第二十二章 二次函数
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．函数y＝(m＋1)xm2＋1是二次函数，则m的值是(C)
A．±1 B．－1 C．1 D．以上都不是
2．抛物线y＝－(x＋2)2－5的顶点坐标是(C)
A．(－2，5) B．(2，5) C．(－2，－5) D．(2，－5)
3．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是(D)
A．－3 B．－1 C．2 D．3
4．如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是(D)
A．－1≤x≤3
B．x≤－1
C．x≥1
D．x≤－1或x≥3
5．已知函数y＝3x2－6x＋k(k为常数)的图象经过点A(0.8，y1)，B(1.1，y2)，C(，y3)，则有(C)
A．y3>y2>y1 B．y1>y2>y3 C．y3>y1>y2 D．y1>y3>y2
6．在平面直角坐标系中，直线y＝ax＋h与抛物线y＝a(x－h)2的图象不可能是(C)
7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x＋5)(x－3)经变换后得到抛物线y＝(x＋3)(x－5)，则这个变换可以是(B)
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
8．(连云港中考)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式h＝－t2＋24t＋1，则下列说法中正确的是(D)
A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B．点火后24 s火箭落于地面
C．点火后10 s的升空高度为139 m D．火箭升空的最大高度为145 m
9．如图①，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图②所示，则边BC的长是(A)
A． B． C． D．
10. (安顺中考)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，OA＝OC，则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0；②4ac－b2＞0；③a－b＋c＞0；④ac＋b＋1＝0.其中正确的个数是(B)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．如果抛物线y＝(a－3)x2－2有最低点，则a的取值范围为__a＞3__．
12．抛物线y＝x2－3与y轴的交点为__(0，－3)__．
13．二次函数y＝2x2－8x＋1的顶点坐标是__(2，－7)__．当x__＞2__时，y随x的增大而增大；当x__＜2__时，y随x的增大而减小．
14．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2，其中图象通过平移可以得到函数y＝－x2＋2x－3的图象有__②__．(填序号)
15．(沈阳中考)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长度为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝__150__时，矩形土地ABCD的面积最大．
16．如图，过点(0，1)且平行于x轴的直线与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)图象的交点坐标为(1，1)，(3，1)，则不等式ax2＋bx＋c－1＞0的解集为__x＜1或x＞3__．
17．已知函数y＝x2＋2(a＋2)x＋a2的图象与x轴有两个交点，且都在x轴的负半轴上，则a的取值范围是__a>－1且a≠0__．
18．(大庆中考)如图，抛物线y＝x2(p>0)，点F(0，p)，直线l：y＝－p，已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O，若A1F＝a，B1F＝b，则△A1OB1的面积＝____(只用a，b表示).
三、解答题(共66分)
19．(6分)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋5化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，并指出该函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：y＝x2－4x＋5＝(x－4)2－3，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)
20.(8分)(宁波中考)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3).
(1)求a的值和图象的顶点坐标；
(2)若点Q(m，n)在该二次函数的图象上，则：
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
解：(1)把点P(－2，3)代入y＝x2＋ax＋3中，得a＝2，∴y＝x2＋2x＋3，∴顶点坐标为(－1，2)
(2)①当m＝2时，n＝11
②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴－2＜m＜2，∴2≤n＜11
21．(8分)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．
解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1，0)，∴0＝1＋m，∴m＝－1.∴抛物线的解析式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3.∴点C的坐标为(0，3).抛物线的对称轴为直线x＝－2.又∵点B与点C关于对称轴对称，∴点B的坐标为(－4，3).∵y＝kx＋b经过点A，B，∴解得∴一次函数的解析式为y＝－x－1
(2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围为x≤－4或x≥－1
22．(9分)如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，)，以点C为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A、B两点．
(1) 求A，B，C三点的坐标；
(2) 求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
(3) 若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位长度？
解：(1)A、B、C三点的坐标分别为(1，0)、(3，0)、(2，)
(2)设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋，代入A点的坐标(1，0)，得a＝－，∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋
(3)设抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋k，代入D点的坐标(0，)，得k＝5，∴
平移后的抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋5，∴平移了5－＝4 个单位长度
23．(9分)某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，那么他能否获得成功？
解：(1)球出手点、最高点、篮圈坐标分别为(0，)，(4，4)，(7，3)，设这条抛物线的解析式为y＝a(x－4)2＋4，把点(0，)的坐标代入求出抛物线解析式为y＝－(x－4)2＋4，当x＝7时，y＝－×(7－4)2＋4＝3，∴能准确投中 (2)将x＝1代入函数解析式中算出y的值为3，∵3＜3.1，∴乙能获得成功
24．(12分)(营口中考)夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内(含10天)完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．
(1)设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若每台空调的成本价(日生产量不超过50台时)为2 000元，订购价格为每台2 920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)∵接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，∴由题意可得出，第x天生产空调y台，y与x之间的函数解析式为y＝40＋2x(1≤x≤10)
(2)当1≤x≤5时，W＝(2 920－2 000)×(40＋2x)＝1 840x＋36 800，∵1 840＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝5时，W最大值＝1 840×5＋36 800＝46 000；当5＜x≤10时，W＝[2 920－2 000－20(40＋2x－50)]×(40＋2x)＝－80(x－4)2＋46 080，此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随着x的增大而减小，又∵天数x为整数，∴当x＝6时，W最大值＝45 760元．∵46 000＞45 760，∴当x＝5时，W最大，且W最大值＝46 000元．综上所述：工厂第5天获得的利润最大，最大利润是46 000元
25．(14分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知A，B(2，0)，C(0，－2)，已知点E为x轴负半轴上一动点，作BF⊥CE，垂足为D，且BD交y轴于点F.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若BE＝2CF，求点E的坐标；
(3)在(2)的条件下，若点E在O，A之间移动，问在坐标系内是否存在点G，使得G，
C，B，E四点所构成的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点G坐标；如果不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线的解析式为y＝(x－2)，即y＝x2－x－2
(2)①当点E在点A右侧时，如图所示，设OE＝a.∵∠DCF＋∠DFC＝∠OFB＋∠OBF＝90°，且∠DFC＝∠OFB，∴∠DCF＝∠OBF.易证△OEC≌△OFB(ASA).∴OE＝OF＝a.∵BE＝2CF，∴2＋a＝2(2－a).解得a＝.故点E的坐标为.②当点E在点A左侧时，如图所示．
∵BE＝2CF，且BE＝2＋a，CF＝a－2，∴2＋a＝2(a－2).解得a＝6.故点E坐标为(－6，0).综上可得点E坐标为(－6，0)或
(3)存在，点G的坐标为，，.
【解析】设点G的坐标为(m，n)，四点所构平行四边形的中心为H，①当四个点组成平行四边形为ECBG时，xH＝＝，yH＝＝，解得m＝，n＝2.故点G的坐标为.②当四个点组成平行四边形为CBEG时，xH＝＝，yH＝＝，解得m＝－，n＝－2.故点G的坐标为.③当四个点组成平行四边形为ECGB时，xH＝＝，yH＝＝，解得m＝，n＝－2.故点G的坐标为
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