第9辑计数原理二项式定理（解析版）-备考2021年高考数学三轮复习之疯狂选择题30题

备考 2021 年高考高三数学复习之疯狂选择题 30 题 第 9 辑 计数原理与二项式定理 一、单选题 1．（2021·浙江高三其他模拟） 53x x     的展开式中 2x 的系数是（ ） A．60 B．80 C．90 D．120 【答案】C 【分析】 利用通项公式 35 2 1 5C 3 rr r rT x     ，得 2r = ，可得系数 【详解】 53x x     的展开式的通项公式为 355 2 1 5 5 3C C 3 r rr r r r rT x x x         ， 令 35 22 r  ，得 2r = ，则 2x 的系数为 2 2 5C 3 90  ． 故选：C 【点睛】 求二项式展开式指定项的系数，利用通项公式 1 Cr n r r r nT a b   和 x 的幂指数相等可求． 2．（2021·四川遂宁市·高三二模（理））若 5ax x     的展开式中 x 的系数为 15，则 a （ ） A．2 B．3. C．4 D．5 【答案】B 【分析】 根据二项式展开式通项公式即可求得． 【详解】 5ax x     的展开式中 x 的项为  44 5 5aC x axx   ，则 5 15a  ，故 3a  . 故选：B 3．（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（理））   6 4 1 1x x  的展开式中 2x 的系数为（ ） A． 2 B．2 C． 10 D．10 【答案】B 【分析】 把已知式变形后再用二项式定理求解． 【详解】    6 4 1 1x x  4 2 4(1 ) (1 ) (1 ) (1 2 )x x x x x       ， 4(1 )x 的展开式的通项为 1 4 4( ) ( 1)r r r r r rT C x C x     ， 因此所求 2x 的系数为 2 1 4 4( ) 2C C   ． 故选：B． 【点睛】 方法点睛：本题考查二项式定理，对于求两个多项式相乘的展开式中某一项的系数，可以把两个多项式分 别应用二项式定理求得相应项的系数，然后利用多项式乘法法则计算． 4．（2021·广东肇庆市·高三二模）二项式 6 2 1ax x     的展开式的常数项为 60，则 a 的值为（ ） A．2 B． 2 C． 2 D． 3 【答案】C 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项，由常数项为 60，列方程可求出 a 的值 【详解】    62 r 6 12 3 1 6 6 1C C 1 r r rr r r rT ax a xx            ，令12 3 0r  ，所以 4r  . 令  44 2 6C 1 a 60 ，解得 2a   ， 故选：C. 5．（2021·浙江高三其他模拟）  611 a xx      的展开式中 4x 的系数为 3 5- ，则实数 a 的值为（ ） A． 2 5  B． 4 5  C． 3 5- D． 1 5  【答案】D 【分析】 原式变形为   6 61a x a xx    ，分两部分分别计算 4x 的系数，建立方程求解. 【详解】  6a x 的二项展开式的通项 6 1 6 r r r rT C a x   ，  611 a xx      的展开式中含 4x 的项包含两部分，即 4 2 4 2 4 6 15C a x a x ， 5 5 4 6 1 6C ax axx  ，故  611 a xx      的展开式中 4x 的系数为 2 315 6 5a a   ，所以 1 5a   . 故选：D． 6．（2021·全国高三专题练习）若 5(1 2) 2a b   （a，b 为有理数），则 a=（ ） A．-25 B．25 C．40 D．41 【答案】D 【分析】 先求得二项式 5(1 2) 的展开式的通项公式    1 5 1 2 rrr rT C   ，然后令 0,2,4r  求解. 【详解】 二项式 5(1 2) 的展开式的通项公式为：    1 5 1 2 rrr rT C   ， 则            0 2 40 2 40 2 4 5 5 51 2 1 2 1 2 41a C C C       ， 故选：D 7．（2020·全国高三其他模拟（理））若 6 2 6 0 1 2 62 x a a x a x a x     ，则 1 2 3 5a a a a   （ ） A． 4 B．4 C． 64 D． 63 【答案】C 【分析】 由题知  66 6 0 1 1a C   ，再令 0x  ，得 0 64a  ，令 1x  ，得 1 2 3 5 664 1a a a a a      ，进而 得 1 2 3 5 64a a a a     . 【详解】 因为 6 2 6 0 1 2 62 x a a x a x a x     ， 所以  66 6 0 1 1a C   ． 令 0x  ，得 6 02 0 a  ，即 0 64a  ． 令 1x  ，可得 1 2 3 5 664 1a a a a a      ． 所以 1 2 3 5 64a a a a     ， 故选：C． 【点睛】 本题考查二项式定理求值，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于赋值 0x  和 1x  求解. 8．（2021·江苏泰州市·高二月考）若 2020 2 2021 0 1 2 2021(1 )(1 2 )x x a a x a x a x       ，则 1 2 2021a a a    （ ） A．0 B．2 C． 1 D．1 【答案】D 【分析】 分别令 0x  和 1x  ，即可求得 1 2 2021a a a  的值. 【详解】 由 2020 2 2021 0 1 2 2021(1 )(1 2 )x x a a x a x a x       ， 令 0x  ，可得 0 1a  ； 令 1x  ，可得 0 1 2 2021 2a a a a    所以 1 2 2021 1a a a   . 故选：D. 9．（2021·浙江高三其他模拟）已知       5 2 5 0 1 2 51 1 2 1 2 1 2x a a x a x a x        ，则 1a （ ） A． 5 16 B． 5 32 C． 1 5 D．5 【答案】B 【分析】 令1 2x t  ，得 11 2 tx   ，然后利用二项式定理求 1a 即可． 【详解】 令1 2x t  ，则 1 11 1 2 2 t tx      ，所以 5 2 5 0 1 2 5 1 2 t a a t a t a t        ，所以 5 4 1 5 1 5 2 32a C       ， 故选：B． 10．（2021·江西高三其他模拟（理））设 0 61 2 6 2 0 1 2 6 172 m mm mx a x a x a x a xx          L ，则 0 1 2 6m m m m     （ ） A．21 B．64 C．78 D．156 【答案】A 【分析】 先写出通项公式  6 12 3 1 6 2 17 kk k k kT C x        ，进而可得 0 1 2 6m m m m    的表达式，即可求得答案. 【详解】 6 2 172x x     的通项公式为  6 12 3 1 6 2 17 , 0,1,2, ,6kk k k kT C x k         … ， 所以     0 1 2 6 1 6 612 7 3 1 2 +6 =84 3 212m m m m              … 故选：A 11．（2020·全国高三专题练习）设 a Z ，且 0 16a  ，若 20204 a 能被 17 整除，则 a 的值为（ ） A．1 B．4 C．13 D．16 【答案】D 【分析】 由  10102020 10104 16 17 1a a a      ，按照二项式定理展开，根据它能被17 整除，结合所给的选项可 得 a 的值． 【详解】 ∵ a Z ，且 0 16a  ， 由  10102020 10104 16 17 1a a a             0 1 1009 10100 1010 1 1009 1009 1 1010 0 1010 1010 1010 101017 1 17 1 17 1 17 1C C C C a         L      0 1009 10090 1010 1 1 1009 1 1010 1010 101017 1 17 1 17 1 1C C C a        L 又 20204 a 能被 17 整除  1 a 能被 17 整除，结合 0 16a   16a  故选：D． 【点睛】 本题考查了根据表达式整除来求参数问题，解题关键是掌握二项式定理，考查了分析能力和计算能力，属 于基础题. 12．（2021·全国高三专题练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书 中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨 辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了 393 年.若用 i ja  表示三角形数阵的 第i 行第 j 个数，则 100 3a   （ ） A．5050 B．4851 C．4950 D．5000 【答案】B 【分析】 依据二项展开式系数可知，得到第i 行第 j 个数应为 1 1 j iC   ，即可求得 100 3a  的值. 【详解】 依据二项展开式系数可知，第i 行第 j 个数应为 1 1 j iC   ， 故第 100 行第 3 个数为 2 99 99 98 48512C   故选： B . 【点睛】 本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第 j 个数应为 1 1 j iC   是解答的关键，着重考查推理与运算 能力，属于基础题. 13．（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（理））2019 年 9 月 1 日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘 坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人进入车厢的方法数共有（ ） A．15 种 B．30种 C．36种 D． 64 种 【答案】C 【分析】 根据分步乘法计数原理计算方法种数. 【详解】 每位同学都可以进入地铁中的任何一节车厢，每个人都有 6 种方法，所以两人进入车厢的方法数共有 6 6 36  种方法. 故选：C 14．（2021·河北张家口市·高三一模）小明同学从 9 种有氧运动和 3 种无氧运动中选 4 种运动进行体育锻炼， 则他至少选中 1 种无氧运动的选法有（ ） A．261 种 B．360 种 C．369 种 D．372 种 【答案】C 【分析】 由题意可知分三种情况求解，一是有 1 种无氧运动选中，二是有 2 种无氧运动选中，三是有 3 种无氧运动 选中，再由分类加法计数原理可求得结果 【详解】 解：从 9 种有氧运动和 3 种无氧运动中选 4 种运动进行体育锻炼，则他至少选中 1 种无氧运动的选法有 1 3 2 2 3 1 3 9 3 9 3 9 369C C C C C C   （种）． 故选：C． 15．（2021·广东揭阳市·高三一模）某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进 入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有 2 名教 师和 3 名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有（ ） A．6 种 B．12 种 C．24 种 D．32 种 【答案】D 【分析】 先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案. 【详解】 因为学生只能从东门或西门进入校园， 所以 3 名学生进入校园的方式共 32 8 种. 因为教师只可以从南门或北门进入校园， 所以 2 名教师进入校园的方式共有 22 4 种. 所以 2 名教师和 3 名学生要进入校园的方式共有8 4 32  种情况. 故选：D 16．（2021·全国高三专题练习）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重， 疫情防控工作形势依然严峻、复杂.某地区安排 , , , ,A B C D E 五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个 地区至少安排一人，且 ,A B 两人安排在同一个地区， ,C D 两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总 数为（ ） A．86 种 B．64 种 C．42 种 D．30 种 【答案】D 【分析】 分两类①当两个地区各分 2 人另一个地区分 1 人，②当两个地区各分 1 人另一个地区分 3 人结合排列组合 知识得出答案. 【详解】 ①当两个地区各分 2 人另一个地区分 1 人时，总数有 1 3 2 3 12C A  种； ②当两个地区各分 1 人另一个地区分 3 人时，总数有 1 3 3 3 18C A  种. 故满足条件的分法共有12 18 30  种. 故选：D 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键在于在分类的基础上，先选后排，最后由分类加法计数原理得出不同的分配方 法总数. 17．（2020·全国高三其他模拟（理））某医院派出了 6 名医生和 3 名护士共 9 人前往某地参加救治工作.现将 这人分成两组分配到 A ， B 两所医院，若要求每个医院都至少安排 2 名医生及 1 名护士，并且医生甲由于 工作原因只能派往 A 医院，则不同的分配方案种数为（ ） A．30 B．60 C．90 D．150 【答案】D 【分析】 由题意，第一步分配医生：将医生甲派往 A 医院，再往 A 医院安排 1 名医生，则 B 医院 4 名，再往 A 医院 安排 2 名医生，则 B 医院 3 名，再往 A 医院安排 3 名医生，则 B 医院 2 名，按照分类相加原理可知分配医 生有 1 2 3 5 5 5C C C 25   种方法；第二步分配护士有 1 3C 3 种方法；第三步将护士分配到医院有 2 2A 2 种 方法，按照分步相乘原理即可得解. 【详解】 第一步：按题意 6 名医生有 3 种分配情况， A 医院 2 名， B 医院 4 名， A 医院 3 名， B 医院 3 名， A 医院 4 名， B 医院 2 名，共有 1 2 3 5 5 5C C C 25   种分配方案； 第二步：按题意将 3 名护士分成一组 1 名，一组 2 名，有 1 3C 3 种分配方案， 第三步：两组护士分别分配给两个医院有 2 2A 2 种分配方案 故不同的分配方案种数为 25 3 2 150   ， 故选：D. 【点睛】 思路点睛：本题考查排列组合与分步乘法计数原理，解决排列组合问题的一般过程： （1）认真审题弄清楚要做什么事情； （2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类； （3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素. 18．（2021·浙江高三专题练习）由 0，1，2，3，4，5 共 6 个不同数字组成的 6 位数，要求 0 不能在个位数， 奇数恰好有 2 个相邻，则组成这样不同的 6 位数的个数是（ ） A．144 B．216 C．288 D．432 【答案】 C 【分析】 先从 3 个奇数中选 2 个奇数捆绑看成一个整体，然后将它们分别安置在 5 个位置上，其中根据这个整体与 剩下的一个奇数不相邻，以及 0 不在首位，也不在最后一个位置，利用分类加法计数原理和分步乘法计数 原理即可求解. 【详解】 先从 3 个奇数中选 2 个奇数捆绑看成一个整体，然后将它们分别安置在 5 个位置上，分别记为①②③④⑤， 其中这个整体与剩下的一个奇数不相邻，以及 0 不在①号位置，也不在⑤号位置． （1）若奇数排在①③号位置，则排法总数为 2 2 1 2 3 2 2 2 48A A C A  ； （2）若奇数排在①④号位置，则排法总数为 2 2 1 2 3 2 2 2 48A A C A  ； （3）若奇数排在①⑤号位置，则排法总数为 2 2 3 3 2 3 72A A A  ； （4）若奇数排在②④号位置，则排法总数为 2 2 2 3 2 2 24A A A  ； （5）若奇数排在②⑤号位置，则排法总数为 2 2 1 2 3 2 2 2 48A A C A  ； （6）若奇数排在③⑤号位置，则排法总数为 2 2 1 2 3 2 2 2 48A A C A  ； 根据分类加法计数原理可知，排法总数为 48+48+72+24+48+48=288 ． 故选：C． 【点睛】 方法点睛：（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时 一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以 采用间接法． （2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题 的常用方法． 19．（2020·安徽省六安中学高三开学考试（文））洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有 神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方 白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取 1 个数，则选取的两数之和能 被 5 整除的概率（ ） A． 1 10 B． 3 20 C． 1 5 D． 3 10 【答案】C 【分析】 由题意可知，阴数为 2，4，6，8，阳数为 1，3，5，7，9. 各选一个数，求出所有的选法，求出其和能被 5 整除的选法种数，根据古典概型的概率计算公式，即得答案. 【详解】 由题意可知，阴数为 2，4，6，8，阳数为 1，3，5，7，9. 各选一个数，共有 4 5 20  种选法. 其和能被 5 整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7，共 4 种选法， 选取的两数之和能被 5 整除的概率 4 1 20 5P   . 故选：C. 【点睛】 本题考查古典概型和计数原理，属于基础题. 20．（2020·全国（理））为了纪念高中三年舍友之间留下的深厚情感，某宿舍的 7 位同学决定站成一排合照 留念，其中中间位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在两侧，则不同的安排方法有（ ）. A．232 种 B．464 种 C．288 种 D．576 种 【答案】D 【分析】 先为中间位置选人，再为甲、乙、丙中剩余的两个人选位置排序，最后剩余的同学进行全排列，利用乘法 原理进行相乘即得结果. 【详解】 依题意，分三步进行： （1）先为中间位置选人，从甲乙中选，有 1 2C 种选法， （2）为甲、乙、丙中剩余的两个人选位置，不占两侧，去掉中间位置，还有 4 个位置可选，故有 2 4A 种排 法， （3）剩余的同学进行全排列，有 4 4A 种排法， 故利用乘法原理即得，不同的安排方法有 1 2 4 2 4 4 576C A A   种. 故选：D. 21．（2020·宁夏银川市·银川九中高三月考（理））某校高一开设 4 门选修课，有 4 名同学选修，每人只选 1 门，恰有 2 门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ） A．96 种 B．84 种 C．78 种 D．16 种 【答案】B 【解析】 先确定选的两门: 2 4 6C  ,再确定学生选: 24 2 14  ,所以不同的选课方案有 6 14 84,  选 B. 22．（2020·高三其他模拟（理））学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、 《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶 馆》不能在周一、周三上演；《天籁》不能在周三、周四上演；《马蹄声碎》不能在周一、周四上演，则所 有的可能情况有（ ）种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 根据话剧《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶馆》不能在周一、周三上演；《天籁》不能在周三、周四上 演；《马蹄声碎》不能在周一、周四上演，列表分析即可. 【详解】 周一 周二 周三 周四 雷雨 0 0 茶馆 0 0 天籁 0 0 马蹄声碎 0 0 根据以上图表，可知周四只能是《茶馆》，周一只能是《天籁》，周二周三《雷雨》和《马蹄声碎》可以交 换． 故选：C 【点睛】 本题主要考查逻辑推理和简单的计数问题，属于基础题． 23．（2020·全国高三其他模拟（理））某企业召开优秀员工表彰大会，准备从含有甲、乙的 6 名优秀员工中 选取 4 人作为代表发言．若甲、乙同时被选作代表发言时，甲在乙的前面发言，且甲、乙发言的顺序不相 邻．则不同的发言顺序种数为（ ）． A．252 B．254 C．256 D．258 【答案】A 【分析】 分四名代表中没有甲、乙，只有甲，只有乙，同时有甲、乙四种情况讨论求解，然后求和即可. 【详解】 ①四名代表中没有甲、乙时，不同的发言顺序种数为 4 4 4 3 2 24A     ； ②四名代表中只有甲时，不同的发言顺序种数为 3 4 4 4 4 4 3 2 96C A      ； ③四名代表中只有乙时，不同的发言顺序种数为 3 4 4 4 4 4 3 2 96C A      ； ④四名代表中同时有甲、乙时，不同的发言顺序种数为    2 2 2 4 2 22 6 4 2 36C A A     ． 故不同的发言顺序种数为 24 96 96 36 252    ． 故选：A 【点睛】 本题主要考查排列与组合实际问题以及分类加法计数原理，还考查了分类讨论的思想，属于中档题. 24．（2021·浙江高三其他模拟）在第九个“全国交通安全日”当天，某交警大队派出 4 名男交警和 3 名女交警 到 3 所学校进行交通安全教育宣传，要求每所学校至少安排 2 人，且每所学校必须有 1 名女交警，则不同 的安排方法有（ ） A．216 种 B．108 种 C．72 种 D．36 种 【答案】A 【分析】 先安排 4 名男交警到三个学校，再安排 3 名女交警到三个学校，由乘法原理可得． 【详解】 由题，先安排 4 名男交警，有 2 3 4 3 36C A  种方法，再将 3 名女交警安排到这 3 所学校，有 3 3 6A  种方法， 故共有36 6 216  种不同的安排方法． 【点睛】 方法点睛：求解排列组合问题的常用方法有：优先法（位置优先法和元素优先法）、插空法、捆绑法等，要 遵循先选后排的解题原则，对于复杂问题，可先分类，再分步． 25．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）2020 年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此次 活动中，某学校有 2 女、4 男 6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这 6名 志愿者中选派 3名，每人去1个小区，每个小区去1名教师，其中至少要有1名女教师，则不同的选派方案有 多少种（ ） A．16 种 B． 20 种 C．96种 D．120 种 【答案】C 【分析】 分只有一名女教师和两名女教师两种情况讨论得解. 【详解】 只有一名女教师： 1 2 3 1 2 4 3 72n C C A  ; 选派两名女教师： 2 1 3 2 2 4 3 24n C C A  ； 所以共有 72+24=96 种方法. 故选：C 【点睛】 方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优 先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.要根据已知条件灵活选择 方法求解. 26．（2020·湖南邵阳市·高三三模（理））2020 年 5 月 22 日，国务院总理李克强在发布的 2020 年国务院政府 工作报告中提出，2020 年要优先稳就业保民生，坚决打赢脱贫攻坚战，努力实现全面建成小康社会目标任 务.为响应党中央号召，某单位决定再加派五名工作人员甲、乙、丙、丁、戊去所负责的 A，B，C，D 四个 村小组帮助指导贫困户脱贫，每个村小组至少派一人，为工作方便，甲不去 A 小组，乙去 B 小组，则不同 的安排方法有（ ） A．24 B．42 C．120 D．240 【答案】B 【分析】 根据甲、乙是否在同一个小组进行分类讨论求解即可. 【详解】 当甲、乙在同一小组时，即都在 B 小组时，则不同的安排方法有： 3 3 3 2 1 6A     ； 当甲、乙不在同一小组时，根据题意可以分成 2 5 1 9C   组，乙所在的小组去 B 小组，甲有 2 种方法，剩下 的两人有 2 种方法，因此有不同的安排方法有：9 2 2 36   ， 因此符合题意的不同的安排方法有 6 436 2  种方法. 故选：B 【点睛】 本题考查了排列组合的应用，考查了数学分析问题能力，属于中档题. 二、多选题 27．（2021·湖南永州市·高三二模）关于多项式 62 xx     的展开式，下列结论正确的是（ ） A．各项系数之和为 1 B．二项式系数之和为 62 C．存在常数项 D． 4x 的系数为 12 【答案】ABC 【分析】 对 A，令 1x  可得；对 B，由 0 1 2 6 6 6 6 6 6 2C C C C     可判断；对 C，求出通项公式，令 x 的指数为 0， 求解可判断；对 D，令 x 的指数为 4 可求出. 【详解】 对于 A，令 1x  ，则可得各项系数之和为 62 1 11      ，故 A 正确； 对于 B，二项式系数之和为 0 1 2 6 6 6 6 6 6 2C C C C     ，故 B 正确； 对于 C， 62 xx     的展开式的通项公式为     6 6 2 6 1 6 6 2 1 2 r r rr r r r rT C x C xx                ，令 2 6 0r   ， 解得 3r  ，即常数项为第四项，故 C 正确； 对于 D，   6 2 6 1 61 2r r r r rT C x       ，令 2 6 4r   ，解得 = 5r ，则 4x 的系数为 5 6 5 5 61 2 12C    ， 故 D 错误. 故选：ABC. 【点睛】 本题考查二项展开式的应用，解题的关键是正确求出二项展开式的通项公式. 28．（2021·广东湛江市·高三一模）已知(1-2x)2021=ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021.（ ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 22021 B．展开式中所有奇次项系数和为 20213 1 2  C．展开式中所有偶次项系数和为 20213 1 2  D． 3 20211 2 2 3 2021 12 2 2 2 a aa a     【答案】ABD 【分析】 由二项式系数之和，当 1x   ， 2021 0 1 2 3 20213      La a a a a ① 当 1x  ， 2021 0 1 2 3 2021( 1)      La a a a a ②，由①+②，①-②；令 0x  ，则 0 =1a ，令 1 2x  ，则 20211 2 0 2 20210 2 2 2     L aa aa ，即可得结果. 【详解】 A .二项式系数之和为 0 1 2021 2021 2021 2021 2021 =2  LC C C ，故 A 正确； B. 2021 2 2021 0 1 2 2021(1 2 )x a a x a x a x      当 1x   ， 2021 0 1 2 3 20213      La a a a a ① 当 1x  ， 2021 0 1 2 3 2021( 1)      La a a a a ② ①+②，可得当 2021 2021 0 2 2020 0 2 2020 3 13 1 2( ) 2          L La a a a a a ，故 B 正确； C.①-② 2021 2021 1 3 2021 1 3 2021 3 +13 +1 2( ) 2           L La a a a a a ，故 C 错误； D. 2021 2 2021 0 1 2 2021(1 2 )x a a x a x a x      令 0x  ，则 0 =1a 令 1 2x  ，则 20211 2 0 2 20210 2 2 2     L aa aa 20211 2 2 2021 =-12 2 2   L aa a ，故 D 正确 故答案为：ABD 29．（2021·全国高三专题练习）某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从 物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中任选 3 门进行学习. 现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选 物理，则下列结论正确的是（ ） A．甲的不同的选法种数为 10 B．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 C．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是 1 5 D．乙、丙两名同学都选物理的概率是 1 4 【答案】AD 【分析】 本题首先可以根据从剩下 5 门课中选两门判断出 A 正确，然后根据甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不 选化学是对立事件判断出 B 错误，再然后根据条件概率的计算判断出 C 错误，最后根据乙、丙两名同学各 自选物理的概率判断出 D 正确. 【详解】 A 项：由于甲必选物理，故只需从剩下 5 门课中选两门即可，即 2 5 10C  种选法，故 A 正确； B 项：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故 B 错误； C 项：由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是 1 4 2 5 2 5 C C  ，故 C 错误； D 项：因为乙、丙两名同学各自选物理的概率 2 5 3 6 1 2 C C  ， 所以乙、丙两名同学都选物理的概率是 1 1 1 2 2 4   ，D 正确， 故选：AD. 【点睛】 本题考查古典概型的概率的相关计算，考查组合的应用以及组合数的运算，考查对立事件的判定以及条件 概率的计算，考查运算求解能力，考查推理能力，是中档题. 30．（2021·江苏徐州市·高三二模）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角 的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…， 则（ ） A．在第 9 条斜线上，各数之和为 55 B．在第 ( 5)n n… 条斜线上，各数自左往右先增大后减小 C．在第 n 条斜线上，共有 2 1 ( 1) 4 nn    个数 D．在第 11 条斜线上，最大的数是 3 7C 【答案】BCD 【分析】 根据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，得到数列规律为 1 2n n na a a   判断 A 选项，再根据杨辉三角得到第 n 条斜线上的数为：   20 1 3 1 1 2 43 1, , ,..., ,..., , kk n n n n kn n kC CC C C C        判断 BCD 选 项； 【详解】 从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…， 其规律是 1 2n n na a a   ， 所以第 9 条斜线上各数之和为 13+21=34，故 A 错误； 第 1 条斜线上的数： 0 0C ， 第 2 条斜线上的数： 1 1C ； 第 3 条斜线上的数： 10 2 1,CC ， 第 4 条斜线上的数： 10 3 2,CC ， 第 5 条斜线上的数： 0 1 2 4 3 2, ,C C C ， 第 6 条斜线的数： 20 1 5 4 3, ,CC C ， ……， 依此规律，第 n 条斜线上的数为：   20 1 3 1 1 2 43 1, , ,..., ,..., , kk n n n n kn n kC CC C C C        ， 在第 11 条斜线上的数为 2 50 1 3 4 10 9 7 68 5, , ,, ,C CC C C C ，最大的数是 3 7C ， 由上面的规律可知：n 为奇数时，第 n 条斜线上共有 1 2 2 2 4 n n  个数； n 为偶数时，第 n 条斜线上共有共有 2 2 4 n n 个数， 所以第 n 条斜线上共  2 1 1 4 nn    ，故 C 正确； 由上述每条斜线的变化规律可知：在第 ( 5)n n… 条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故 B 正确； 故选：BCD 【点睛】 关键点点睛：本题关键是找到第 n 条斜线上的数为   20 1 3 1 1 2 43 1, , ,..., ,..., , kk n n n n kn n kC CC C C C        .