华东师大版九年级数学下册导学案：26.3第3课时二次函数与一元二次方程的联系

26.3 实践与探索 第 3 课时 二次函数与一元二次方程的联系 学习目标： 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系，体会数形结合思想的应用.（难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.(重点） 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 自主学习 一、知识链接 1.如图①，直线 y=kx+b 与 x 轴的交点坐标为（1，0），则关于 x 的方程 kx+b=0 的解是 ； 关于 x 的不等式 kx+b＜0 的解集为 ；若点 P（2.5，3）在函数图象上，则关于 x 的方 程 kx+b=3 的解是 . 图① 图② 2.如图②，在平面直角坐标系中，直线 y=kx+b 和 y=mx+n 相交于点(2，-1），则关于 x、y 的 方程组 ,kx y b mx n y      的解为 .不等式 kx+b＞mx+n 的解集是 . 3.不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）5x2 +x=7； （2）25x2 +20x+4=0； （3）（x+1）（4x+1）=2x． 思考：对于抛物线 y=ax2+bx+c,能否通过图象得出 y=0 的解及 y＞0 的解集？ 二、新知预习 1.画出二次函数 2 2 3,y x x   2 2 2,y x x   2 4 4y x x   的图象. （1）根据图象填写下表： 抛物线与 x 轴交点个数 交点横坐标 方程 y=0 的根 2 2 3y x x   2 2 2y x x   2 4 4y x x   （2）通过上表，你能得出什么结论？ 【自主归纳】二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点个数：当 b2-4ac＞0 时，有_____个交点；当 b2-4ac=0 时，有_____个交点；当 b2-4ac＜0 时，有_____个交点. （3）对于二次函数 2 2 3,y x x   观察图象，填空： 当 x 满足条件________________时，y＜0；当 x 满足条件_________________时，y＞0 练习： 1. 二次函数 y=2x2 +3x+1 的图象与 x 轴的交点有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 个或 2 个 2.画出二次函数 y=x2-4x+3 的图象，并回答:当 x 取何值时，y=0?当 x 取何值时，y＞0?当 x 取何值时，y＜0? 合作探究 一、要点探究 探究点 1：二次函数与一元二次方程（不等式）的关系 观察与思考 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图③所示，根据图象填空： （1）直接写出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解：_________________________; （2）当 x 满足________________时，y＞0，当 x 满足________________时，y＜0. （3）在坐标系中画出直线 y=4,它与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象有交点吗？若有，则交点的横坐标为 _________________;由此，可以得出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=4 的解为______________________; （4）在坐标系中画出直线 y=3,此时直线 y=3 与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象有_____个交点；交点的横坐标 为____________________;请写出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c-3=0 的解：_________________________; 图③ 图④ 【要点归纳】一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根就是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可 以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法. 思考：利用图象法求关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解时，除了画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象， 通过其与 x 轴的交点坐标得出方程的解之外，还有别的方法吗？ 问题：在图④所示的坐标中，画出二次函数 y=x2 和一次函数 y=x+2 的图象，根据图象，填空： （1）抛物线与直线交点的横坐标分别为____________,它们可看作是一元二次方程______________的解； （2）抛物线与直线交点的坐标分别为___________________,它们可看作是方程组______________的解. 练一练 已知二次函数 y=-x2+2x+3 和一次函数 y=-x+3 的图象如图⑤所示，根据图象，填空： （1）关于 x 的一元二次方程-x2+2x+3=-x+3 的解为________________； （2）方程组 2 2 3, 3 y x x y x          的解为_______________________； （3）不等式-x2+2x+3＞-x+3 的解集为_____________________. 图⑤ 图⑥ 图⑦ 【典例精析】 例 1 二次函数 y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象如图⑥所示，则方程 ax 2+bx+c-4=0 的根的情况是 （ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的正实数根 C．有两个不相等的负实数根 D．没有实数根 【针对训练】 已知函数 y=ax 2 +bx+c 的图象如图 ⑦所示，那么关于 x 的方程 ax 2 +bx+c+ 3 2 =0 的根 的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 例 2 已知关于 x 的二次函数 y=ax 2 -4ax+a+1（a＞0），若二次函数的图象 与 x 轴有交点，求 a 的取值范围. 【针对训练】已 知 二 次 函 数 y=x2 -2mx+m2 -1（ m 为 常 数 ） ． 求 证 ： 不 论 m 为 何 值 ， 该 函 数 的 图 象与 x 轴总有两个公共点. 探究点 2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 做一做 求一元二次方程 2 2 2 0x x   的根的近似值(精确到 0.1). （1）在给出的平面直角坐标系中画出 y= 2 2 2x x  的图象； （2）观察图象，可知 y= 2 2 2x x  的图象与 x 轴的两个交点,一个在________之 间，一个在_________之间； （3）根据图象估算一个根在-0.8~-0.6 之间，另一个根在 2.6~2.8 之间，填写下表（可利用计算器进行 计算）： （4）根据上表，可知当 x=_____________时，y 的值更趋近于 0，则一元二次方程 2 2 2 0x x   的根的近 似值为_______________________. 【要点归纳】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，先画出相应二次函数的图象，确定其与 x 轴 交点的横坐标所在范围；再根据图象及精确度，估算 x 的近似取值范围，然后通过列表求值，得出使得 y 的值最趋近于 0 的 x 的值，此时 x 的值即为一元二次方程的近似解. 二、课堂小结 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根 x1，x2 x1=x2＝ 2 b a  没有实数根 不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 xx2 x ≠ x1 的一切实数 所有实数 不等式 ax2+bx+c0)的解集 x1