高考理数完美复习专题十五数系的扩充与复数的引入完美

专题十五 数系的扩充与 复数的引入 目 录 CONTENTS 考点 数系的扩充与复数的引入 考点 数系的扩充与复数的引入 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 必备知识 全面把握 (1)复数 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋ bi(a，b∈R)．全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母C表示．其 中a，b分别叫做复数a＋bi的实部与虚部． 考点 数系的扩充与复数的引入 1．复数的有关概念 (2)复数的分类 复数a＋bi(a，b∈R)， 时为实数； 时为虚数， 时为 纯虚数，即复数a＋bi(a，b∈R) 0b 0b 0,0  ba (3)复数相等 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 如果a，b，c，d∈R，那么 .特别地， 考点 数系的扩充与复数的引入 1．复数的有关概念 dbcadicbia  且 .0,00  babia 两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数， 就只能说相等或不相等，不能比较大小． (4)共轭复数 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复 数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数． 复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi，那么 ＝a－bi(a，b∈R)． 共轭复数z＝a＋bi(a，b∈R)的性质： 考点 数系的扩充与复数的引入 1．复数的有关概念 z z (1)复平面 直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚 轴．实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．x轴的单 位是1，y轴的单位是i.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的， 即复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)． 考点 数系的扩充与复数的引入 2．复数的几何意义 8 (2)复数的表示 代数表示：把复数z表示成a＋bi(a，b∈R)的形式，叫做复数的代数形式． 复数的向量表示：设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi.连接OZ，则向 量 由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量 唯一 确定，即复数z＝a＋bi一一对应平面向量 ． 考点 数系的扩充与复数的引入 2．复数的几何意义 9 考点 数系的扩充与复数的引入 2．复数的几何意义 (3)复数的模 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为 ，向量 的模r叫做复数z＝a＋ bi(a，b∈R)的模(或长度)，记作 或 .由模的定义可知|z|＝|a＋bi|＝r＝ (显然r≥0，r∈R)．当b＝0时，复数a＋bi表示实数a，此时r＝ ＝|a|. z bia  22 ba  2a 复数的模的性质 ①设z1，z2是任意两个复数，则| z1 · z2 |＝| z1 |·| z2 |， (| z2 |≠0)． ② 2 1 2 1 z z z z  10 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 ＝a＋bi， ＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法： ＋ ＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法： － ＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法： · ＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法： (c＋di≠0)． 考点 数系的扩充与复数的引入 3．复数的运算 复数除法的实质是分母实数化，在进行复数的除法运算时，先将两复 数的商写成分式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，然后化简得到结 果，这一过程叫做分母“实数化”(类比于根式除法中的分母“有理 化”)． 1z 1z 1z 1z 2z 2z 2z 2z 11 (2)复数的运算定律 复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1， z2 ，z3∈C，有z1 ＋z2 ＝ z2 ＋ z1 ，(z1 ＋ z2)＋ z3 ＝ z1 ＋(z2 ＋ z3)． 考点 数系的扩充与复数的引入 复数乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意z1 ， z2 ， z3 ∈C，有 ① z1 · z2 ＝ z2 · z1(交换律)； ②(z1 · z2)· z3 ＝ z1 ·(z2 · z3)(结合律)； ③ z1(z2 ＋ z3)＝ z1 ·z2 ＋ z1 · z3(分配律). 12 核心方法 重点突破 方法1 复数的有关概念求解  (1)复数的实部、虚部和复数的分类都可以转化为复数的实部与虚部 应该满足的条件问题，解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R) 的形式，以确定实部和虚部．若不是，则先把复数化为z＝a＋bi的形 式，其中a为实部，b为虚部，由此可以写出复数的实部或虚部，切记 虚部包含它前面的负号． 考点 数系的扩充与复数的引入 (2)根据复数是实数或纯虚数，求参数值时，只需将复数化为标准形 式，再列出实部、虚部满足的方程(组)或不等式(组)即可． 13 例1. [安徽2018考前模拟]已知 为纯虚数，a∈R，则(a＋i) 的虚部为(  ) A．－1    B．1    C．－2    D．2 【解析】方法一：复数z＝ = 为纯虚数，∴a＝ 2.∴(a＋i) ＝(2＋i)·(－i)＝1－2i ，则(a＋i) 的虚部为－2. 【答案】C 考点 数系的扩充与复数的引入 方法1 复数的有关概念求解  方法二：∵ 为纯虚数，∴设 ＝ti(t∈R，t≠0)．则2＋ai＝ti－ti2＝ti＋t.由两复 数相等可知 故a＝2.∴(a＋i) ＝(2＋i)·(－i)＝1－2i ，则(a＋i) 的虚部为 －2. 2019i 2019i 2019i 2019i2019i 14 考点 数系的扩充与复数的引入 方法2 复数相等与共轭复数  (1)求一个复数的共轭复数，首先将此复数整理成标准代数形式，然后其 实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数． (2)复数相等的充要条件是两个复数的代数形式的实部与实部相等、虚部 与虚部相等，所以可按以下步骤解决与复数相等有关的问题： 第一步，先根据复数的运算法则，把两个相等的复数都化为标准的代数形 式； 第二步，根据复数相等的充要条件，列出相关方程(组)，把复数问题转化 为实数问题进行求解． 15 例2、[山东、湖北部分重点中学2018冲刺模拟]已知z是纯虚数，若(m ＋2i)·z＝2－3i，则实数m＝________． 【解析】设z＝ai(a∈R且a≠0)，由(m＋2i)·z＝2－3i，得(m＋2i)·ai＝－ 2a＋mai＝2－3i，∴ 解得m＝3. 【答案】3 考点 数系的扩充与复数的引入 16 【解析】由z＝ 得z＝－i.所以 ＝i.故选A. 【答案】A 考点 数系的扩充与复数的引入 例3、若复数z＝ ， 为z的共轭复数，则 ＝(  ) A.i   B．－i C．  D． z  2019 z 17 考点 数系的扩充与复数的引入 方法3 求复数的模  (1)求复数的模时，可直接根据复数的模的公式|a＋bi|＝ 和性质 |z1·z2|＝|z1|·|z2|， (|z2|≠0)进行计算． 22 ba  2 1 2 1 z z z z  (2)已知复数的模求解相关量时，一般先根据复数的运算法则把复数化 为标准的代数形式，再根据题目中关于复数的模的条件建立相应的关 系式，或根据复数的模的定义，把问题转化为实数问题进行解决． 18 考点 数系的扩充与复数的引入 例4、[宁夏2018第四次模拟]若z1＝1＋2i， z2 ＝1－i，则 |z1·z2|＝(  ) A．6   B. C. D.10 6 2 【解析】方法一：∵ z1 ＝1＋2i， z2 ＝1－i，∴ z1 · z2 ＝(1＋2i)(1 －i)＝1＋2i－i－2i2＝3＋i.∴| z1 · z2 |＝ . 1013 22  方法二：∵ z1 ＝1＋2i， z2 ＝1－i，∴| z1 · z2 |＝|1＋2i|·|1－i| ＝ .1025  【答案】B 19 考点 数系的扩充与复数的引入 方法4 对复数几何意义的理解与应用  (1)复数z、复平面上的点Z及向量 三者间的联系，即 据此可知，确定复数对应的点所在的位 置，只要将复数化为代数形式后，根据对应点Z的坐标确定即可，反之，根 据Z的坐标即可写出复数z.特别地，复数与其共轭复数在复平面上对应的 点关于实轴对称． (2)由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量 与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决 更加直接． 20 例5、[湖北八校2017联考(二)]已知复数z＝ 则z在复平面 内对应的点在(  ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】∵z＝ ∴z＝－1－3i在复平 面内对应的点为(－1，－3)，它位于第三象限． 【答案】C 考点 数系的扩充与复数的引入 21 考点 数系的扩充与复数的引入 方法5 有关复数的四则运算求解  (1)复数的运算技巧 ①设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解 决复数问题的常用方法． ②在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行， 除法法则需分母实数化． (2)复数代数运算中常用的几个结论 22 【解析】∵ ∴z＋i＝(－2i3－z)·i＝－2－zi，∴(1＋i)z＝－2－i， ∴ ＝－ ，∴z＝－ ，z＋1＝－ ，∴|z ＋1|＝ 故选B. 【答案】B 考点 数系的扩充与复数的引入 例6、[2017联考(六)]若复数z满足 则|z＋1|＝(  ) A. B. C. D.12 1 2 2 2 3 i2 1 2 3  i2 1 2 3  i2 1 2 1  23 考法例析 成就能力 考法1 复数的代数运算 例1、[课标全国Ⅲ2017·2]设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(  ) A. B. C. D.2 【答案】C 考点 数系的扩充与复数的引入 2 1 2 2 2 【解析】方法一：∵z＝ ∴|z|＝ . 2 方法二：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋i)·(a＋bi)＝2i，展开得(a－b)＋(a＋b)i＝2i， ∴ ∴a＝b＝1.∴z＝1＋i.∴|z|＝ . 2 24 考法2 复数的几何意义 考点 数系的扩充与复数的引入 例2、[北京2017·2]若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象 限，则实数a的取值范围是(  ) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 【解析】因为(1－i)(a＋i)＝a－ai＋i＋1＝(1＋a)＋(1－a)i，该复数 在复平面内对应的点在第二象限，所以 所以a