北京 2011 课标版数学四年级上册
《魔术纸圈》教学设计
教学内容：北京 2011 课标版数学四年级上册数学书 54、55 页教学内容《魔术纸圈》
教材分析：
这个综合实践的活动，主要是通过对莫比乌斯带的神奇性的认识，让学生感受数学的魅
力，激发学生对数学的兴趣。莫比乌斯带是一种单侧、不可定向的曲面。它是拓扑学中最有
趣的单侧面问题之一。“拓扑学”是数学的一个重要分支，主要研究几何图形连续改变形状
时的一些不变特征和规律。教材中安排这个实践活动，另一层意思是让学生对数学的这个分
支有一点初步的感受，开阔学生的眼界。因为这个曲面是由德国数学家莫比乌斯发现的，所
以叫莫比乌斯带。
活动目标：
1、通过粘纸圈、剪纸圈的实践活动认识莫比乌斯带。
2、通过对神奇的莫比乌斯带的认识，感受数学的魅力，激发学生对数学的兴趣。
3、在尝试查找与交流相关资料的活动中，学习收集资料的方法，培养收集资料的能力。
教学重点：
认识莫比乌斯带，激发探究数学的兴趣。
教学难点：
查找莫比乌斯带的相关资料。
活动准备：
多媒体课件，剪刀，粘好双面胶双面双色长方形纸条若干张。
画有两等分，三等分，四等分，五等分线的纸条。
教学过程：
一、激趣导入，初感神奇
孩子们，老师这里有一根长方形的纸条，仔细看，这个长方形纸条几个面几条边？（2
个面 4 条边，贴纸条并板书）
现在有这样两根同样的纸条，我请个同学来跟我一起做个纸圈。
师生一起制作纸圈。
你能从这两个纸圈钻过去吗？
老师变个小魔术，一定让你钻过去，你信吗？我俩把这两个纸圈剪开可以吗？
师举起纸圈说：同学们注意看了，我要开始变了，我们先用剪刀剪一个小口，再把剪刀
放进去一直剪下去，生先看老师操作然后跟老师一起剪纸圈，最后师拿了一个比原来大的圈，
生拿了两个和原来一样大小的两个圈。
现在谁来试试？（钻）
质疑：你有什么疑问？
预设：学生可能会提到怎么制作？有什么区别？
到底里面藏着什么奥秘呢？我们一起来研究
【设计意图：通过师生共同制作纸圈并剪纸圈的游戏，并让学生试着钻做好的纸圈和剪
开的纸圈，调动学生的探究兴趣，激发探究欲望，初步感受魔术纸圈的神奇。】
二、探究莫比乌斯带的神奇
1、尝试制作
现在请想办法用手中的双面双色纸条做个这样的圈。
交流：
普通纸圈：哪些同学做的跟他一样？你是怎么做的，跟大家分享一下。
拧着的纸圈：哪些同学做的跟他一样？请举手，这个圈很神奇，老师给你一张纸条，你
来边做边说，谁跟他一样。
这个圈能否剪出和老师一样的纸圈呢？
生开始剪，你剪出的结果是？（变成了一个大圈）
（整理书桌）
这个圈好神奇啊？它到底是怎么做的？我们来看看。
播放课件动画，停一会，取出这根纸条一起再来做一个。
【设计意图：通过初次独自探究纸圈的做法，并在交流两种纸圈的制作方法的过程中不
断补充完善，使学生掌握魔术纸圈（莫比乌斯带）的做法。】
2、小组合作，探究区别
合作要求：
现在四人小组做一个普通的纸圈和你们手中拧着的圈比较一下，看看他们有什么区别？
3、交流区别
预设 1：也许学生只能说到两个圈的做法不一样，剪开后的结果不一样，很难说到面和
边的变化，说不到这一点的话，老师就开始对照黑板加以引导使他们从面和边上找到变化。
比如：孩子们，这两个圈我们使用同样的纸条做成的，纸条是两个面四条边，那么你们看看
手中的圈??? 引导生说到两个纸圈的边和面的变化，然后就开始逐一寻找根源.
预设 2：如果学生说到两个纸圈的边和面的变化，然后就开始逐一寻找根源，从纸条到
普通纸圈和拧着的圈的面和边是怎么变了？拧着的圈的边和面又是怎样的？那现在我们就
从他们的边和面上来找找区别。请一生上展台展示交流验证的方法，也许有学生是用手摸的，
适时指导怎么能留下轨迹让我们看得更清楚呢？
引导全班学生用画的方法验证拧着的圈的一个面一条边。
总之探究的最后结果是：
①制作不一样
②剪开后的结果不一样
③面和边的变化，以及揭示验证的方法
质疑：你还有什么疑问？为什么从这个面就滑到了那个面？为什么两条边就变成了一条
边？
【设计意图：通过小组合作探究，全班交流质疑的过程中，不断补充和完善普通纸
圈和魔术纸圈的区别，使学生明白，他们不仅仅是制作不一样，剪开后的结果不一样
更重要的是边和面的变化，在猜想验证中揭示归纳出魔术纸圈只有一个面一条边。在反思、
归纳、整理、体验的过程中，逐步形成良好的学习习惯，增加学习数学的兴趣和信心。】
4、解释一条边和一个面
为什么从这个面就滑到了那个面？
为什么两条边就变成了一条边？
扭转了 180 度，使内侧面和外侧面相接变成了一个面，上面的边和下面的边相连成了一
条边。
【设计意图：通过交流，学生自己质疑并解释因为纸条扭转了 180 度，使内侧面和外侧
面相接变成了一个面，上面的边和下面的边相连成了一条边。更加深入理解魔术纸圈的特
征。】
5、小结：孩子们，刚才你们心理都充满了各种猜测和想象，经过我们的验证，你们心
中的谜题都得到了解答。
这个神奇的纸圈是怎么由来的呢？生活中还有它的哪些身影呢?一起来看看
6、微课介绍由来，命名，应用。使学生再感神奇。
（微课课件）很久以前有一个叫莫比乌斯的人，在一个阳光美好的午后静静的坐在桌前，
手中拿着一个长长的纸条，不经意的把纸条拧了个图又把两个头对接了起来．也巧这时正好
有一只小蚂蚁到他的桌面上旅游，他微笑着对小蚂蚁说：小朋友，到我这个新建筑上来看看
吧，于是小心翼翼地把小蚂蚁请到了手中的纸上，小蚂蚁也许是感到新鲜而又陌生，也就不
停的到处游荡，英比乌斯轻轻的注视着纸上的小蚂蚁，你们猜，他发现了什么（小蚂蚁虽没
翻越任何一处的纸边沿，却爬过了纸表面的每一个地方．）这让莫比乌斯非常惊讶，这个本
来是两个面的纸条经他刚オ的一接怎么变成只有一个面了呢？一个伟大的数学发现就这样
在不经意间产生了、并且以发现者莫比乌斯的名字命名．
莫比乌斯带不仅仅是这么神奇，在生活中也能经常见到它的身影，接下来我们感受一下它
的应用价值。
①在生活中，传送带，传输带设计成莫比乌斯带，就不会只磨损一面了，使它的寿命提高
了一倍。
②有些过山车的跑道采用的是莫比乌斯带的原理。
③我们常见的可回收物标志设计成莫比乌斯带的样子就表示可循环使用的意义。
过渡：除此之外，人们还用到莫比乌斯带的美学原理
④像中国科学技术馆大厅的一座“三叶扭结”模型，是由莫比乌斯带演变而来的，表示科
学没有国界，科学与艺术是相通的。
⑤下面我们看一个神奇的瓶子，这个瓶子永远也装不满水，他叫做克莱因瓶，它的名字来
源于它的设计者，德国数学家菲利克斯克莱因，如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的
边粘起来就得到了一个克莱因瓶。将这个瓶子适当剪开就得到两个莫比乌斯带，它没有内和
外的区别，无论你怎么触碰，永远也触碰不到它的内部，只能在外部徘徊。
⑥最后，我们来看这样一个爬梯，可爱的孩子们，试想一下，你走在这样一个爬梯上会是
什么样的结果呢？
师：怎么样的结果呢？（爬梯，接微课中的话）
【设计意图：通过查找与交流相关资料，使学生知道这个魔术纸圈的名字就叫做莫比乌
斯带以及在生活中的应用，使学生再感神奇。】
三、探究沿二分之一，三分之一边线剪开后的神奇
除上述神奇之外，还有更神秘的地方。
1、沿着这个（之前做好的）莫比乌斯带剪开后看看你还有什么发现？剪开后的纸圈是
一个莫比乌斯带吗？验证
2、拿出三等分线的纸条制作一个莫比乌斯带。
先猜想一下沿着三等分的这条黑线剪开后会是什么样的？
动手沿着三等分的这条黑线剪开，看你有什么发现？原来是莫比乌斯带，那么现在呢？
为什么一个大圈套着一个小圈？中间剪到了吗？其实还是跟莫比乌斯带的特点有关（一
个面一条边）能剪断吗？
3、大胆猜想一下如果我们沿着四等分线剪开会是什么情况呢？
我们还可以沿着那五分之一，六分之一的边线剪开，
老师已经为你们准备好这些纸条，下去跟同学们一起去猜想，然后剪开验证一下，看看
会给我们带来哪些惊喜呢？。
（整理书桌）
【设计意图：通过猜一猜，剪一剪，动手试一试的验证方法，让学生体验课上实践与创
作的乐趣，感受莫比乌斯带的神奇，感受数学的魅力，进一步激发学生对数学的兴趣。】
四、全课小结
这节课你学会了什么？是的，多么神奇的莫比乌斯带，所以很多人为此着迷，很多数学
家们也对莫比乌斯带不断的深入研究，慢慢形成了一门新的学说叫拓扑几何学。感兴趣的同
学可以下去上网查一查，深入了解一下。
板书设计：
神奇的莫比乌斯带
面 边
2 个 4 条
2 个 2 条
1 个 1 条 （扭转 180 度）
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