第二十四章 圆
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列说法正确的是(B)
A．平分弦的直径垂直于弦 B．半圆(或直径)所对的圆周角是直角
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．若直线与圆有公共点，则直线与圆相切
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是(B)
A．AB＝AD B．BC＝CD C．＝ D．∠BCA＝∠DCA
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是(D)
A．(2，3) B．(3，2) C．(1，3) D．(3，1)
4．(眉山中考)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为(A)
A．6 B．3 C．6 D．12
5．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以点O为圆心作圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为点D，E，则⊙O的半径为(D)
A．8 B．6 C．5 D．4
6．如图，圆锥形的烟囱帽底面半径为15 cm，母线长为20 cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是(B)
A．1 500π cm2 B．300π cm2 C．600π cm2 D．150π cm2
7．如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD(面积记为S1)变形为以点B为圆心，BC为半径的扇形(面积记为S2)，则S1与S2的关系为(B)
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定
8．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是(A)
A．＝ B．＝ C．＝ D．不能确定
9．如图，直线y＝x＋与x轴，y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左平移，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是(B)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，＝＝，点E是点D关于AB所在直线的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，其中正确的个数是(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的度数是__35°__．
12．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是__D为BC中点(答案不唯一)__．(不添加其他字母和线条)
13．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E为上一点，∠D＝50°，则 ∠E＝__40°__．
14．(广西中考)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为__26__寸．
15．如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切BA，BC，AC于点E，F，D，点P在弧DE上，如果∠EPF＝70°，那么∠B＝__40°__.
16．(永州中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为____．
17．如图， 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝12 cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转， 使点C旋转到AB边延长线上的点D处， 则AC边扫过的图形 (阴影部分) 的面积是__36π__cm2. (结果保留π).
18．如图所示，已知A点从(1，0)点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O，A为顶点作菱形OABC，使B，C点都在第一象限内，且∠AOC＝60°，又以P(0，4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t＝__4－1__．
三、解答题(共66分)
19．(6分)把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝EF＝24 cm，求这个球的直径．
解：连接OF，过点O作OG⊥AD于点G，交⊙O于点H，则GF＝EF＝12，设半径为r，则OG＝24－r，根据勾股定理，得(24－r)2＋122＝r2，解得r＝15.故2r＝30.
答：这个球的直径为30 cm
20．(8分)如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
(2)若OC＝3，OA＝5，求AB的长．
解：(1)26° (2)8
21．(8分)如图，P为正比例函数y＝x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y).
(1)求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标．
(2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围．
解：(1)过P作直线x＝2的垂线，垂足为A；当点P在直线x＝2右侧时，AP＝x－2＝3，得x＝5，
∴P(5，)；当点P在直线x＝2左侧时，PA＝2－x＝3，得x＝－1，∴P(－1，－)，∴当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标为(5，)或(－1，－)
(2)当－1＜x＜5时，⊙P与直线x＝2相交，当x＜－1或x＞5时，⊙P与直线x＝2相离
22．(8分)(广西中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.
(1)求证：∠BAD＝∠CBD；
(2)若∠AEB＝125°，求的长(结果保留π).
解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD
(2)连接OD，∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°，∵AB为⊙O直径，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE＝35°，∴∠DAB＝∠CAE＝35°，∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，∴的长＝＝π
23．(10分)(邵阳中考)如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F.
(1)求由弧EF及线段FC，CB，BE围成图形(图中阴影部分)的面积；
(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.
解：(1)∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵AD＝6，∴BD＝6，BC＝2BD＝12，∴由弧EF及线段FC，CB，BE围成图形(图中阴影部分)的面积＝S△ABC－S扇形EAF＝×6×12－＝36－12π
(2)设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝2，这个圆锥的高h＝＝4
24.(12分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，P为AB延长线上一点，∠PCD＝2∠BAC.
(1)求证：CP为⊙O的切线；
(2)若BP＝1，CP＝，则：
①求⊙O的半径；
②若M为AC上一动点，则OM＋DM的最小值为____．
解：(1)证明：连接OC，∵∠PCD＝2∠BAC，∠POC＝2∠BAC，∴∠POC＝∠PCD.∵CD⊥AB于点D，∠ODC＝90°，∴∠POC＋∠OCD＝90°.∴∠PCD＋∠OCD＝90°，∴∠OCP＝90°.∵OC为半径，∴CP为⊙O的切线
(2)①设⊙O的半径为r，在Rt△OCP中，CO2＋CP2＝OP2.∵BP＝1，CP＝，∴r2＋()2＝(r＋1)2，解得r＝2.∴⊙O的半径为2
25．(14分)如图①，已知⊙O是△ADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点C，连接AC，BC.
(1)求证：AC＝BC；
(2)如图②，在图①的基础上作⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A作⊙O的切线AH，若AH∥BC，求∠ACF的度数；
(3)在(2)的条件下，若△ABD的面积为6，△ABD与△ABC的面积比为2∶9，求CD的长．
解：(1)证明：∵DC平分∠ADB，∴∠ADC＝∠BDC，∴＝，∴AC＝BC
(2)连接AO并延长交BC于点I，交⊙O于点J.
∵AH是⊙O的切线，且AH∥BC，∴AI⊥BC.
由垂径定理，得BI＝IC，∵AC＝BC，∴IC＝AC，
在Rt△AIC中，IC＝AC，∴∠IAC＝30°，∴∠ABC＝60°＝∠F＝∠ACB，∵FC是直径，∴∠FAC＝90°，∴∠ACF＝180°－90°－60°＝30°
(3)过点D作DG⊥AB，由(1)(2)知，△ABC为等边三角形，
∵∠ACF＝30°，∴AB⊥CF，∴AE＝BE，∴S△ABC＝AB2＝27，
∴AB＝6，∴AE＝3，在Rt△AEC中，CE＝AE＝9，在Rt△AEO中，设EO＝x，
则AO＝2x，∴AO2＝AE2＋OE2，∴(2x)2＝(3)2＋x2，∴x＝3，∴⊙O的半径为6，∴CF＝12，
∵S△ABD＝AB×DG×＝6×DG×＝6，∴DG＝2.
过点D作DP⊥CF，连接OD，∵AB⊥CF，DG⊥AB，∴CF∥DG，
∴四边形PDGE为矩形，∴PE＝DG＝2，∴CP＝PE＋CE＝2＋9＝11.
在Rt△OPD中，OP＝5，OD＝6，∴DP＝＝，
∴在Rt△CPD中，根据勾股定理得，CD＝＝2
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