ∠ C =90 ° , 故本选项正确 ;D.∵ ∠ A ∶ ∠ B ∶ ∠ C =3∶4∶5,∴ 设∠ A =3 x , 则∠ B =4 x , ∠ C =5 x .∵ ∠ A + ∠ B + ∠ C =180 ° ,∴3 x +4 x +5 x =180 ° , 解得 x =15 ° ,∴5 x =5 × 15=75 ° < 90 ° , 故本选项错误 . 3 . 如图所示 , 四边形 ABCD 中 , AB =3, BC =4, AC =5, CD =12, AD =13, 则四边形 ABCD 的面积为 (    ) A.72 B.36 C.66 D.42 B 解析 : ∵ AB 2 + BC 2 =3 2 +4 2 =25=5 2 = AC 2 ,∴ △ ABC 是直角三角 形 . ∵ AC 2 + CD 2 =5 2 +12 2 =13 2 = AD 2 ,∴ △ ACD 是直角三角形 , ∴ S 四边形 ABCD = AB · BC + AC · CD = × 3 × 4+ × 5 × 12=36 . 4 . 有一个三角形的两边长是 4 和 5, 要使这个三角形成为直角三角形 , 则第三边长为       . 解析 : ① 当第三边为斜边时 , 第三边长 ② 当边长为 5 的边为斜边时 , 第三边长 5 . 已知 △ ABC 的∠ A , ∠ B 和∠ C 的对边分别是 a , b 和 c , 下面给出了五组条件 :① ∠ A ∶ ∠ B ∶ ∠ C =1∶2∶3;② a ∶ b ∶ c =3∶4∶5; ③2 ∠ A = ∠ B + ∠ C ;④ a =6, b =8, c =13 . 其中能独立判定 △ ABC 是直角三角形的条件的序号是      . 解析 : ①∵ ∠ A ∶ ∠ B ∶ ∠ C =1∶2∶3,∴ ∠ C =90 ° , 故是直角三角形 ;② 设 a =3 k , 则 b =4 k , c =5 k ,(3 k ) 2 +(4 k ) 2 =(5 k ) 2 , 故是直角三角形 ; ③ ∵2 ∠ A = ∠ B + ∠ C , ∠ A + ∠ B + ∠ C =180 ° ∴ ∠ A =60 ° , ∠ B + ∠ C =120 ° , 不能判定 △ ABC 是直角三角形 ;④∵6 2 +8 2 ≠ 13 2 ,∴ 不能判定 △ ABC 是直角三角形 . 能独立判定 △ ABC 是直角三角形的条件是 ①② . 故填 ①② . ①② 解 : 在 △ ABD 中 , ∵ AB =26, AD =24, AD 是 BC 的中线 , ∴2 BD =2 CD = BC =20, 满足 AB 2 = AD 2 + BD 2 , ∴ △ ABD 为直角三角形 , 即 AD ⊥ BC , ∴ AC = AB =26 . 6 . 如图所示 , 在 △ ABC 中 , AB =26, BC =20, 边 BC 上的中线 AD =24 . 求 AC 的长 . (2) 以 a , b , c 为边能否构成直角三角形 ? 8 . 一根 30 米长的细绳折成 3 段 , 围成一个三角形 , 其中一条边的长度比较短边长 7 米 , 比较长边短 1 米 , 请你判断这个三角形的形状 . 解 : 设中间长的边长为 x 米 , 则较长边的长为 ( x +1) 米 , 较 短边的长为 ( x- 7) 米 , ∵ 三角形周长为 30 米 , ∴ x + x +1+ x- 7=30, 解得 x =12, 则 x +1=13, x- 7=5, ∵5 2 +12 2 =13 2 , ∴ 这个三角形为直角三角形 . 9 . 如图所示 , 某探险队的 A 组由驻地 O 点出发 , 以 12 km/h 的速度行进 , 同时 , B 组也由驻地 O 出发 , 以 9 km/h 的速度向另一个方向行进 ,2 h 后同时停下来 , 这时 A , B 两组相距 30 km . (1) 此时 , A , B 两组行进的方向成直角吗 ? 请说明理由 ; 解 : （ 1 ） 出发 2 h, A 组行进了 12 × 2=24(km), B 组行进了 9 × 2=18(km), 因为 A , B 两组相距 30 km, 且有 24 2 +18 2 =30 2 , 所以 A , B 两组行进的方向成直角 . (2) 若 A , B 两组仍以原速行进 , 相向而行 , 经过几小时相遇 ? （ 2 ） 若 A , B 两组仍以原速行进 , 则经过 30÷(12+9)= h 相遇 . 第十七章 特殊三角形 17.4 直角三角形全等的判定 三角形全等的判定方法有哪些 ? 复习巩固 SSS( 三边对应相等的两个三角形全等 ) ASA( 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ) SAS( 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 ) AAS( 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 ) 复习巩固 有哪些边角的组合不能判定两个三角形全等 ? 你能通过画图说明理由吗 ? 如图 (1) 所示 , 已知两条线段 ( 这两条线段长不相等 ), 以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边 , 画一个直角三角形 . 所有的直角三角形都全等吗 ? 1 . 画一线段 AB , 使它等于 4 cm; 2 . 画∠ EAB =90 ° ; 3 . 以点 B 为圆心 , 以 5 cm 长为半径画 弧 , 交射线 AE 于点 C ; 4 . 连接 BC. △ ABC 即为所求 , 如图 (2) 所示 . 证明： 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形 全等 , 简记为 HL( 或斜边、直角边 ) . 如图所示 , 在 Rt △ ABC 和 Rt △ A'B'C' 中 , 已知∠ ACB = ∠ A'C'B' =90 ° , AB = A'B' , AC = A'C'. 由于直角边 AC = A'C' , 我们移动其中的 Rt △ ABC , 使点 A 与点 A' 、点 C 与点 C' 重合 , 且使点 B 与点 B' 分别位于线段 A'C' 的两侧 . 因为∠ ACB = ∠ A'C'B' =90 ° , 所以∠ B'C'B = ∠ ACB + ∠ A'C'B' =180 ° , 因此点 B , C' , B' 在同一条直线上 , 于是在 △ A'B'B 中 , 由 AB = A'B' ( 已知 ), 得∠ B = ∠ B'. 由“角角边”便可知这两个三角形全等 . 已知一直角边和斜边 , 用尺规作直角三角形 . 已知 : 如图所示 , 线段 a , c. 求作 : △ ABC , 使∠ C =90 ° , BC = a , AB = c. 作法 : 如图所示 . (1) 作线段 CB = a. (2) 过点 C , 作 MC ⊥ BC. (3) 以 B 为圆心 , c 为半径画弧 , 交 CM 于点 A. (4) 连接 AB. 则 △ ABC 即为所求 . 分析 : 首先作出边 BC , 由∠ C 为直角可以作出另一直角边所在的射线 , 由 AB = c 可以确定点 A. 结论 : 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等 已知 : 如图 (1) 所示 , 点 P 在∠ AOB 的内部 , PC ⊥ OA , PD ⊥ OB , 垂足分别为 C , D , 且 PC = PD. 求证 : 点 P 在∠ AOB 的平分线上 . 证明 : 如图 (2) 所示 , 作射线 OP. ∵ PC ⊥ OA , PD ⊥ OB. ∴ ∠ PCO = ∠ PDO =90 ° , 在 Rt △ OPC 和 Rt △ OPD 中 , ∴Rt △ OPC ≌ Rt △ OPD (HL) . ∴ ∠ POA = ∠ POB. ∴ OP 是∠ AOB 的平分线 , 即点 P 在∠ AOB 的平分线上 . PC=PD OP=OP 思考 : 这个命题与角平分线的性质定理有什么 区别 ? 通过这道题 , 你能得到怎样的结论 ? 归纳 : 角平分线性质定理的逆定理 : 到角两 边距离相等的点在这个角的平分线上 . 例： ( 补充例题 ) 如图所示 , AC ⊥ BC , BD ⊥ AD , 垂足分别为 C , D , AC = BD. 求证 BC = AD. 【 解析 】 欲证 BC = AD , 首先应寻找和这两条线段有关的三角形 , 这里有 △ ABD 和 △ BAC , △ ADO 和 △ BCO ( O 为 DB , AC 的交点 ), 经过分析 , △ ABD 和 △ BAC 具备全等的条件 . 证明 :∵ AC ⊥ BC , BD ⊥ AD. ∴ ∠ C 与∠ D 都是直角 . 在 Rt △ ABC 和 Rt △ BAD 中 , ∴Rt △ ABC ≌ Rt △ BAD (HL) . ∴ BC=AD. AB=BA AC=BD 想一想 : 你能用几种方法判定两个直角三角形全等 ? 直角三角形是特殊的三角形 , 所以不仅有一般三角形全等的判定方法 :SAS,ASA,AAS,SSS, 还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“ HL ” . 练一练 : 1 . 如图所示 , 两根长度为 12 米的绳子 , 一端系在旗杆上 , 另一端分别固定在地面两个木桩上 , 两个木桩离旗杆底部的距离相等吗 ? 请说明你的理由 . 2 . 如图所示 , 有两个长度相同的滑梯 , 左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方面的长度 DF 相等 , 两个滑梯的倾斜角∠ ABC 和∠ DFE 的大小有什么关系 ? 下面是三名同学解决第 2 题的思考过程 , 你能明白他们的意思吗 ? CB=EF AC=DF ∠ CAB= ∠ FDE= 90 ° Rt △ ABC ≌ Rt △ DEF →∠ ABC = ∠ DEF →∠ ABC + ∠ DFE =90 ° （ 1 ） (2) 有一条直角边和斜边对应相等 , 所以 Rt △ ABC 与 Rt △ DEF 全等 . 所以∠ ABC = ∠ DEF , 所以∠ ABC + ∠ DFE =90 ° . (3) 在 Rt △ ABC 和 Rt △ DEF 中 , BC = EF , AC = DF , 所以 AB = DE , 因此这两个直角三角形是全等的 , 所以∠ ABC = ∠ DEF , 所以∠ ABC + ∠ DFE =90 ° . 课堂小结 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等 ( 可以简写成“斜边、直角边”或“ HL ” ) . 直角三角形首先是三角形 , 所以一般三角形全等的判定方法都适合它 . 同时 , 直角三角形又是特殊的三角形 , 有它的特殊性 , “ HL ”定理是直角三角形全等独有的判定方法 , 所以直角三角形的判定方法最多 , 使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件 . 检测反馈 1 . 能判定两个直角三角形全等的条件是 (    ) A. 一个锐角对应相等 B. 两个锐角对应 相 等 C . 一条边对应相等 D. 两条边对应相等 D 解析 : A. 一个锐角对应相等 , 利用已知的直角相等 , 可得出另一组锐角相等 , 但不能证明两个直角三角形全等 , 故 A 选项错误 ;B. 两个锐角相等 , 那么也就是三个角对应相等 , 但不能证明两个直角三角形全等 , 故 B 选项错误 ;C. 一条边对应相等 , 再加一组直角相等 , 不能得出两个直角三角形全等 , 故 C 选项错误 ;D. 两条边对应相等 , 若是两条直角边相等 , 可利用 SAS 证全等 , 若一直角边对应相等 , 一斜边对应相等 , 利用 HL 也可证全等 , 故 D 选项正确 . 故选 D. 2 . 如图所示 , 矩形 ABCD 中 , E 为 CD 的中点 , 连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F , 连接 BD , DF , 则图中全等的直角三角形共有 (    ) A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对 B 解析 : 由 E 是 CD 中点 , 可知 DE = EC , 由四边形 ABCD 是矩形 , 可得 AD = BC , AB = CD , ∠ DCB = ∠ DCF =90 ° , AD ∥ BF ,∴ ∠ DAE = ∠ EFC , 图中全等的直角三角形有 : △ AED ≌ △ FEC , △ BDC ≌ △ FDC ≌ △ DBA , 共 4 对 . 故选 B. 3 . 如图所示 , 用“ HL ”判定 Rt △ ABC 和 Rt △ DEF 全等的条件是 (    ) A. AC = DF , BC = EF B. ∠ A = ∠ D , AB = DE C. AC = DF , AB = DE D. ∠ B = ∠ E , BC = EF C 解析 : ∵ 在两个直角三角形中 , AB , DE 是斜边 , ∴ 只有 C 中 , AC = DF , AB = DE 符合题意 . 4 . 如图所示 , △ ABC 中 , ∠ ABC =45 ° , AD ⊥ BC 于 D , 点 E 在 AD 上 , 且 BE = AC , 求证 DE = CD. 证明 :∵ ∠ ABC =45 ° , AD ⊥ BC , ∴ AD = BD , ∠ BDE = ∠ ADC =90 ° . 又 ∵ BE = AC , ∴Rt △ BDE ≌ Rt △ ADC. ∴ DE = CD. 解析 : 由∠ ABC =45 ° , AD ⊥ BC 可得到 AD = BD , 因为 BE = AC , 所以 Rt △ BDE ≌ Rt △ ADC , 从而得出 DE = CD. 第十七章 特殊三角形 17.5 反证法 三个古希腊哲学家甲、乙、丙 , 由于争论和天气炎热感到疲倦了 , 于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会儿 , 结果都睡着了 . 这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额 . 三个人醒来以后 , 彼此看了看 , 都笑了起来 . 但这并没有引起他们之中任何一个人的担心 , 因为每个人都以为是其他两人在互相取笑 . 其中甲突然不笑了 , 因为他发觉自己的前额也被涂黑了 . 他是怎样觉察到的呢 ? 你能想出来吗 ? 问题思考 活动一 : 反证法 4 . 根据原来的假设 : 前额没被涂黑是错误的 , 便可知道没被涂黑的反面 —— 被涂黑了是正确的结论 . 简单地说 , 甲是通过说明前额被涂黑了的反面 —— 没被涂黑是错误的 , 从而觉察到自己的前额被涂黑了 . 仔细分析甲的思考过程 , 不难看出它分 4 个步骤 : 1 . 假设自己的前额没被涂黑 ; 2 . 根据这个假设进行推理 , 推得一个与乙对丙的笑不感到奇怪的这个事实相矛盾的结果 —— 乙应对丙的笑感到奇怪 ; 3 . 根据这个矛盾 , 说明原来假设自己的前额没被涂黑是错误的 ; 已知 : 如图所示 , △ ABC . 求证 : 在 △ ABC 中 , 如果它含直角 , 那么它只能有一个直角 . 这与“三角形的内角和等于 180° ”相矛盾 , 因此三角形有两个 ( 或三个 ) 直角的假设是不成立的 . 所以如果三角形含直角 , 那么它只能有一个直角 . 证明 : 假设△ ABC 中有两个 ( 或三个 ) 直角，不妨设∠ A = ∠ B =90 ° ， ∵ ∠ A + ∠ B =180 ° ， ∴ ∠ A + ∠ B + ∠ C =180 ° + ∠ C >180 ° ， 总结：反证法是间接证明的方法 第三步 : 由矛盾的结果 , 判定假设不成立 , 从而说明命题的结论是正确的 . 用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤 . 第一步 : 假设命题的结论不成立 . 第二步 : 从这个假设和其他已知条件出发 , 经过推理论证 , 得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果 . 活动二 : 应用举例 例 1 用反证法证明平行线的性质定理一 : 两条平行线被第三条直线所截 , 同位角相等 . 已知 : 如图所示，直线 AB ∥ CD ， 直线 EF 分别与直线 AB , CD 交于点 G ， H ， ∠ 1 和∠ 2 是同位角 . 求证 : ∠ 1= ∠ 2. 证明 : 假设∠ 1 ≠∠ 2 . 过点 G 作直线 MN ， 使得∠ EGN = ∠ 1 . ∵ ∠ EGN = ∠ 1 ， ∴ MN ∥ CD ( 基本事实 ) . 又 ∵ AB ∥ CD ( 已知 ) ， ∴ 过点 G ， 有两条不同的直线 AB 和 MN 都与直线 CD 平行 . 这与“经过已知直线外一点 , 有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾 . ∴ ∠ 1 ≠∠ 2 的假设是不成立的 . 因此 ∠ 1= ∠ 2 . 已知 : 在 Δ ABC 和 Δ A'B'C' , ∠ C = ∠ C' =90 ° , AB = A'B' , AC = A'C' , 如图所示 . 求证 : △ ABC ≌ △ A'B'C'. 证明 : 假设 △ ABC 与 △ A'B'C' 不全等，即 BC ≠ B'C' ， 不妨设 BC < B'C' ， 在 B'C' 上截取 C'D = CB , 连接 A'D. 在△ ABC 与△ A'DC' 中， ∵ AC = A'C' , ∠ C = ∠ C' , CB = C'D , ∴ △ ABC ≌ △ A'DC' (SAS) . ∴ AB = A'D ( 全等三角形的对应边相等 ) . ∵ AB = A'B' ( 已知 ), ∴ A'B' = A'D ( 等量代换 ) . ∴ ∠ B' = ∠ A'DB' ( 等边对等角 ) . ∴ ∠ A'DB' 45 ° , ∠ B >45 ° B. ∠ A ≥ 45 ° , ∠ B ≥ 45 ° C. ∠ A 45° . 故选 A. A 解析 : ∵ 当 a =1, b = - 2 或 a =0, b = - 1 或 a = - 1 ， b = - 2 时， a > b ， a 2 < b 2 ， ∴A ， B ， C 都能证明“若 a > b , 则 a 2 > b 2 ”是假命题，故 A ， B ， C 不符合题意，只有当 a =2 ， b = - 1 时，“若 a > b , 则 a 2 > b 2 ”是真命题 , 故此时 a , b 的值不能作为反例 . 故选 D. 2 . 要证明命题“若 a > b ， 则 a 2 > b 2 ”是假命题 , 下列 a ， b 的值不能作为反例的是 (    ) A. a =1 ， b = - 2 B. a =0 ， b = - 1 C. a = - 1 ， b = - 2 D. a =2 ， b = - 1 D 解析 : ∵ “至少有两个”的反面为“至多有一个” , 而反证法的假设即原命题的结论不成立 ,∴ 应假设 : 三角形三个外角中至多有一个钝角 , 也可以假设 : 三个外角中只有一个钝角 . 故选 D. 3 . 用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时 , 假设正确的是 (    ) A . 假设三个外角都是锐角 B. 假设至少有一个钝角 C. 假设三个外角都是钝角 D. 假设三个外角中只有一个钝角 D 4 . 用反证法证明“如图所示 , 如果 AB ∥ CD , AB ∥ EF , 那么 CD ∥ EF ”时 , 证明的第一步是 (    ) A. 假设 AB 不平行于 CD B. 假设 AB 不平行于 EF C. 假设 CD ∥ EF D. 假设 CD 不平行于 EF 解析 : ∵ 用反证法证明命题“如果 AB ∥ CD , AB ∥ EF , 那么 CD ∥ EF , ” ∴ 证明的第一步应是 : 从结论反面出发 , 假设 CD 不平行于 EF. 故选 D. D 5 . 用反证法证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 . 已知 : 如图所示 , ∠ 1 是 Δ ABC 的一个外角 . 求证 : ∠ 1= ∠ A + ∠ B. 证明 : 假设∠ 1 ≠∠ A + ∠ B , 在 Δ ABC 中 , ∠ A + ∠ B + ∠ 2=180 ° , ∵ ∠ 1+ ∠ 2=180 ° , ∴ ∠ 2=180 ° - ∠ 1, ∵ ∠ 1 ≠∠ A + ∠ B ,∴ ∠ 2 ≠ 180 ° - ( ∠ A + ∠ B ) ∴ ∠ A + ∠ B + ∠ 2 ≠ 180 ° . 与“三角形的内角和等于 180 ° ”相矛盾 ,∴ 假设不成立 , 原命题成立 , 即∠ 1= ∠ A + ∠ B. 6 . 用反证法证明一个三角形中不可能有两个角是钝角 . 已知 :Δ ABC. 求证 : ∠ A , ∠ B , ∠ C 中不可能有两个角是钝角 . 证明 : 假设∠ A , ∠ B , ∠ C 中有两个角是钝角 , 不妨设∠ A , ∠ B 为钝角 , ∴ ∠ A + ∠ B >180 ° , 这与三角形内角和定理相矛盾 , 故假设不成立 , 原命题正确 . 即一个三角形中不可能有两个角是钝角 . 7 . 请用反证法证明“如果两个整数的积是偶数 , 那么这两个整数中至少有一个是偶数 . ” 证明 : 假设这两个整数都是奇数 , 其中一个奇数为 2 n +1, 另一个奇数为 2 p +1( n , p 为整数 ), 则 (2 n +1)(2 p +1)=2(2 np + n + p )+1, ∵ 无论 n , p 取何值 ,2(2 np + n + p )+1 都是奇数 , 这与两个整数的积为偶数相矛盾 , ∴ 假设不成立 , ∴ 这两个整数中至少有一个是偶数 .