华东师大版八年级数学下册导学案：19.2.1第2课时菱形的性质与其他几何图形性质的综合

第 2 课时 菱形的性质与其他几何图形性质的综合 学习目标：1.进一步熟练掌握菱形的性质定理 1、2，并会用这些性质进行有关的论证和计算. 2.能综合运用菱形的性质与其他几何图形的性质解决问题. 自主学习 一、知识链接 1．菱形的定义是什么？ 2．菱形有哪些性质？它是什么对称图形？ 合作探究 一、探究过程 探究点 1：菱形的性质与其他知识的综合 例 1 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2 cm，∠BAD＝120°，对角线 AC、BD 相交于点 O.试求这个菱形的 两条对角线 AC 与 BD 的长．(结果保留根号) 分析：若菱形中含有 120°的内角，容易想到等边三角形与等腰三角形的“三线合一”，再由菱形对角线 垂直，可以利用勾股定理求出对角线的长． 【针对训练】1.菱形的一个内角为 120°,平分这个内角的对角线长为 11 cm，菱形的周长为______. 例 2 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直平分 CD，垂足为点 E，求∠BCD 的大小． 例 3 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形 AODE 是矩形． 二、课堂小结 菱形的性质与其他知识的综合 解题策略 1．连结菱形对角线产生等腰三角形，可用“三线合一”． 2．当菱形一个内角为 60°或 120°时，可产生等边三角形． 当堂检测 1.如图是边长为 16 cm 的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离 AB=BC=16cm，则∠1= . 1 CBA 2.菱形的周长为 20 cm，两邻角的比为 1:2，则较短对角线的长是_____________；一组对边的距离是 ____________． 3.如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，且 DE⊥AB，AB＝4． 求：(1)∠ABC 的度数；(2)菱形 ABCD 的面积． 4.如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 cm，∠ABC=60°，沿菱形的两条对角线修建了两条小路 AC 和 BD， 求两条小路的长和花坛的面积. 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.解：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2. 解：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直．它既是轴对称图形，又是中心对称图形，共有两条 对称轴，其对称轴是对角线所在的直线． 合作探究 一、探究过程 探究点 1： 例 1 解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴OB＝OD，AB＝AD，AC⊥BD.∴AO 平分∠BAD.∴∠BAO＝∠DAO ＝1 2 ∠BAD＝60°.在△ABC 中，∵AB＝BC，∠BAC＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC＝AB＝2cm. 在 Rt△AOB 中，∴BO＝ AB2－AO2＝ 22－12＝ 3(cm).∴BD＝2BO＝2 3 cm. 【针对训练】1. 44 cm 例 2 解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝DC＝CB＝BA.又∵AE 垂直平分 CD，∴AC＝AD.∴AC＝ AD＝DC＝CB＝BA，即△ADC 与△ABC 都是等边三角形.∴∠ACD＝∠ACB＝60°.∴∠BCD＝120°. 例 3 证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形 AODE 是平行四边形.∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°.∴四边形 AODE 是矩形． 当堂检测 1. 60° 2. 5 cm 5 32 cm 3. 解：（1）在菱形 ABCD 中，AD=AB.连结 BD，∵DE 垂直平分 AB，∴AD=BD.∴△ABD 是等边三角形， ∠DAB=60°.∴∠ABC=180°-∠DAB=120°. (2) AD=AB=4，AE= 1 2 AB=2.由（1）知，DE= 2 2 2 24 2 2 3AD AE- = - = . ∴S 菱形 ABCD=AB×DE=4× 2 3 =8 3 . 4. 解： 菱形 ABCD 中，AC⊥BD，AB=BC.∵∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形, ∠BAO=60°，∠ABO=30°.∴在 Rt△ABO 中，AO= 1 2 AB=10 cm， 2 2 2 220 10 10 3BO AB AO= - = - = (cm). ∴AC=AB=20 cm.BD=2BO=20 3 cm.S 菱形 ABCD= 1 2 AC×BD=200 3 cm2.