高考理数完美复习专题五平面向量完美

专题五 平面向量 目 录 CONTENTS 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 必备知识 全面把握 1．平面向量的概念 (1)正确理解向量的概念 向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向任意两个向量不能比较大小， 只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (2)共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反．当然， 向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面 几何中“共线”的含义．正确理解共线向量的定义，也就领会了共线向量 与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共 线向量． 2．平面向量的线性运算 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 6 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 7 3.向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一实数λ，使得b＝ λa，则向量b与a共线． (2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ， 使得b＝λa. 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待 定系数法与方程思想的运用． 8 在学习中，常用到如下方法或技巧： (1)实数与向量的积的定义可以看成是实数与实数的积的定义的一个推广， 对由这一定义得到的实数与向量的积的运算律，也可以按照实数的相应运算 律去记忆和理解．其中λ(μa)＝(λμ)a是实数乘向量的结合律，(λ＋ μ)a＝ λa＋ μa是实数乘向量的第一分配律，λ(a＋b)＝ λa＋ λb是实 数乘向量的第二分配律； 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 (2)运用向量的方法证明三点共线时，可以用两个向量共线的充要条 件去证，也可以用以下结论去证： 若点O不在直线AB上，则A，B，P三点共线的充要条件是：存在一对实 数λ，μ，使得 ，且λ＋μ＝1. 9 核心方法 重点突破 方法1 向量基本概念的应用  要注意向量与其他量的联系与区别： (1)数量与向量的联系与区别：向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向 量是既有大小，又有方向的量；数量可以比较大小，而向量不能比较大小， 只有它们的模才能比较大小． (2)零向量0与实数0：零向量的模为0，是有方向的，而且方向任意；0与任 一向量平行；零向量与零向量相等 (3)向量的图示与线段：向量的图示有起点、终点、方向带箭头，而线段无 方向． 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 10 例1、[陕西2018期中]给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ” 是“四边形ABCD为平 行四边形”的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|，且a∥b”． 其中正确命题的序号是(  )                 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 11 【解析】①|a|＝|b|，表示的是a，b大小相等，但方向不一定相同，故 两个向量不一定相等，故①错误； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则 能推出AB与CD平行，且AB＝ CD，所以四边形ABCD为平行四边形，反之也成立，故②正确； ③若a＝b，则a，b大小相等，方向相同；若b＝c，则b，c大小相等，方 向相同，故a，c大小相等，方向相同，则a＝c，故③正确； ④“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|，且a，b同向”，故④错误． 故正确命题的序号是②③. 【答案】B 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 12 例1、[江西抚州2018高三月考]已知O是△ABC所在平面 内一点，若m∈R，恒有 ，则△ABC一定 是(  ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 13 方法2 向量的线性运算 （1）掌握向量的加减运算、理解向量加减的几何意义 （2）理解实数与向量的积的定义、实数与向量的积的运算律、向量共线 的充要条件和平面向量基本定理； （3）准确理解平面向量坐标表示的概念与意义，灵活、熟练地进行平 面向量坐标运算． 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 14 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 方法2 向量的线性运算 15 例4 [湖北武汉2019届摸底测试]如图，在直角梯形ABCD中, 且 则2r＋3s＝(  ) A．1 B．2 C．3 D．4 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 16 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 【答案】C 17 考法例析 成就能力 考法 平面向量的有关概念与线性运算 例1、[课标全国Ⅰ2018·6] 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为 AD的中点，则 ＝(  ) EB A. B. C. D. ACAB 4 1 4 3  ACAB 4 3 4 1  ACAB 4 1 4 3  ACAB 4 3 4 1  考点一 平面向量的有关概念及线性运算 18 【答案】A 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 19 例2、[黑龙江2019届模拟]设P是△ABC内一点，且 0 , ,则 ( )  CPBPAP BCBD 3 1  APAD 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 20 【答案】A 考点一 平面向量的有关概念及线性运算 21 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 22 必备知识 全面把握 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意 向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的 向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是 一一对应的，在应用时，构成基底的两个向量是不共线向量，因此，零 向量和共线向量不能作为基底. 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 23 2．平面向量坐标运算的应用 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标， 即设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 ＝(x2－x1，y2－y1)．AB (1)向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥bx1y2－x2y1＝0. ①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成 ，因 为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0. ②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb(b≠0)，这与x1y2－ x2y1＝0在本质上没有差异，只是形式上不同． 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 24 (2)向量的坐标运算 ①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)； ②若a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝(λx1，λy1)． (3)坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过 “数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁． 在学习中，要准确理解平面向量坐标表示的概念与意义，灵活、熟练地进行平 面向量坐标运算，会根据向量的坐标来判定向量的平行与共线． 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 25 3．平面向量中的重要结论 ①在运用向量的坐标表示解决问题时，要注意点的坐标表示与向量的 坐标表示之间的区别与联系，记住向量运算的定义和向量坐标运算的 法则，结合图形分析，灵活选用不同的方式进行向量的运算； ②在处理有关向量平行或向量共线的问题时，要善于与平行条件的坐 标表示相联系． 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 26 核心方法 重点突破 方法1 向量共线的相关计算 两个向量平行的判定和应用的主要依据： (1)a∥ba＝λb(λ∈R，b≠0)； (2)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥bx1y2－x2y1＝0； (3)对于 (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 反之也成立． OCOBOA   考点二 平面向量基本定理及坐标表示 27 例1、已知a＝(2，－1)，b＝(x，2)，c＝(－3，y)，且a∥b∥c， 求x，y的值． 【分析】根据向量平行的充要条件建立关于x，y的方程求解． 【解】由a∥b 得4＋x＝0，∴x＝－4. 由a∥c得2y－3＝0，∴y＝ . ∴x＝－4，y＝ . 2 3 2 3 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 28 例2、[四川绵阳2019届质量检测]如图，A，B，C是圆O上的三点， CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若 则λ ＋μ的取值范围是(  ) A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞) 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 29 【答案】B 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 30 方法2 坐标法在平面向量中的应用 首先通过建立适当的平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然 后结合三角函数、解析几何或函数等知识进行求解．引入向量的 坐标运算使得部分平面向量的问题比较容易解决，体现了坐标法 解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征． 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 31 例3、[江苏南通2018月考]如图，半径长为1的扇形AOB的圆心角为120°， 点C在弧AB上，且∠COB＝30°，若 ，则λ＋μ＝ __________． 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 32 【答案】 33 2 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 33 方法3 平面向量基本性质的应用 (1)应用平面向量基本性质表示向量的实质是利用平行四边形法则或三 角形法则进行向量的加、减或数乘运算； (2)用平面向量的基本性质解决问题的一般思路是先选择一组基底， 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式， 再通过向量的运算来解决； (3)在使用三点共线的推论时，注意λ＋μ＝1的使用． 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 34 例4、[陕西咸阳2019届质量检测]如图，在四边形ABCD中， A．4 B．2 C．4  D．2 2 2 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 35 【答案】A 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 36 例5、如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交 射线AB，AC于不同的两点M，N，若 ，则mn 的最大值为__________． 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 37 【答案】1 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 38 考法例析 成就能力 考法1 平面向量的共线问题 例1、[课标全国Ⅱ2015·13]设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平 行，则实数λ＝________. 【解析】∵a与b不平行，∴a＋2b≠0. ∵λa＋b与a＋2b平行， ∴存在实数t，使得λa＋b＝t(a＋2b)． 【答案】 2 1 【点拨】本题考查向量共线的性质，利用待定系数法得到参数的关系是解题的关键． 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 39 例2、[北京2014·10]已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝ 0(λ∈R)，则|λ|＝________. 【解析】∵λa＋b＝0，∴λa＝－b， 【答案】 5 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 40 考法2 平面向量的基本定理与坐标运算 例3、[课标全国Ⅱ2016·3]已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋ b)⊥b，则m＝(  ) A．－8    B．－6    C．6    D．8 【解析】∵a＋b＝(4，m－2)，(a＋b)⊥b， ∴(a＋b)·b＝0， 即4×3＋(m－2)×(－2)＝0， 解得m＝8.故选D. 【答案】D 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 41 例4、[北京2015·13]在△ABC中，点M，N满足 ，则x＝________；y＝________． 【答案】 2 1 6 1- 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 42 例5、[江苏2017·13]在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)， 点P在圆O：x2＋y2＝50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范 围是________． 【答案】[－5 ，1]2 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 44 【答案】3 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 45 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 46 1．两个向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数|a||b|cosθ 叫做a与b的数量积，记作a·b，即 ab=|a||b|cosθ. 对数量积概念的理解： (1)两个向量的数量积是一个数量，它的值可正、可负、可为零，其符号 由夹角的余弦值确定．计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，条件 是两向量的起点必须重合，否则要通过平移，使两向量符合以上条件． (2)两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉 其中的“·”． 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 必备知识 全面把握 (3)b在a方向上的投影|b|cos θ是一个数量，它可正、可负，也可以等于0. 47 (2)对两向量夹角的理解  AB BC ①两向量夹角的范围为[0， ]，特别地，当两向量共线且同向时，其夹 角为0；共线且反向时，其夹角为π. ②在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围. ③在△ABC中， 与 的夹角不是∠ABC而是其补角． 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 48 ①当a≠0时，由a·b＝0不一定推出b＝0，这是因为对任意一个与a垂 直的向量b，都有a·b＝0. 当a≠0时，a·b＝a·c也不一定推出b＝c，因为由a·b＝a·c，得a·(b－c) ＝0，即a与b－c垂直，也就是向量的数量积运算不满足消去律． ②对于实数a，b，c，有(a·b)c＝a(b·c)，但对于向量来说，(a·b)·c与 a·(b·c)不一定相等，这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而 a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c与 a·(b·c)不一定相等． (3)对数量积运算律的理解 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 49 2．平面向量数量积的性质与运算律 ①当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别 地，a·a＝|a|2或|a|＝ , ②a⊥b a·b＝0. ③cos θ＝ , ④|a·b|≤|a||b|. 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 (1)设a，b都是非零向量，θ是a和b的夹角，则 50 ①a·b＝b·a. ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)，其中λ是任意实数． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 (2)运算律 51 3．向量的应用 ③求夹角问题，利用夹角公式： 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则 ①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条 件：a∥ba＝λb(λ∈R)x1y2－x2y1＝0(b≠0)． ②证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0. 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 52 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 53 核心方法 重点突破 方法1 平面向量的数量积问题和几何意义问题 例1、[河南2019届模拟]若等边三角形ABC的边长为3，平面 内一点M满足 ， 的值为________． 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 54 【答案】－2 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 55 例2、在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D为线段BC 上任一点(包含端点)，则 的最大值为______． 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 方法1 平面向量的数量积问题和几何意义问题 56 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 例2、在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D为线段BC 上任一点(包含端点)，则 的最大值为______． 57 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 例2、在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D为线段BC 上任一点(包含端点)，则 的最大值为______． 58 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 例2、在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D为线段BC 上任一点(包含端点)，则 的最大值为______． 59 方法2 利用向量的数量积解决有关长度、角度的问题 (1)由a·a＝|a|2，即|a|＝ 可知向量的模可以转化为向量 的数量积运算； (2)a·b＝|a||b|cosθ(a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°) cosθ＝ ，因此，用向量的数量积可以解决两个向量的夹角问题． 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 60 例3、(1)[四川成都2019届一诊]已知平面向量a，b的夹角为 ，且|a| ＝1，|b|＝ ， 则a＋2b与b的夹角是________． 3  2 1 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 61 例3 (2)[陕西2019届模拟]已知正方形ABCD，点E在边BC上， 且满足2 = ,设向量 , 的夹角为 ，则cos θ＝________．BE BC AE BD  考点三 平面向量的数量积及向量的应用 【答案】(1) （2） 62 例4、已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么| a＋3b |＝ (  ) A . B . C . D. 413107 【解析】方法一：因为| a＋3b | 2＝ a2 ＋ 6a·b＋9b2＝1＋6× ＋9＝13， 所以| a＋3b |＝ 2 1 13 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 63 方法二：利用向量加法的平行四边形法则．如图，AD＝|a|, AB＝ |3b|，AC＝| a＋3b|，再由余弦定理，可知AC2＝BC2＋AB2－ 2AB·BC·cos 120°＝13，即AC＝ 13 【答案】C 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 64 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 65 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 66 方法3 利用向量的数量积解决有关平行、垂直的问题 (1)两个向量平行的充要条件： ①a∥ba·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|； ②a∥b存在实数λ，使b＝λa(a≠0)． (2)两个非零向量垂直的充要条件： ①a⊥ba·b＝0； ②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0. 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 67 例6、已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，则|a＋b|＝ (  )                       A．0 B. C．2 D.2 3 【解析】∵向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)， ∴a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，∴2a·b＝1，∴|a＋b|2＝a2 ＋2a·b＋b2＝1＋1＋1＝3，∴|a＋b|＝ ，故选D.3 【答案】D 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 68 例7、[安徽宣城2019届调研]已知在△ABC中， ∠A＝120°， 且AB＝3, AC＝4，若 则实数λ的值为(  ) A. B. C.6 D.15 22 3 20 7 12 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 【答案】A 69 例8、已知a，b是两个单位向量， 且|ka＋b|＝ |a－kb|(其中 k>0)． (1)a与b是否垂直？ (2)若a与b的夹角为60°，求k的值． 3 【分析】从向量的数量积与向量的模、夹角之间的关系入手． 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 70 【解】(1)∵|ka＋b|＝|a－kb|， ∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2， 且由|a|＝|b|＝1，可得a·b＝ ∵k2＋1≠0, ∴a·b≠0，∴a与b不垂直． (2)∵a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1， ∴a·b＝|a||b|cos 60°＝ = ，∴k＝1. 2 1 2 1 【反思】(1)在向量的数量积运算中，注意向量的模与夹角的关系；(2)注意 向量的数量积与平行、垂直的关系；(3)在解题过程中要注意等价转化． 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 71 方法4 利用平面向量解决平面几何问题  例9、[四川2018月考]设P是△ABC所在平面内一点，若 则点P是△ABC的(  ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 72 【答案】A 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 73 例10、若O为△ABC所在平面内任一点，且满足， ， 则△ABC的形状为(  ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 【答案】A 74 方法5 平面向量与解三角形的综合问题 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 75 方法5 平面向量与解三角形的综合问题 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 76 考法例析 成就能力 考法1 平面向量的数量积 例1、[课标全国Ⅱ2017·12]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC内一点，则 ，的最小值是(  ) A．－2 B．－ C．－ D．－1 2 3 3 4 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 77 【答案】B 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 78 例2、[天津2018·8]如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC， AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点， 则 的最小值为(  ) A. B. C. D．3 BEAE 16 21 2 3 16 25 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 79 图(1) 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 80 图(2) 【答案】A 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 81 例3、[福建2015·9]已知AB⊥AC，|AB|＝ ，|AC|＝t.若点P是△ABC所 在平面内的一点，且 则 的最大值等于(  ) t 1 PCPB A．13 B．15 C．19 D．21 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 82 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 【答案】A 84 考法2 平面向量的模 例5、[浙江2018·9]已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的 夹角为 ，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(  ) A. －1 B. ＋1 C．2 D．2－ 3  3 3 3 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 85 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 86 【答案】A 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 87 例6、[北京2016·4]已知向量a，b，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(  ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若|a|＝|b|，则(a＋b)·(a－b)＝0，不一定有|a＋b|＝|a－ b|，故充分条件不成立；若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0，不一定有 |a|＝|b|，因此必要条件也不成立．故选D. 【答案】D 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 88 例7、[课标全国Ⅰ2016·13]设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋ b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________． 【解析】方法一：∵a＝(m，1)，b＝(1，2)，∴a＋b＝(m＋1，3)， |a|2＝m2＋1，|b|2＝5，|a＋b|2＝(m＋1)2＋9.∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2， ∴(m＋1)2＋9＝m2＋1＋5，∴m＝－2. 方法二：∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，∴2a·b＝0，即a·b＝0，又a＝(m，1)， b＝(1，2)，∴a·b＝m＋2＝0，∴m＝－2. 【答案】－2 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 89 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 90 【答案】B 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 91 考法3 平面向量的夹角 例9、[课标全国Ⅲ2016·3]已知向量 ，， 则∠ABC＝(  ) A．30°   B．45°   C．60°  D．120° 【答案】A 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 92 例10、[四川2014·7]平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋ b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(  ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 93 考法4 平面向量共线问题 例11、[课标全国Ⅲ2017·12]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P 在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 ，则λ＋μ的最 大值为(  ) A．3 B． C. D．222 5 考点三 平面向量的数量积及向量的应用 94 考点三 平面向量的数量积及向量的应用