高考理数完美复习专题十六坐标系与参数方程完美

专题十六 坐标系与参数方程 目 录 CONTENTS 考点 坐标系与参数方程 考点 坐标系与参数方程 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 必备知识 全面把握 考点 坐标系与参数方程 1．坐标系 (1)平面直角坐标系 定义：在平面上，取定了两条互相垂直的直线的交点为原点，并确 定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．此时， 平面上任意一点P都可以由唯一的有序实数对(x，y)确定． 平面直角坐标系中的伸缩变换： 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平 面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 5 (2)极坐标系 定义：在平面内取一个定点O，由点O引一条射线Ox， 并确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正 方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标 系．定点O叫做极点，射线Ox叫做极轴．如图． 极坐标与直角坐标的互化： 把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴， 且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的 任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和 (ρ，θ)，则 考点 坐标系与参数方程 6 (3)简单曲线的极坐标方程 曲线的极坐标方程： 一般地，在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝ 0叫做曲线C的极坐标方程． 考点 坐标系与参数方程 极坐标与直角坐标互化的三个前提条件是：（1）极坐标系中的 极点与直角坐标系中的原点重合；（2）极轴与x轴的正半轴重合；（3）两 坐标系中取相同的长度单位. 由ρ2＝x2＋y2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝ (x≠0)确定θ时，根据点(x，y) 所在象限取最小正角．当x≠0时，θ角才能由tan θ＝x(y)按上述方法确定．当 x＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：①当x＝0，y＝0时，θ可取任 何值；②当x＝0，y＞0时，可取θ＝ ；③当x＝0，y＜0时，可取θ＝ . 7 考点 坐标系与参数方程 直线的极坐标方程： 过点M(ρ0，θ0)，且与极轴所成的角为α的直线方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 圆的极坐标方程： 圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为ρ2－2ρ0ρ·cos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： ①圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； ②圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcos θ； ③圆心位于 ，半径为r：ρ＝2rsin θ. 几个特殊位置的直线的极坐标方程： ①直线过极点，倾斜角为α的直线：θ＝α和θ＝π＋α； ②直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； ③直线过点 且平行于极轴：ρsin θ＝b. 2.参数方程 （1）参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变 数t的函数 并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的 点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系 变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的 坐标间关系的方程叫做普通方程． 考点 坐标系与参数方程 9 (2)参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数 而从参数方程得到普通方程．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝ f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数t的关系y＝g(t)，那么 就是曲线的参数方程． 把普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互 化前后方程的等价性．在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范 围保持一致，注意方程中的参数的变化范围．常见的消去参数的方法：代入消 参法，加减消参法，平方和(差)消参法，乘法消参法和混合消参法等．但是要 注意：不是所有的参数方程都可以化为普通方程，也不是所有的普通方程都可 以化为参数方程． 考点 坐标系与参数方程 10 (3)常见的参数方程 考点 坐标系与参数方程 ①过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 ②圆x2＋y2＝r2的参数方程为 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为 ③椭圆 的参数方程为 ④双曲线 的参数方程为 ⑤抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为 核心方法 重点突破 方法1 极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化 考点 坐标系与参数方程 1．极坐标与直角坐标互化的方法 (1)将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式 即可．在[0，2π)范围内，由 求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点 所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可． (2)将点的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)时，运用公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ即可． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化的方法 考点 坐标系与参数方程 方法1 极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化 [山东日照2018联考]在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P(0， － )且倾斜角为 .以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线C的极坐标方程为 . (1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； (2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值． 3 13 考点 坐标系与参数方程 整理得t2－7t＋9＝0.设点A，B对应的参数分别 为t1，t2，则t1＋t2＝7，t1t2＝9， 所以t1>0，t2>0， 所以|PA|＋|PB|＝t1＋t2＝7. 14 考点 坐标系与参数方程 [广东广州2018高中毕业班综合测试(一)]在直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为 ．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极 坐标系中，曲线 (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 【解】(1)由 消去t得x＋y－4＝0, 所以直线l的普通方程为x＋y－4＝0. 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式， 得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y, 即(x－1)2＋(y－1)2＝2. 15 考点 坐标系与参数方程 16 [四川成都2019届考前模拟]在直角坐标系xOy中，直线l的方程是x＝2， 曲线C的参数方程为 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系． (1)求直线l和曲线C的极坐标方程； 考点 坐标系与参数方程 17 考点 坐标系与参数方程 方法2 参数方程与普通方程的互化 1．参数方程化为普通方程 由参数方程得到普通方程的思路是消参，消去参数的方法要视情况而定，一 般有三种情况： (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入、消去参数，或直接利 用加减消元法消参； (2)利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形， 使得一个方程一边只含有sin θ，另一个方程一边只含有cos θ，两个方程分别 平方后，两式左右相加消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参 数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小， 必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围． 考点 坐标系与参数方程 19 20 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程是 (1)求圆心C的直角坐标与直线l的普通方程； (2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值． 【解】(1)直线l的普通方程为y＝x＋4.圆C的普通方程为 (2)直线l上的点到圆心C的距离的最小值 考点 坐标系与参数方程 22 [山西运城康杰中学2018模拟]在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的普通方程； 考点 坐标系与参数方程 23 [山西运城康杰中学2018模拟]在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的普通方程； 考点 坐标系与参数方程 24 2．普通方程化为参数方程 选取合适的参数t，确定x＝f(t)，再代入普通方程，求得y＝φ(t)， 即可化为参数方程 注意参数t的意义和取值范围． 选取参数的原则： (1)曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且相对简单； (2)当参数取某一个值时，可以唯一确定x，y的值． 考点 坐标系与参数方程 方法2 参数方程与普通方程的互化 25 [吉林省吉林市2017第二次调研]已知曲线C的极坐标方程是ρ－6cos θ＋ 2sin θ＋ ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面 直角坐标系，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P(3，3)，倾斜角 (1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； (2)设l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值． 考点 坐标系与参数方程 26 方法3 参数方程的应用  1．直线方程中参数t的几何意义的应用 考点 坐标系与参数方程 27 在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意 义，即直线的参数方程不是标准形式的时候，先要化成标准形式．其几何意 义为|t|是直线上任一点A(x，y)到B0(x0，y0)的距离，即|AB|＝|t|. 2．求椭圆、双曲线等曲线上的点到直线的距离的最值时，往往通过参数方 程引入三角函数，再借助三角函数的性质进行求解．掌握参数方程与普通方 程互化的规律是求解此类问题的关键． 考点 坐标系与参数方程 28 [山西省际名校2017联考(一)]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方 程为 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0. (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； (2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，设M(2，0)，求 的值． 考点 坐标系与参数方程 29 30 考点 坐标系与参数方程 31 考法例析 成就能力 考法1 极坐标与直角坐标的互化  [课标全国Ⅱ2017·22]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4. (1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16， 求点P的轨迹C2的直角坐标方程； (2)设点A的极坐标为 ，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值． 考点 坐标系与参数方程 32 考点 坐标系与参数方程 33 【答案】2 [天津2017·11]在极坐标系中，直线 与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________． 考点 坐标系与参数方程 34 [课标全国Ⅰ2016·23]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标 系中，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公 共点都在C3上，求a. 考点 坐标系与参数方程 35 【解】(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.故C1是以(0，1) 为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中， 得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0， 解得a＝－1(舍去)或a＝1. 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上． 所以a＝1. 考点 坐标系与参数方程 36 考法2 参数方程与普通方程的互化  【解析】将圆x2＋y2－2x＝0化为标准方程得(x－1)2＋y2＝1，所以圆心C(1，0)， 半径r＝1.直线 （t为参数），化为普通方程为x＋y－2＝0，所以点 C(1，0)到直线x＋y－2＝0的距离 ，所以 ， [天津2018·12]已知圆x2＋y2－2x＝0的圆心为C，直线 ，与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为________． 考点 坐标系与参数方程 37 考点 坐标系与参数方程 38 考点 坐标系与参数方程