2021年高三数学二轮复习讲练测之练案 专题二十 三角形中的不等和最值问题 【教师版】（文理通用）

专题 20 三角形中的不等和最值问题 一、练高考 1．【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 17】 ABC△ 中， 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C   ． （1）求 A ； （2）若 3BC  ，求 ABC△ 周长的最大值． 【答案】（1） 2 3  ；（2）3 2 3 ． 【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 cos A的形式，进而求得 A； （2）利用余弦定理可得到 2 9AC AB AC AB    ，利用基本不等式可求得 AC AB 的最大值，进而得到 结果． 【解析】（1）由正弦定理可得： 2 2 2BC AC AB AC AB    ， 2 2 2 1cos 2 2 AC AB BCA AC AB      ，  0,A  ， 2 3A   ． （2）由余弦定理得： 2 2 2 2 22 cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB         ， 即 2 9AC AB AC AB    ． 2 2 AC ABAC AB       （当且仅当 AC AB 时取等号），       2 2 2 239 2 4 AC ABAC AB AC AB AC AB AC AB             ， 解得： 2 3AC AB  （当且仅当 AC AB 时取等号）， ABC 周长 3 2 3L AC AB BC     ， ABC 周长的最大值为3 2 3 ． 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了正弦定理、余弦定理，考查三角形周长最大值的求解问题， 考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构 造不等关系求得最值． 2．【2020年高考浙江卷18】在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2 sin 3b A a ． （I）求角B； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I） 3B  ；（II） 3 1 3,2 2     【思路导引】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小； （II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形 确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得 cos cos cosA B C  的取值范围． 【解析】（I）由 2 sin 3b A a 结合正弦定理可得： 32sin sin 3 sin , sin 2B A A B   ，△ABC 为锐角三 角形，故 3B  ． （II）结合(1)的结论有： 1 2cos cos cos cos cos2 3A B C A A         1 3 1cos cos sin2 2 2A A A    3 1 1sin cos2 2 2A A   1sin 6 2A       ． 由 20 3 2 0 2 A A          可得： 6 2A   ， 2 3 6 3A     ，则 3sin ,13 2A            ， 1 3 1 3sin ,2 23 2A             ，即 cos cos cosA B C  的取值范围是 3 1 3,2 2     ． 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角恒等变换在解三角 形中的应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键熟记有关公式，进行合理转化．解三 角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类 型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用 函数思想求最值． 3．【2019 年高考北京卷】如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点， APB 是锐角，大小 为β．图中阴影区域的面积的最大值为 A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ 【答案】B 【解析】设圆心为 O，如图 1，连接 OA，OB，AB，OP，则 2 2AOB APB     ，∴ 22 2 42OABS  扇形   ， ∵ ABP AOBOABS S S S  △ △阴影 扇形 ，且 AOBOABS S△扇形 ， 都已确定，∴当 ABPS△ 最大时，阴影部分面积最大．观 察图象可知，当 P 为弧 AB 的中点时（如图 2），阴影部分的面积 S 取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π−β，面积 S 的最大值为 ABP AOBOABS S S S  △ △阴影 扇形 = 4β+S△POB+ S△POA=4β+ 1 2 |OP||OB|sin（π−β）+ 1 2 |OP||OA|sin（π−β）=4β+2sinβ+2sinβ=4β+4 sinβ，故选 B． 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有 一定的难度．关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示． 4．【2019 年高考全国Ⅱ卷】已知 1 2,F F 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐 标原点． （1）若 2POF△ 为等边三角形，求 C 的离心率； （2）如果存在点 P，使得 1 2PF PF ，且 1 2F PF△ 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围． 【答案】（1） 3 1 ；（2） 4b  ，a 的取值范围为[4 2, ) ． 【解析】（1）连结 1PF ，由 2POF△ 为等边三角形可知在 1 2F PF△ 中， 1 2 90F PF   ， 2PF c ， 1 3PF c ， 于是 1 22 ( 3 1)a PF PF c    ，故C 的离心率是 3 1ce a    ． （2）由题意可知，满足条件的点 ( , )P x y 存在．当且仅当 1 | | 2 162 y c  ， 1y y x c x c     ， 2 2 2 2 1x y a b   ， 即 | | 16c y  ，① 2 2 2x y c  ，② 2 2 2 2 1x y a b   ，③ 由②③及 2 2 2a b c  得 4 2 2 by c  ，又由①知 2 2 2 16y c  ，故 4b  ．由②③得  2 2 2 2 2 ax c bc   ，∴ 2 2c b ， 从而 2 2 2 22 32,a b c b    故 4 2a  ． 当 4b  ， 4 2a  时，存在满足条件的点 P． ∴ 4b  ， a 的取值范围为[4 2, ) ． 【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质 即可求解，考查计算能力，属于中档试题． 5．【2019 年高考全国Ⅲ卷】 ABC△ 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 sin sin2 A Ca b A  ． （1）求 B；（2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围． 【答案】（1）B=60°；（2） 3 3( , )8 2 ． 【解析】（1）由题设及正弦定理得 sin sin sin sin2 A CA B A  ．∵sinA  0，∴sin sin2 A C B  ． 由 180A B C    ，可得sin cos2 2 A C B  ，故 cos 2sin cos2 2 2 B B B ． ∵ cos 02 B  ，故 1sin 2 2 B  ，因此B=60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积 3 4ABCS a△ ．由正弦定理得  sin 120sin 3 1 sin sin 2tan 2 Cc Aa C C C       ． 由于△ABC为锐角三角形，故0°