第12辑数学文化与数学新定义类试题（解析版）-备考2021年高考数学三轮复习之疯狂选择题30题

备考 2021 年高考高三数学复习之疯狂选择题 30 题 第 12 辑数学文化与数学新定义类试题 一、单选题 1．（2021·河南新乡市·高三二模（文））定义集合  1M N x x M x N    且 ，已知集合  2 3 10 0A x x x    ，  7 0B x x    ，则 A B  （ ） A． 5 1x x    B． 7 2x x   C． 5 1x x   D． 5 0x x   【答案】C 【分析】 先求得集合 A ，再由 1x B  ，得到  6 1x x x    ，结合集合的运算，即可求解. 【详解】 由不等式 2 3 10 ( 2)( 5) 0x x x x      ，解得 5 2x   ，即  5 2A x x    ， 又由  7 0B x x    ，若 1x B  ，可得  6 1x x x    ， 所以  5 1A B x x     ． 故选：C. 2．（2020·全国高三一模（理））已知集合 { | 1 2}, { |1 5}    A x x B x x„ „ „ ，定义集合 * { | , , }    A B z z x y x A y B ，则 *( * )B A B 等于（ ） A．{ | 6 1} x x„ B．{ |1 12}x x„ C．{ | 11 0} x x„ D．{ | 5 6} x x„ 【答案】C 【分析】 根据 *A B 定义，求出 *A B ，即可求出结论. 【详解】 因为集合 { |1 5} B x x„ „ ，所以 { | 5 1}  B x x„ „ ， 则 * { | 6 1}  A B x x„ ，所以 *( * ) { | 11 0}  B A B x x„ . 故选:C. 【点睛】 本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题. 3．（2020·江苏扬州市·高三月考）据记载，欧拉公式 cos sin ( )ixe x i x x R   是由瑞士著名数学 家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当 x  时，得到一个令人着迷的优美恒等式 1 0ie   ，将数学中五个重要的数（自然对数的底 e ，圆周率 ，虚数单位i ，自然数的单位 1 和零元 0） 联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数 i4ez   的共轭复数为 z ， 则 z  （ ） A． 2 2 2 2 i  B． 2 2 2 2 i  C． 2 2 2 2 i D． 2 2 2 2 i 【答案】D 【分析】 复数 i4e cos sin4 4z i     ，进而得出共轭复数为 z. 【详解】 因为复数 i4 2 2e cos isin i4 4 2 2z        ， 所以 2 2 2 2z i  ， 故选：D 【点睛】 本题主要考查了欧拉公式，共轭复数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 4．（2021·全国高三专题练习）若数列 na 满足 1 1 2 0 n na a   ，则称 na 为“梦想数列”，已知正项数列 1 nb       为“梦想数列”，且 1 2 3 1b b b   ，则 6 7 8b b b   （ ） A． 4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】 利用等比数列的定义可推导出“梦想数列” na 是公比为 1 2 的等比数列，进而结合题意可知数列 nb 是公比 为 2 的等比数列，由此可得  5 6 7 8 1 2 32b b b b b b     ，即可得解. 【详解】 由题意可知，若数列 na 为“梦想数列”，则 1 1 2 0 n na a   ，可得 1 1 2 n n a a   ， 所以，“梦想数列” na 是公比为 1 2 的等比数列， 若正项数列 1 nb       为“梦想数列”，则 1 1 1 2n nb b  ，所以， 1 2n n b b   ， 即正项数列 nb 是公比为 2 的等比数列， 因为 1 2 3 1b b b   ，因此，  5 6 7 8 1 2 32 32b b b b b b      . 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公 比为 1 2 的等比数列，解题要将这种定义应用到数列 1 nb       中，推导出数列 nb 为等比数列，然后利用等比 数列基本量法求解. 5．（2020·河北衡水市·衡水中学高三其他模拟（理））《吕氏春秋·音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、 商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的 一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分 成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之 二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”.如果按照三分损益 律，基数“宫”发声管长度为 1，则“羽”管的长度为（ ） A． 16 27 B． 27 16 C． 64 81 D． 81 64 【答案】A 【分析】 由三分损一、三分益一的原理，基数“宫”发声管长度为 1，依次求出徵，商，羽的管长即可. 【详解】 按照三分损益原理：宫：1； 徵： 2 21 3 3   ； 商： 2 4 81 3 3 9    ； 羽： 2 4 2 161 3 3 3 27     ； 故选：A. 【点睛】 本题考查了数学文化的知识，考查了理解辨析能力、逻辑推理能力、数学运算能力、数学的应用意识和解 决问题的能力，属于一般题目. 6．（2020·江苏高二单元测试）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新 的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或 者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其 前 7 项分别为 1，5，11，21，37，6l，95，则该数列的第 8 项为( ) A．99 B．131 C．139 D．141 【答案】D 【分析】 根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第 8 项； 【详解】  所给数列为高阶等差数列 设该数列的第 8 项为 x 根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图： 根据图象可得： 34 12y   ，解得 46y  95 46x y   解得： 141x  故选：D． 【点睛】 本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力， 属于中档题． 7．（2020·河北衡水市·衡水中学高三其他模拟（理））设向量 a  与b  的夹角为 ，定义 a  与b  的“向量积”：a b  是一个向量，它的模| | | | | | sina b a b        ，若 ( 3, 1), (1, 3)a b     ，则| |a b  （ ） A． 3 B． 2 C． 2 3 D． 4 【答案】B 【分析】 根据 ( 3, 1), (1, 3)a b     ，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式 | | | | | | sina b a b        求解. 【详解】 ( 3, 1), (1, 3)a b      | | 2,| | 2a b    2 3 3cos ,4 2| | | | a b a b             则 1sin 2   | | | | | | sin 2a b a b          ， 故选：B 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量积的新定义运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．（2010·山东高考真题（文））定义平面向量之间的一种运算“  ”如下：对任意的 ( , )a m n r ， ( , )b p q ， 令 a b mq np    .下面说法错误的是 A．若 a b  与 共线，则 0a b  B． a b b a      C．对任意的 , ( )R a b a b        有（ ） D． 2 22 2( ) ( )a b a b a b         【答案】B 【详解】 若 a  与 b  共线，则有 =mq-np=0a b   ，故 A 正确；因为 ，而 =mq-npa b ，所以有 a b b a  ，故选项 B 错误； 因为 ( , ) ( , )a b m n p q mq nq         （ ） ， ( ) ( )a b mq np mq np         ，所以选项 C 正 确； 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )a b a b mq np mp nq m q n p m p n q m n q p                 ， 2 2 2 2 2 2=( )( )m na p qb    ，所以选项 D 正确. 故选 B． 9．（2021·江苏常州市·高三一模）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、 乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥. 天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地 支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉” 后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推. 今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（ ） A．辛酉年 B．辛戊年 C．壬酉年 D．壬戊年 【答案】A 【分析】 推导出1921年的天干与地支，由此可得出结果. 【详解】 由题意知，天干是公差为10 的等差数列，地支为公差为12 的等差数列， 且100 10 10  ，100 8 12 4   ， 因为 2021年为辛丑年，则100年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到1921年为辛酉年， 故选：A. 10．（2021·全国高三专题练习）将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有1 12 ，2 6 ，3 4 三种，其中3 4 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 3 4 为 12 的最佳分解.当 p q ( p q 且 p､ N*q )是正整 数 n 的最佳分解时，我们定义函数  f n q p  ，例如  12 4 3 1f    ，则数列   3nf 的前 2020 项和 为（ ） A． 10103 1 B． 10103 C． 10113 1 D． 10113 【答案】A 【分析】 按照 n 为偶数、 n 为奇数分类，再结合等比数列的前 n 项和公式即可得解. 【详解】 当 n 为偶数时，  3 0nf  ；当 n 为奇数时，   1 1 1 2 2 23 3 3 2 3 n n n nf        ； 所以数列   3nf 的前 2020 项和  0 2 1009 2020 2 3 3 3 3S      0 1010 10103 1 3 2 3 11 3      . 故选：A. 【点睛】 本题考查了数学文化及等比数列前 n 项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 11．（2020·全国高三专题练习（文））音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉 创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八 度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中 88 键标准钢琴键盘的一部分中，c 到 c1 便是一个八 度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的 7 个音符，分别是 c，d，e，f，g，a， b，则多出来的 5 个音符为 c#（读做“升 c”），d#，f#，g#，a#；12 音阶为：c，c#，d，d#，e，f，f#，g，g#， a，a#，b，相邻音阶的频率之比为 1：12 2 .如图，则键盘 c 和 d 的频率之比为 2121:( 2) ，即 1： 6 2 ，键盘 e 和 f 的频率之比为 1：12 2 ，键盘 c 和 c1 的频率之比为 1：2，由此可知，图中的键盘 b1 和 f2 的频率之比为 （ ） A． 31: 2 B．1： 2 C． 3 2 ：1 D． 2 ：1 【答案】B 【分析】 根据所给定义，由图推得 f2 是 b1 后的第 6 个音阶即可得到答案 【详解】 根据题意，因为相邻音阶的频率之比为 1： 12 2 ， 而键盘 f2 是 b1 后的第 6 个音阶， 故频率之比为 1： 612( 2)  1： 2 ， 故选：B. 【点睛】 本题考查等比数列的性质，考查理解运算能力，属于基础题. 12．（2021·全国高二课时练习）我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平 均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个 c 键到下一个 1c 键的 8 个白键与 5 个黑键(如图)的音 频恰成一个公比为 12 2 的等比数列的原理，也即高音 1c 的频率正好是中音 c 的 2 倍.已知标准音 1a 的频率为 440Hz，那么频率为 220 2Hz 的音名是（ ） A．d B．f C．e D．#d 【答案】D 【分析】 设频率为 220 2Hz 的音名为等比数列的首项，标准音 1a 为第 n 项，由等比数列的性质可得 7n  ，即可得 解. 【详解】 由题意可得从左到右的音频恰成一个公比为 12 2 的等比数列， 设频率为 220 2Hz 的音名为等比数列的首项，标准音 1a 为第 n 项， 则   1122 2 00 442 2 n  ，解得 7n  ， 从标准音 1a 开始，往左数 7 个的音名是#d. 故答案为：D. 【点睛】 本题考查了等比数列的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 13．（2020·全国（文））《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三 丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸 【答案】D 【分析】 利用等差数列的通项公式以及求和公式列出方程组，求出首项和公差，由此可求得立夏日影长. 【详解】 从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日 影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸， 设十二节气第  Nn n  个节气的日影长为 na ，则数列 na 为等差数列，设其公差为 d ，前 n 项和为 nS ， 则 5 6 7 8 1 7 1 1 4 22 32 7 67 7 21 73.52 a a a a a d S a d a d            ，解得 1 27 2 1 a d      ， 10 1 27 99 92 2a a d      ，因此，立夏日影长为四尺五寸. 故选：D. 【点睛】 本题考查新文化中的等差数列问题，考查等差数列与前 n 项和中基本量的计算，考查计算能力，属于基础题. 14．（2021·上海高一课时练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健 的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的 “弓”，掷铁 饼者的手臂长约 4  米，肩宽约为 8  米，“弓”所在圆的半径约为1.25 米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距 离约为(参考数据: 2 1.414 ， 3 1.732 )（ ） A．1.012米 B． 2.043米 C．1.768米 D． 2.945 米 【答案】C 【分析】 先计算弓所在的扇形的弧长，算出其圆心角后可得双手之间的距离. 【详解】 弓形所在的扇形如图所示，则 AB 的长度为 5 2 8 8     ， 故扇形的圆心角为 5 8 =5 2 4   ，故 5 52 1.414 1.7675 1.7684 4AB       . 故选：C. 15．（2021·江苏扬州市·高一月考）刘徽(约公元 225 年-295 年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典 数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合 体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术 的思想得到 6sin  的近似值为（ ） A． 30  B． 60  C． 90  D． 180  【答案】A 【分析】 首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的面积，列出面积公式， 求sin 6 的近似值. 【详解】 圆的周角为360 ， 360 606  ，所以当等腰三角形的顶角为 6 时，共割了 60 个等腰三角形，设圆的半径为 r ，则由题意可知 2 2160 sin 62 r r   ，解得：sin 6 30  ， 所以sin 6 的近似值是 30  . 故选：A 16．（2021·吉林长春市·高三二模（理））现有如下信息： （1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较 长部分与整体长度之比，其比值为 5 1 2  （2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形． （3）有一个内角为 36o 的等腰三角形为黄金三角形， 由上述信息可求得 126sin  （ ） A． 5 1 2  B． 5 1 2  C． 5 1 4  D． 5 1 4  【答案】D 【分析】 如图作三角形，先求出 5 1cos36 4  ，再求出 126sin  的值. 【详解】 如图，等腰三角形 ABC ， 36ABC   , ,AB BC a AC b   ，取 AC 中点 ,D 连接 BD . 5 1 2 b a  ， 由题意可得 1 5 1 1 5 12sin 2 2 2 2 4 b ABC b a a        ， 所以 2 25 1 5 1cos 1 2sin 1 2( )2 4 4 ABCABC         ， 所以 5 1cos36 4  ， 所以 5 1126 36 4sin cos    . 故选：D 【点睛】 关键点睛：解答本题的关键是构造一个恰当的三角形，再解三角形求解. 17．（2021·广东广州市·高三一模）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于 洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳 数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取 3 个数，则选取的 3 个数之和为奇数的方法数为 （ ） A．30 B．40 C．44 D．70 【答案】B 【分析】 由题意可知，阴数为 2，4，6，8，阳数为 1，3，5，7，9，由条件可知 3 个数都为奇数，或是两偶一奇， 列式即得答案. 【详解】 由题意可知，阴数为 2，4，6，8，阳数为 1，3，5，7，9. 若选则 3 个数的和为奇数，则 3 个数都为奇数，共有 3 5 10C  种方法， 或是两偶一奇，共有 2 1 4 5 30C C  ，共有10 30 40  种方法. 故选：B 18．（2021·全国高三专题练习（理）（文））算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上 发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算” 一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大 意是：把木板刻为 3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始 状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、 ，上面一粒珠（简称上珠）代表 5，下面一粒珠（简称下 珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠， 往上拨 2 粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ） A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 1 6 【答案】A 【分析】 求得算盘所表示的所有数，并找出对应的质数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】 由题意可知，算盘所表示的数可能有： 7 、16 、 25 、 52、 61、 70 ， 其中是质数的有： 7 、 61，故所求事件的概率为 2 1 6 3P   . 故选：A. 【点睛】 本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题. 19．（2019·江西高三（文））《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺， 袤四尺，高一尺。”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽 1 尺，长 2 尺；下底面宽 3 尺，长 4 尺，高 1 尺（如 图）。”（注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），若该 几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为（ ） A． 46 平方尺 B． 41 平方尺 C． 40 平方尺 D． 36 平方尺 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为 x，列方程求出 x＝2，从而 R2 41 4  ，由此 能求出该球体的表面积． 【详解】 由已知得球心在几何体的外部， 设球心到几何体下底面的距离为 x， 则 R2＝x2+（ 5 2 ）2＝（x+1）2+（ 5 2 ）2， 解得 x＝2， ∴R2 41 4  ，∴该球体的表面积 S＝41π． 故选：B． 【点睛】 本题考查该球体的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解 能力，考查数形结合思想，是中档题． 20．（2021·全国高三专题练习（理）（文））斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有， 图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方 体形凹槽（长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成.若棱台两底面面积分别 是 2400cm ， 2900cm ，高为9cm ，长方体形凹槽的高为12cm ，斗的密度是 30.50 /g cm .那么这个斗的质量 是（ ） A．3990g B．3010g C． 6900g D． 6300g 【答案】C 【分析】 根据题意，求出“斗”的体积，再乘以密度可得出“斗”的质量. 【详解】 由题意可知，棱台的体积为    31 400 900 400 900 9 57003V cm      台 ， 设长方体的长为 xcm ，宽为 ycm ，则 900xy  ，则原长方体的高为12cm ， 所以，长方体凹槽的体积为  3112 6 9 81002V xy x y xy cm     ， 所以，“斗”的体积为  35700 8100 13800 cm  ， 因此，“斗”的质量为  13800 0.5 6900 g  . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查组合体体积的计算，同时也跨学科考查了质量、密度与体积之间的关系，考查计算能力，属 于基础题. 21．（2021·全国高三专题练习（理）（文））我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理： “幂势既同，则积不容异“．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的 体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为 3 的圆的三分 之一，则该几何体的体积为（ ） A． 2 2 3 π B． 4 2 3 π C．4 2 D． 8 3  【答案】A 【分析】 由题意可得该几何体的体积与圆锥相同，结合圆锥侧面展开图的特征可求得圆锥的母线与底面半径的长度， 进而可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可得解． 【详解】 由题意可知，该几何体的体积等于圆锥的体积， ∵圆锥的侧面展开图恰为一个半径为 3 的圆的三分之一， ∴圆锥的底面周长为 2 3 23    ， ∴圆锥的底面半径为 1，母线长为 3， ∴圆锥的高为 23 1 2 2  ， ∴圆锥的体积V 圆锥 21 2 21 2 23 3       ． 从而所求几何体的体积为 2 2 3V  ． 故选：A． 【点睛】 本题考查了数学文化与圆锥体积的求法，考查了圆锥侧面展开图的特征，正确理解题意是解题的关键，属 于基础题． 22．（2020·辽宁沈阳市·高二期末）若函数  f x 对 a 、b R ，同时满足：（1）当 0a b  时有     0f a f b  ；（2）当 0a b  时有     0f a f b  ，则称  f x 为  函数．下列函数中： ①   sinx x xf  ；②   x xf x e e  ；③   x xf x e e  ；④   0, 0 1 , 0 x f x xx    .是  函数的为（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】 由题意可得  y f x 满足是 R 上的奇函数，且为增函数，称为  函数，由函数的奇偶性和单调性与导数之 间的关系，分别判断①、②、③、④的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论． 【详解】 由（1）当 0a b  时有     0f a f b  ，即为    f a f a   ，则  y f x 为 R 上的奇函数； 由（2）当 0a b  时有     0f a f b  ，即为 a b  ，      f a f b f b    ， 可得  y f x 为 R 上的增函数， 则函数  y f x 为 R 上的奇函数，且为增函数． 由①   sinx x xf  ，定义域为 R ，        sin sin sinf x x x x x x x f x             ,即  y f x 为奇函数， 又   1 cos 0f x x    ，可得  y f x 为 R 上的增函数，故①是  函数； ②   x xf x e e  ，定义域为 R ，      x x x xf x e e e e f x         ，即  y f x 为奇函数， 又   0x xf x e e  ，可得  y f x 为 R 上的增函数，故②是  函数； ③   x xf x e e  ，定义域为 R ，    x xf x e e f x    ，可得  y f x 为偶函数，故③不是  函数； ④   0, 0 1 , 0 x f x xx    ，定义域为 R ， 0x  时，    1 1f x f xx x       ，可得  y f x 为奇函数， 又  y f x 在  ,0 ， 0,  上单调递增，但在 R 上不为增函数，比如    1 1f f  ，故④不是  函 数． 故选：A． 【点睛】 本题考查函数的新定义，主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，考查推理能力，属于中等题. 二、多选题 23．（2020·平潭县新世纪学校高一期中）（多选题）给定数集 M，若对于任意 ,a b M ，有 a b M+ Î ，且 a b M  ，则称集合 M 为闭集合，则下列说法中不正确的（ ） A．集合 { 4, 2,0,2,4}M    为闭集合 B．集合 { | 3 , }M n n k k Z   为闭集合 C．正整数集 *N 是闭集合 D．若集合 1 2,A A 为闭集合，则 1 2A A 为闭集合 【答案】ACD 【分析】 根据新定义依次判断即可 【详解】 解：根据对于任意 a ，b M ，有 a b M+ Î ，且 a b M  ， 对于 A ．当集合 { 4M   ， 2 ，0，2， 4}时，而 2 4 M  ，所以集合 M 不为闭集合． 对于 B ．当 { | 3M n n k  ， }k Z 时，设 13a k ， 23b k ， 1k ， 2k Z ，则 1 2 1 23 3 3( )a b k k k k M      ， 1 2 1 23 3 3( )a b k k k k M      ，所以集合 M 闭集合． 对于 C ．设 a ，b 是任意的两个正整数，当 a b 时， 0a b  不是正整数，所以正整数集不为闭集合． 对于 D ．设 1 { | 3A n n k  ， }k Z ， 2 { | 2A n n k  ， }k Z 是闭集合，且 13 A ， 22 A ，而 1 22 3 A A   ， 此时 1 2A A 不为闭集合． 所以，说法中不正确的是 ACD ； 故选：ACD． 【点睛】 本题考查了新定义的集合与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题 是否成立，属于中档题. 24．（2021·广东广州市·高三一模）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插 入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列 1,2 进行构造， 第 1 次得到数列 1,3,2；第 2 次得到数列 1,4,3,5,2；…；第  *n nN 次得到数列 1， 1 2 3, , , , kx x x x ， 2；…记 1 21 2n ka x x x      ，数列 na 的前 n 项为 nS ，则（ ） A． 1 2nk   B． 1 3 3n na a   C．  23 32na n n  D．  13 3 2 34 n nS n   【答案】ABD 【分析】 根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】 由题意可知，第 1 次得到数列 1,3,2，此时 1k  第 2 次得到数列 1,4,3,5,2，此时 3k  第 3 次得到数列 1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k  第 4 次得到数列 1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时 15k  第 n 次得到数列 1， 1 2 3, , , , kx x x x ，2 此时 2 1nk   所以 1 2nk   ，故 A 项正确； 结合 A 项中列出的数列可得： 1 2 3 4 3 3 3 3 9 3 3 9 27 3 3 9 27 81 a a a a                 1 23 3 3 3 ( *)n na n N       用等比数列求和可得  3 3 1 3 2 n na    则  1 2 1 3 3 1 3 33 32 2 n n na         23 3 2 2 n   又  3 3 1 3 3 3 3 3 92 n na            2 23 9 3 332 2 2 2 n n       所以 1 3 3n na a   ，故 B 项正确； 由 B 项分析可知    3 3 1 33 3 12 2 n n na      即  23 32na n n  ，故 C 项错误. 1 2 3n nS a a a a     2 3 13 3 3 3 2 2 2 2 n n           23 1 3 31 3 2 2 n n    23 3 9 4 2 4 n n     13 3 2 34 n n   ，故 D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】 本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚 指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们 应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想. 25．（2020·深圳市第二高级中学高二月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样 一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数 组成的数列 na 称为“斐波那契数列”，记 nS 为数列 na 的前 n 项和，则下列结论正确的是（ ） A． 6 8a  B． 9 54S  C． 1 3 5 2019 2020a a a a a     D． 2 2 2 1 2 2019 2020 2019 a a a aa     【答案】ACD 【分析】 由题意可得数列 na 满足递推关系 1 2 2 11, 1, ( 3)n n na a a a a n      ，依次判断四个选项，即可得正确 答案. 【详解】 对于 A，写出数列的前 6 项为1,1,2,3,5,8 ，故 A 正确； 对于 B， 9 1 1 2 3 5 8 13+21+34 88S         ，故 B 错误； 对于 C，由 1 2a a ， 3 4 2a a a  ， 5 6 4a a a  ，……， 2019 2020 2018a a a  ，可得： 1 3 5 2019 2 4 2 6 4 8 6 2020 2018 2020a a a a a a a a a a a a a a             L ，故 C 正确. 对于 D，斐波那契数列总有 2 1n n na a a   ，则 2 1 2 1a a a ，  2 2 2 3 1 2 3 2 1a a a a a a a a    ，  2 3 3 4 2 3 4 2 3a a a a a a a a    ，……，  2 2018 2018 2019 2017 2018 2019 2017 2018a a a a a a a a    ， 2 2019 2019 2020 2019 2018a a a a a  ，可得 2 2 2 1 2 2019 2020 2019 2019 2020 2019 a a a aa a a a    L ，故 D 正确； 故选：ACD. 【点睛】 本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推 理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 26．（2020·全国高二课时练习）瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于 同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点 B(－1， 3)，点 C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆 M： 2 2 2( 3)x y r   相切，则下列结论正确的是（ ） A．圆 M 上点到直线 3 0x y   的最小距离为 2 2 B．圆 M 上点到直线 3 0x y   的最大距离为 3 2 C．若点（x，y）在圆 M 上，则 3x y 的最小值是3 2 2 D．圆 2 2( 1) ( ) 8x a y a     与圆 M 有公共点，则 a 的取值范围是[1 2 2,1 2 2]  【答案】ACD 【分析】 由题意结合“欧拉线”概念可得△ABC 的“欧拉线”即为线段 BC 的垂直平分线，结合直线方程的知识可得线段 BC 的垂直平分线的方程，由直线与圆相切可得圆 M 的方程；由圆心到直线的距离可判断 A、B；令 3z x y  ，由直线与圆相切可得 z 的最值，即可判断 C；由圆与圆的位置关系即可判断 D；即可得解. 【详解】 由 AB＝AC 可得△ABC 外心、重心、垂心均在线段 BC 的垂直平分线上，即△ABC 的“欧拉线”即为线段 BC 的垂直平分线， 由点 B(－1,3)，点 C(4,－2)可得线段 BC 的中点为 3 1,2 2      ，且直线的 BC 的斜率 3 2 11 4BCk     ， 所以线段 BC 的垂直平分线的斜率 1k  ， 所以线段 BC 的垂直平分线的方程为 1 3 2 2y x   即 1 0x y   ， 又圆 M： 2 2 2( 3)x y r   的圆心为 3,0 ，半径为 r ， 所以点 3,0 到直线 1 0x y   的距离为 3 1 2 2 r    ， 所以圆 M： 2 2( 3) 2x y   ， 对于 A、B，圆 M 的圆心 3,0 到直线 3 0x y   的距离 3 3 3 2 2 d   ，所以圆上的点到直线 3 0x y   的最小距离为 3 2 2 2 2  ，最大距离为3 2 2 4 2  ，故 A 正确，B 错误； 对于 C，令 3z x y  即 3 0x y z   ，当直线 3 0x y z   与圆 M 相切时，圆心 3,0 到直线的距 离为 3 22 z  ，解得 3 2 2z   或 3 2 2z   ，则 3x y 的最小值是3 2 2 ，故 C 正确； 对于 D，圆 2 2( 1) ( ) 8x a y a     圆心为 1,a a ，半径为 2 2 ，若该圆与圆 M 有公共点，则  2 22 2 2 1 3 2 2 2a a       即  2 22 2 18a a    ，解得1 2 2 1 2 2a    ，故 D 正确. 故选：ACD. 【点睛】 本题考查了直线方程的求解及直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想， 属于中档题. 27．（2020·江苏省高三其他模拟）定义空间两个向量的一种运算 sin ,a b a b a b       ，则关于 空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A．    a b a b      B． a b b a     C．     a b c a c b c           D．若  1 1,a x y ，  2 2,b x y ，则 1 2 2a b x y x y   【答案】BD 【分析】 对于 A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于 C,当 λa b=  时,    1 sin ,a b c b c b c          ,      sin , sin , 1 sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c                         ,显然不会恒成立. 对于 D, 根据数量积求出 cos ,a b   ,再由平方关系求出sin ,a b  的值,代入定义进行化简验证即可. 【详解】 解：对于 A：    sin ,a b a b a b        ，  sin ,a b a b a b         ， 故    a b a b      不会恒成立； 对于 B， sin ,a b a b a b       ， = sin ,b a b a b a      ，故 a b b a     恒成立； 对于 C，若 λa b=  ，且 0  ，   1 sin ,a b c b c b c          ，      sin , sin , 1 sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c                         ， 显然      a b c a c b c           不会恒成立； 对于 D， 1 2 1 2cos , x x y ya b a b      ， 2 1 2 1 2sin , 1 x x y ya b a b          ， 即有 2 2 21 2 1 2 1 2 1 21 x x y y x x y ya b a b a b aa b                           2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 x x y yx y x y x y              22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 22x y x y x x y y x y x y x x y y        1 2 2 1x y x y  . 则 1 2 2 1a b x y x y   恒成立. 故选：BD. 【点睛】 本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题. 28．（2020·福建三明市·高一其他模拟）设  f x 是定义在 R 上的函数，若存在两个不相等的实数 1 2,x x ，使 得    1 21 2 2 2 f x f xx xf      ，则称函数  f x 具有性质 P ，那么下列函数中，具有性质 P 的函数有 （ ） A．   1 , 0 0, 0 xf a x x      B．   2 1f x x  C．   2logf x x D．   2xf x e  【答案】ABC 【分析】 取特殊值判断 AB；数形结合判断 C；利用奇偶性判断 D. 【详解】 对于函数   1 , 0 0, 0 xf x x x      ，取 1 1x   ， 2 1x  ，则  1 2 0 02 x xf f      ，        1 2 1 1 1 1 02 2 2 f x f x f f       ，    1 21 2 2 2 f x f xx xf      ，A 中的函数具有性质 P ； 对于函数   2 1f x x  ，取 1 2x   ， 2 2x  ，则  1 2 0 12 x xf f      ，        1 2 2 2 1 1 12 2 2 f ff x f x      ，    1 21 2 2 2 f x f xx xf      ，B 中的函数具有性质 P ； 画出   2logf x x 的图象，以及一条辅助直线，平移辅助直线，当中间交点是两边交点的中点时，设两 边交点横坐标是 1 2,x x ，此时    1 21 2 2 2 f x f xx xf      ，C 中的函数具有性质 P ； | |( ) 2xf x e  ，函数是偶函数，关于 y 轴对称， 0x  时是增函数， 0x  是单调减函数，没有满足题意的 3 点，所以 D 不正确． 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全 新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息 的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按 新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 29．（2020·全国高一课时练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号， 他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 xR ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则  y x 称为高斯函数，例如： 3.5 4   ， 2.1 2 .已知函数 2 1( ) 1 2 2 x xf x   ，则 关于函数  ( ) ( )g x f x 的叙述中正确的是（ ） A． ( )g x 是偶函数 B． ( )f x 是奇函数 C． ( )f x 在 R 上是增函数 D． ( )g x 的值域是 1,0,1 【答案】BC 【分析】 由    11g g  判断 A；由奇函数的定义证明 B；把  f x 的解析式变形，由 2xy  的单调性结合复合函 数的单调性判断 C 正确；求出  f x 的范围，进一步求得  g x 的值域判断 D． 【详解】      2 11 1 01 2 2g f           ，     1 1 2 11 1 11 2 2g f                 ，    1 1g g   ，则  g x 不是偶函数，故 A 错误；   2 1 1 2 2 x xf x   的定义域为 R ，       2 2 2 2 2 1 21 1 1 01 2 1 2 1 2 1 22 1 2 x x x x x x x x x xx xf x f x                    ，  f x 为奇函数，故 B 正确；   2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 x x x x xf x          ， 又 2xy  在 R 上单调递增，   1 1 2 1 2xf x    在 R 上是增函数，故 C 正确； 2 0x  ， 1 2 1x   ，则 10 11 2x  ，可得 1 1 1 1 2 2 1 2 2x    ， 即  1 1 2 2f x   ．      1,0g x f x      ，故 D 错误． 故选：BC． 【点睛】 关键点点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函 数    g x f x    ，然后才会对函数  f x 变形，并作出判断. 30．（2020·全国高一课时练习）对任意两个实数 a ， b ，定义   ,, , a a bmin a b b a b    „ ，若 2( ) 2f x x  ， 2( ) 2g x x  ，下列关于函数 ( ) { ( )F x min f x ， ( )}g x 的说法正确的是（ ） A．函数 ( )F x 是偶函数 B．方程 ( ) 0F x  有两个解 C．函数 ( )F x 有 4 个单调区间 D．函数 ( )F x 有最大值为 0，无最小值 【答案】ABCD 【分析】 根据定义表示出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项． 【详解】 由题意可得， 2 2 2 , ( , 2) ( 2, )( ) 2, [ 2, 2] x xF x x x            ，作出函数图象可得， 所以该函数为偶函数，有两个零点 2 ， 2 ，四个单调区间，当 2x   时，函数 ( )F x 取得最大值为 0， 无最小值． 故选： ABCD ． 【点睛】 本题考查以函数新定义为背景，判断函数的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.