第 1 讲 随机事件的概率及分布
考点 1 独立重复事件及其随机变量的分布列和数学期望
例 1.(1)已知某药店只有 A ， B ，C 三种不同品牌的 N95 口罩，甲、乙两人到这个药店各购
买一种品牌的 N95 口罩，若甲、乙买 A 品牌口罩的概率分别是 0.2，0.3，买 B 品牌口罩的概
率分别为 0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的 N95 口罩的概率为（ ）
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.26
【答案】C
【解析】由题意，得甲、乙两人买C 品牌口罩的概率都是 0.3，所以甲、乙两人买相同品牌
的 N95 口罩的概率为 0.2 0.3 0.5 0.4 0.3 0.3 0.35P ．故选 C．
【点睛】本题考查了利用相互独立事件的概率求复杂事件概率,常见的的解题思路：①把待
求事件拆分成若干个彼此互斥的简单事件的和；②将彼此互斥的简单事件转化为若干个已知
（易求）概率的相互独立事件的积；③代入概率公式求解．
(2)袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是 1
3
，依次从中有放回
地摸球，每次摸出一个，累计 2 次摸到红球即停止．记 3 次之内（含 3 次）摸到红球的次数
为 ，则随机变量 的数学期望 E 为（ ）
A． 26
27 B． 28
27 C． 8
9 D． 2
3
【答案】A
【解析】由题意可得 的取值为 0，1，2，
31 80 1 3 27P
，
2
1
3
1 1 41 13 3 9P C
，
1
2
1 2 1 1 1 72 3 3 3 3 3 27P C ，
所以数学期望 8 4 7 260 1 227 9 27 27E . 故选：A
【点睛】本题考查了独立重复事件及其随机变量的分布列和数学期望，重点考查读题分析能
力，属于基础题型，本题的易错点是忽略 2 是两种情况.
【跟踪演练】1.
(1)2020 年，各国医疗科研机构都在积极研制“新冠”疫苗，现有 A､B 两个独立的医疗科研机
构，它们能研制出疫苗的概率均为 1
3
，则至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为
（ ）
A． 1
9 B． 1
3
C． 5
9 D． 8
9
【答案】C
【解析】两家机构都不能够研究出“新冠”疫苗的概率为 2 2 4
3 3 9
，
至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为 4 51 9 9
，故选:C．
(2)某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意
识．“十一黄金周”期间，组织学生去 A、B 两地游玩，因目的地 A 地近，B 地远，特制定方
案如下：
目的地 A 地
出行方式
绿色出行 非绿色出行
概率 3
4
1
4
得分 1 0
目的地 B 地
出行方式
绿色出行 非绿色出行
概率 2
3
1
3
得分 1 0
若甲同学去 A 地玩，乙、丙同学去 B 地玩，选择出行方式相互独立,求三名同学总得分 X
的分布列及数学期望 EX ．
【答案】分布列见解析，
12
25EX ．
【解析】根据题意， X 的所有可能取值为 0 ，1， 2 ，3，根据事件的独立性和互斥性得
1 1 1 1( 0) 4 3 3 36P X ； 1
2
3 1 1 1 2 1 7
3( 1) 4 3 3 4 3 63
P X C ；
2
1
2
2 1 1 2 4( 2) 4 3 9
3
3 4 3
P X C ； 3 2 2 1( 3) 4 3 3 3
P X ．
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1
36
7
36
4
9
1
3
所以 71 14
36
250 1 2 336 9 3 12
EX ．
考点 2 二项分布的期望与方差
例 2.(1)(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 1 2 3 4 5A a a a a a （例
如 10100）其中 A 的各位数中 2,3,4,5ka k 出现 0 的概率为 1
3
，出现 1 的概率为 2
3
，记
2 3 4 5X a a a a ，则当程序运行一次时（ ）
A．X 服从二项分布 B． 81 81P X
C．X 的期望 8
3E X D．X 的方差 8
3V X
【答案】ABC
【解析】由于二进制数 A 的特点知每一个数位上的数字只能填 0，1，
且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的 5 位数中后 4 位的所有结果有 4 类：
①后 4 个数出现 0， X 0 ，记其概率为 41 1( 0) ( )3 81P X ；
②后 4 个数位只出现 1 个 1， 1X ，记其概率为 1 3
4
2 1 8( 1) ( )( )3 3 81P X C ；
③后 4 位数位出现 2 个 1， 2X ，记其概率为 2 2 2
4
2 1 24( 2) ( ) ( )3 3 81P X C ，
④后 4 个数为上出现 3 个 1，记其概率为 3 3
4
2 1 32( 3) ( ) ( )3 3 81P X C ，
⑤后 4 个数为都出现 1， 4X ，记其概率为 42 32( 4) ( )3 81P X ，
故 2~ (4, )3X B ，故 A 正确；
又 1 3
4
2 1 8( 1) ( )( )3 3 81P X C ，故 B 正确；
2~ (4, )3X B ， 2 8( ) 4 3 3E X ，故C 正确；
2~ (4, )3X B ， X 的方差 2 1 8( ) 4 3 3 9V X ，故 D 错误． 故选： ABC ．
【点睛】本题考查了命题真假的判断，考查二项分布的性质等基础知识，考查数学运算求解
能力.
(2)某单位在 2020 年 8 月 8 日“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游
戏．游戏的规则如下：每个参与者投篮 3 次，若投中的次数多于未投中的次数，得 3 分，否
则得 1 分．已知甲投篮的命中率为 1
2
，且每次投篮的结果相互独立．
（1）求甲在一次游戏中投篮命中次数 的分布列与期望；
（2）若参与者连续玩 n 次投篮游戏获得的分数的平均值不小于 2，即可获得一份大奖．现有
10n 和 15n 两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．
【答案】（1）分布列见解析， 3
2
；（2）甲选择玩 10 次投篮游戏的获奖概率最大．理由见解
析.
【解析】（1）由题意知 1~ 3, 2B
,则
3
0
3
1 1( 0) C 2 8P
，
2
1
3
1 1 3( 1) C 2 2 8P
，
2
2
3
1 1 3( 2) C 2 2 8P
，
3
3
3
1 1( 3) C 2 8P
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
P 1
8
3
8
3
8
1
8
1 3( ) 3 2 2E ．
（2）由（1）可知在一次游戏中，甲得 3 分的概率为 3 1 1
8 8 2
，得 1 分的概率为 1 3 1
8 8 2
．
若选择 10n ，此时要能获得奖品，则需 10 次游戏的总得分不小于 20．
设 10 次游戏中，得 3 分的次数为 m ，则3 (10 ) 20m m ，即 5m ．
易知 1~ 10, 2m B
，故此时获奖的概率
5 5 6 4
5 6
1 10 10
1 1 1 1( 5) C C2 2 2 2P P m
7 3 8 2 9 1 10 0
7 8 9 10
10 10 10 10
1 1 1 1 1 1 1 1C C C C2 2 2 2 2 2 2 2
5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10 10
10
C C C C C C 252 210 120 45 10 1 319
2 1024 512
．
若选择 15n ，此时要能获得奖品，则需 15 次游戏的总得分不小于 30．
设 15 次游戏中，得 3 分的次数为 k ，则3 (15 ) 30k k ， 15
2k ，又 k N ，所以 8k ．
易知 1~ 15, 2k B
，故此时获奖的概率
8 7 9
8 9
2 15 15
1 1 1( 8) C C2 2 2P P k
6 14 1
14
15
1 1 1C2 2 2
0 1 1515 0 8 9 15 15 15 1515 15 15 15
15 15 15
1 C C CC C C1 1 2C 2 2 2 2
15
15
1 2 12
2 2
．
因为 319 1
512 2
，所以甲选择玩 10 次投篮游戏的获奖概率最大．
【点睛】【点睛】本题考查了二项分布问题,求解二项分布问题具体步骤：①判断离散型随机
变量 X 是否服从二项分布 ( , )B n p ；②利用 ( ) C (1 ) ( 0,1,2, , )k k n k
nP X k p p k n ，
求出 X 取各个值时的概率；③列出表格，得离散型随机变量的分布列；④利用公式
( )E X np ， ( ) (1 )D X np p 求期望、方差．
【跟踪演练】2.
(1)为快速控制新冠病毒的传播，全球多家公司进行新冠疫苗的研发.某生物技术公司研制出
一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了 100 支该疫苗样本，经统计质量指标
得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求所抽取的样本平均数 x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）将频率视为概率，若某家庭购买 4 支该疫苗，记这 4 支疫苗的质量指标值位于 10,30
内的支数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
【答案】（1） 26.5x ；（2）分布列答案见解析，数学期望： 2 .
【解析】（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为
0,10 的频率为 0.010 10 0.1 ； 0,20 的频率为 0.020 10 0.2 ；
20,30 的频率为 0.030 10 0.3 ； 30,40 的频率： 0.025 10 0.25 ；
40,50 的频率为 0.015 10 0.15 ，
所以 5 0.1 15 0.2 25 0.3 35 0.25 45 0.15 26.5x .
（2）根据题意得每支灭活疫苗的质量指标值位于 10,30 内的概率为 0.2 0.3 0.5 ，
所以 1~ 4, 2X B
， X 的可能取值为 0，1，2，3，4，
4
0
4
1 1( 0) 2 16P X C
，
4
1
4
1 1( 1) 2 4P X C
，
4
2
4
1 3( 2) 2 8P X C
，
4
3
4
1 1( 3) 2 4P X C
，
4
4
4
1 1( 4) 2 16P X C
，所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 1
16
1
4
3
8
1
4
1
16
所以 1 1 3 1 1( ) 0 1 2 3 4 216 4 8 4 16E X .
(2)设随机变量 ~ 2,B p ， ~ 4,B p ，若 81 9P ，则 1P （ ）
A． 80
81 B． 65
81 C． 55
81 D． 40
81
【答案】A
【解析】因为随机变量 ~ 2,B p ， 81 9P ，
所以 81 1 0 9P P ，则 10 9P ，
因为 0 0 2
20 (1 )P C p p ，即 0 0 2
2
1(1 ) 9C p p ，解得 2 1(1 ) 9p
随机变量 ~ 4,B p 中，
0 0 4 2
4
1 801 1 0 1 (1 ) 1 ( )9 81P P C p p ， 故选：A
考点 3 离散型随机变量的期望与方差的综合应用
例 3.(1)(多选)设随机变量 的分布列为 1,2,51
aP k kk
， E ， D 分别
为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． 50 3.5 6P B． 3 1 7E
C． 2D D． 3 1 6D
【答案】ABC
【解析】因为随机变量 的分布列为 1,2,51
aP k kk
，
由分布列的性质可知， 1 2 5 12 3 6
a a aP P P ，解得 1a ，
∴ 50 3.5 1 2 6P P P ，A 选项正确；
1 1 11 2 5 22 3 6E ，即有 3 1 3 1 3 2 1 7E E ，B 选项正确；
2 2 21 1 11 2 2 2 5 2 22 3 6D ，C 选项正确
3 1 9 18D D ，D 选项不正确. 故选：ABC.
【点睛】本题考查了随机变量的分布列及其数学期望和方差的计算，考查运算求解能力､数学
运算核心素养.
(2)2020 年伊始，“新冠肺炎病毒”在我国传播，全体中国人民众志成城、全力抗疫，病毒即
将被彻底驱离，但境外疫情正在迅速蔓延，我国海外留学生的安危也牵动着国人的心，不少
留学生选择就地居家隔离，也有部分留学生选择回国，但是航班紧张.现有 A、B、C、D、E
五名在英留学生，各自通过互联网订购回国机票，若订票成功即可回国，假定他们能否获得
机票互不影响，A、B、C、D、E 获得机票的概率分布是 1 1 1 1 1
2 2 2 3 4
，，，， .
（1）求这五名留学生均不能回国的概率；
（2）若 A、B、C 在英国学习期间租住在同一间房子，于是三人商定，若都获得机票才一起
回国，否则三人均不回国（已购票者，则选择退票），设 X 表示五名留学生中回国的人数，
求 X 的概率分布列和数学期望 ( )E X .
【答案】（1） 1
16
；（2）分布列见解析， 41
48E X
【解析】（1）因为 A、B、C、D、E 获得机票的概率分布是 1 1 1 1 1
2 2 2 3 4
，，，， .
所以五名留学生均不能回国的概率 1 1 1 1 1 11 1 1 1 12 2 2 3 4 16P
（2）对于 A 、 B 、C 三位学生，三人均回国的概率 1 1 1 1
2 2 2 8P ，则均不回国的概率
1 71 8 8P ，
则 X 的可能取值为 0 、1、 2 、3 、 4 、 5 ；
7 1 1 7 420 1 18 3 4 16 96P X
7 1 1 7 1 1 351 1 18 3 4 8 3 4 96P X
7 1 1 72 8 4 3 96P X
1 1 1 63 1 18 4 3 96P X
1 1 1 1 1 1 54 1 18 4 3 8 4 3 96P X
1 1 1 15 8 3 4 96P X
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P 42
96
35
96
7
96
6
96
5
96
1
96
所以 42 35 7 6 5 1 410 1 2 3 4 596 96 96 96 96 96 48E X
【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列及相互独立事件的概率公式的应用，对于相互
独立事件同时发生的概率为各事件的概率之积；
【跟踪演练】3.
(1)甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为 1
3
，乙、丙打中的概率均为
4
t （ 0 4t ），
若甲、乙、丙都打中的概率是 9
48
，设 表示甲、乙两人中中靶的人数，则 的数学期望是
（ ）
A． 1
4 B． 2
5 C．1 D．13
12
【答案】D
【解析】 9 1
48 3 4 4
t t ， 3t 列出分布列，利用期望公式计算.
记 的所有可能取值为 0，1，2
0 1 2
P 1
6
7
12
1
4
7 1 13212 4 12E , 故选：D.
(2)某生物研究所为研发一种新疫苗，在 200 只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计
数据：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 35 x y
注射疫苗 65 z w
总计 100 100 200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 13
20
．现从感染病
毒的小白鼠中任意抽取 2 只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为 X ，求 X 的概率分
布和数学期望 ( )E X ．
【答案】概率分布见解析， 77( ) 110E X ．
【解析】由题意， X 的所有可能取值为 0，1，2．
2
65
2
100
C 208( 0) 495C
P X ，
1 1
65 35
2
100
C C 91( 1) 198C
P X ，
2
35
2
100
C 119( 2) 990C
P X ，
所以 X 的概率分布为
X 0 1 2
P 208
495
91
198
119
990
数学期望 208 91 119 77( ) 0 1 2495 198 990 110E X ．
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为 2
5
，现甲参加 3 次抽奖，则甲恰好有一
次中奖的概率为（ ）
A． 2
5 B． 18
125 C． 54
125 D． 9
25
【答案】C
【解析】因为参与者每次抽中奖的概率均为 2
5
，
则甲参加 3 次抽奖，甲恰好有一次中奖的概率为
2
1
3
2 3 54
5 5 125P C
. 故选:C.
2.经抽样调查知，高二年级有 1
4
的学生数学成绩优秀.如果从全年级随机地选出 50 名学生，
记其中数学成绩优秀的学生数为随机变量 X ，则其期望 E X 的值为（ ）
A． 1
4 B． 25
2 C．25 D． 75
8
【答案】B
【解析】由题意得： 150 4X B
， ，所以 1 2550 4 2E X ，故选：B.
3.2019 年 10 月 20 日，第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果”，其
中有 5 项成果均属于芯片领域．现有 3 名学生从这 15 项“世界互联网领先科技成果”中分别任
选 1 项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有 1 名学生选择“芯片领域”的概率为
（ ）
A． 4
9 B． 4
27
C． 19
27 D． 48
125
【答案】A
【解析】由题意知，有 3 名学生且每位学生选择互不影响，从这 15 项“世界互联网领先科技
成果”中分别任选 1 项，5 项成果均属于芯片领域，则：芯片领域被选的概率为 5 1
15 3
；不
被选的概率为 1 21 3 3
；而选择芯片领域的人数 {0,1,2,3}X ，
所以 X 服从二项分布 1~ 3( , 3)X B ， 3
3
2 1( ) ( ) ( )3 3
n n nP X n C ，
那么恰好有 1 名学生选择“芯片领域”的概率为 1 2
3
2 1 4( 1) ( ) ( )3 3 9P X C ．故选:A．
4.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，
若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现
对 20 名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互
独立的，每人检测结果呈阳性的概率为 p ，且检测次数的数学期望为 20，则 p 的值为（ ）
A．
1
2011 20
B．
1
2111 20
C．
1
2011 21
D．
1
2111 21
【答案】A
【解析】若合并检测，检测次数取值为 1，21，对应的概率分别为 201 p ， 201 1 p ，
数学期望为 20 201 1 21 1 1p p ，
由 20 2020 1 1 21 1 1p p ，解得
1
2011 20p
．故选:A．
5.一盒中有 8 个乒乓球，其中 6 个未使用过，2 个已使用过．现从盒子中任取 3 个球来用，
用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为 X，则下列结论不正确的是（ ）
A．X 的所有可能取值是 3，4，5 B．X 最有可能的取值是 5
C．X 等于 3 的概率为 3
28 D．X 的数学期望是17
4
【答案】B
【解析】记未使用过的乒乓球为 A，已使用过的为 B，任取 3 个球的所有可能是：1A2B，2A1B，
3A ； A 使 用 后 成 为 B ， 故 X 的 所 有 可 能 取 值 是 3 ， 4 ， 5 ；
1 2
6 2
3
8
6 3( 3) ,56 28
C CP X C
2 1
6 2
3
8
30( 4) 56
C CP X C
，
3 0
6 2
3
8
20( 5) 56
C CP X C
，又 X 最有可能的取值是 4， 3 30 20 17( ) 3 4 528 56 56 4E X ．
故选:B．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
6.一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球，给出下列结论：①从中任取 3 球，恰有一个白
球的概率是 3
5
；②从中有放回的取球 6 次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为 80
243
；
③现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球
的概率为 2
5
；④从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 26
27 .
则其中正确命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABD
【解析】一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球，
①从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是
2 1
4 2
3
6
3
5
C Cp C
故正确；
②从中有放回的取球 6 次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为 2 1
6 3p ，则恰好有两
次白球的概率为
4 2
2
6
2 1 80
3 3 243p C
，故正确；
③现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球
的概率为
1 1
4 3
1 1
4 5
3
5
C C
C C
，故错误；
④从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为 4 2
6 3p ：则至少有一次
取到红球的概率为
3
0
3
1 261 3 27p C
，故正确.
故选：ABD.
7.设 0a ，若随机变量 的分布列如下：
1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差值中最大的是（ ）
A． ( )D B． (| |)D C． (2 1)D D． (2 | | 1)D
【答案】C
【解析】由题意 2 3 1a a a ， 1
6a ，
1 1 1 51 0 26 3 2 6E ， 1 1 1 7( ) 1 0 26 3 2 6E ，
( )D 2 2 21 5 1 5 1 5( 1 ) (0 ) (2 )6 6 3 6 2 6
53
36
，
2 2 21 7 1 7 1 7( ) (1 ) (0 ) (2 )6 6 3 6 2 6D 29
36
．
( ) 1D D ， 53 53(2 1) 4 36 9D ， 29 29(2 1) 4 36 9D ．
其中 (2 1)D 最大．故选:C．
【点睛】本题考查了求随机变量的期望和方差,常见基本方法如下：
①已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
②已知随机变量 X 的期望、方差，求 ,aX b a b R 的期望与方差，利用期望和方差的
性质（ E aX b aE X b ， 2D aX b a D X ）进行计算；
③若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用
常用分布列的期望和方差公式进行计算．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 15 分．
8.袋中装有 6 个大小相同的球，其中 3 个白球､2 个黑球､1 个红球．现从中依次取球，每次取
1 球，且取后不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束．用 X 表示终止取球时已
取球的次数，则随机变量 X 的数学期望 ( )E X __________．
【答案】139
60
【解析】根据题意 X 可取 2,3,4 ， 3 2 2 3 2 2 2 112 6 5 15P X
，
3 2 2 3 2 2 2 3 133 6 5 4 60P X
， 3 2 2 3 2 1 14 6 5 4 3 20P X
，
故 139( ) 2 2 3 3 4 4 60E X P X P X P X ． 故答案为:139
60
．
9. 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 满 足 10 0,1,2,3, 10
kCP X k kM
, ， 则
E X __________．
【答案】5
【解析】由题意可得
1010 10
1010
0 0
2 1 2
k
k k
CP X k MM M
，
则
0 1 2 10
10 10 10 100 1 2 10C C C CE X M M M M
．
倒序：
10 9 8 0
10 10 10 1010 9 8 0C C C CE X M M M M
．
0 10
10 10C C ， 1 9
10 10C C ， 2 8
10 10C C ， ，
故 0 1 2 10
10 10 10 10
102 10E X C C C CM
，则 5E X ．故答案为:5．
10.小张的公司年会有一小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小球，其中三个球标有
号码 1，两个球标有号码 2，一个球标有号码 3，有放回的从箱子中取两次球，每次取一个，
设第一个球的号码是 x ，第二个球的号码是 y ，记 2x y ，则 ( 7)P ________；若
公司规定 9,8,7 时，分别为一二三等奖，奖金分别为 1000 元，500 元，200 元，其余无
奖．则小张玩游戏一次获得奖金的期望为________元．
【答案】 5
36
250
3
【解析】由题可知，取一次球，取得号码是 1 的概率是 1
2
，取一次球，取得号码是 2 的概率
是 1
3
，取一次球，取得号码是 3 的概率是 1
6
，
当 2 7x y= ，所以 1
3
x
y
或 3
2
x
y
， 故 1 1 1 1 5( 7) 2 6 6 3 36P + = ．
因为 2x y ，若 9,8,7 ，由上可知 5( 7) 36P = ，当 2 8x y= ，则 2
3
x
y
，
所以 1 1 1( 8) 3 6 18P = = ，当 2 9x y= ，则 3
3
x
y
，所以 1 1 1( 9) 6 6 36P = = ，
设奖金为 X ，则 1 1 5 70 1 36 18 36 9P X ．
则它的分布列为
X 1000 500 200 0
P 1
36
1
18
5
36
7
9
所以 1 1 5 7 2501000 500 200 036 18 36 9 3E X ．
四、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.受新冠肺炎疫情的影响，2020 年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线
下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业 M 的线上招聘方式分资料初审､笔试､面试这三个环
节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，
且这几个环节能否通过相互独立.现有甲､乙､丙三名大学生报名参加了企业 M 的线上招聘，
并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试､面试的概率分别为 1
2
， 1
3
；乙通过笔试､面试
的概事分别为 2
3
， 1
2
；丙通过笔试､面试的概率与乙相同.
（1）求甲､乙､丙三人中恰有一人被企业 M 正式录取的概率；
（2）求甲､乙､丙三人中至少有一人被企业 M 正式录取的概率；
（3）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业 M 决定给报名参加应聘且通过资料
初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
参与环节 笔试 面试
补贴(元) 100 200
记甲､乙､丙三人获得的所有补贴之和为 X 元，求 X 的分布列和数学期望.
【答案】（1） 4
9
；（2） 17
27
；（3）分布列答案见解析，数学期望： 2000
3 .
【解析】（1）设事件 A 表示“甲被企业 M 正式录取”，事件 B 表示“乙被企业 M 正式录取”，
事件C 表示“丙被企业 M 正式录取”，则 1 1 1
2 3 6P A ， 2 1 1
3 2 3P B P C ，
所以甲､乙､丙三人中恰有一人被企业 M 正式录取的概率
1P P ABC ABC ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C
1 1 1 1 1 11 1 2 1 16 3 3 6 3 3
4
9
.
（2）设事件 D 表示“甲、乙、丙三人都没有被企业 M 正式录取”，
则 1 1 1 101 1 16 3 3 27P D P ABC P A P B P C
，
所以甲､乙､丙三人中至少有一人被企业 M 正式录取的概率 2
10 171 1 27 27P P D .
（3） X 的所有可能取值为 300，500，700，900，
1 1 1 1300 2 3 3 18P X ， 1 1 1 1 2 1 5500 22 3 3 2 3 3 18P X ，
1 2 1 1 2 2 4700 2 2 3 3 2 3 3 9P X ， 1 2 2 2900 2 3 3 9P X .
所以 X 的分布列为
X 300 500 700 900
P 1
18
5
18
4
9
2
9
1 5 4 2 2000300 500 700 90018 18 9 9 3E X .
12.甲、乙两人组成“龙队”代表班级参加学校体育节的足球射门比赛活动，每轮活动由甲、
乙两人各射门一次，在一轮活动中，如果两人都射中，则“龙队”得 3 分；如果只有一个人
射中，则“龙队”得 1 分；如果两人都没射中，则“龙队”得 0 分．已知甲每轮射中的概率
是 3
4
，乙每轮射中的概率是 2
3
；每轮活动中甲、乙射中与否互不影响，各轮结果亦互不影响．
（1）假设“龙队”参加两轮活动，求：“龙队”至少射中 3 个的概率；
（2）①设“龙队”两轮得分只和为 X ，求 X 的分布列；
②设“龙队” n 轮得分之和为 nX ，求 nX 的期望值．
（参考公式 ( )E X Y EX EY ）
【答案】（1）
3
2 ；（2）①分布列答案见解析；（3）数学期望： n12
23 .
【解析】：（1）两轮活动射中3个概率为 1
2
3 2 3 1 2 1 5
4 3 4 3 3 4 12C
两轮活动射中 4 个的概率为 3 2 3 2 1
4 3 4 3 4
“龙队”至少射中 3个概率为 5 1 8 2
12 4 12 3P ．
（2）① X 的所有可能取值为 6,4,3,2,1,0
2
1
2
3 2 1 5 3 2 1 1 1( 6) , ( 4) , ( 3)4 3 4 12 4 3 4 3 12P X P X P X C
23 1 2 1 25( 2) 4 3 3 4 144P X
，
1
2
1 1 3 1 2 1 5( 1) 4 3 4 3 3 4 72P X C
21 1 1( 0) 4 3 144P X
X 的分布列如下：
X 0 1 2 3 4 6
P 1
144
5
72
25
144
1
12
5
12
1
4
②一轮得分 1X 的期望为 1 5 1 230 1 312 12 2 12
n 轮得分和 nX 的期望 23
12nE X n ．
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