【课标解读】
1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系的证明会有所下降趋；
势，不会有太复杂的大题出现.
2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放、
探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用
于生活.
【解题策略】
1.在弄清题意的基础上把复杂图形分解为几个基本图形进行思考,并适当添加辅助线补全或构造基本
图形，在直径或有切线的条件下，构造直角三角形或利用圆内角的关系构造相似三角形，从而使已知和未
知之间建立联系.
2. 掌握常规的与圆有关的问题的证明方法与技巧(如证角相等、证线段相等、证线段垂直等)，掌握
与圆有关的图形(如圆外切三角形、圆内接三角形、圆内接四边形、圆内接正 n 边形等)的特殊性质与计算
公式，对于求阴影部分的面积有以下几种解决方法:
方法- - :加减法，将阴影部分变成几个规则图形的和或差;
方法二:割补法，将阴影部分分割成几部分，然后将它们补在某些合适的地方;方法三:覆盖法，几个规
则图形覆盖在一起，重叠部分就是阴影部分。
3.注意数学思想方法的运用，如转化思想，通过与圆有关的直角三角形的勾股定理把证明问题转化为
方程计算问题等，熟悉并掌握这类问题的常用解题方法和解题策略。
【考点深剖】
★考点一 圆与特殊三角形的综合
【典例 1】（2018•广西）如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封
闭图形是莱洛三角形，若 AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C．2 D．2
【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边
三角形的面积，分别求出即可．
【解答】解：过 A 作 AD⊥BC 于 D，
∵△ABC 是等边三角形，
★考点二 圆与特殊四边形的综合
【典例 2】（2018·江苏镇江·8 分）如图 1，平行四边形 ABCD 中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点 P 在边 AD 上
运动，以 P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与对角线 AC 交于 A，E 两点．
（1）如图 2，当⊙P 与边 CD 相切于点 F 时，求 AP 的长；
（2）不难发现，当⊙P 与边 CD 相切时，⊙P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共点，随着 AP 的变化，⊙P
与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为 4，直接写出相对应的 AP 的值的取值
范围 ．
【解答】解：（1）如图 2 所示，连接 PF，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC= =8，
设 AP=x，则 DP=10﹣x，PF=x，
∵⊙P 与边 CD 相切于点 F，∴PF⊥CD，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，
∴ ，∴ ，∴x= ，AP= ；
故答案为： ＜AP＜ 或 AP=5．学科&网
★考点三 圆与相似三角形的综合
【典例 3】（2018·辽宁大连·10 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BAD=90°，点 E 在 BC 的延长线上，
且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若 AC∥DE，当 AB=8，CE=2 时，求 AC 的长．
解：（1）如图，连接 BD．∵∠BAD=90°，∴点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠
CDE=90°．
∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．
∵点 D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；
★考点四 圆与锐角三角函数的综合
【典例 4】（2018•莱芜•10 分）如图，已知 A.B 是⊙O 上两点，△OAB 外角的平分线交⊙O 于另一点 C，CD⊥
AB 交 AB 的延长线于 D．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）E 为 的中点，F 为⊙O 上一点，EF 交 AB 于 G，若 tan∠AFE= ，BE=BG，EG=3 ，求⊙O 的半径．
【分析】（1）连接 OC，如图，先证明∠OCB=∠CBD 得到 OC∥AD，再利用 CD⊥AB 得到 OC⊥CD，然后根据切
线的判定定理得到结论；
（2）解：连接 OE 交 AB 于 H，如图，利用垂径定理得到 OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE=∠AFE，在
Rt△BEH 中利用正切可设 EH=3x，BH=4x，则 BE=5x，所以 BG=BE=5x，GH=x，接着在 Rt△EHG 中利用勾股定
理得到 x2+（3x）2=（3 ）2，解方程得 x=3，接下来设⊙O 的半径为 r，然后在 Rt△OHB 中利用勾股定理
得到方程（r﹣9）2+122=r2，最后解关于 r 的方程即可．
【解答】（1）证明：连接 OC，如图，
∵BC 平分∠OBD，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠CBD，
∴OC∥AD，
而 CD⊥AB，
∴OC⊥CD，
∴CD 是⊙O 的切线；
在 Rt△EHG 中，x2+（3x）2=（3 ）2，解得 x=3，
∴EH=9，BH=12，
设⊙O 的半径为 r，则 OH=r﹣9，
在 Rt△OHB 中，（r﹣9）2+122=r2，解得 r= ，
即⊙O 的半径为 ．
★考点五 圆与函数的综合
【典例 5】（2018•大庆）已知直线 y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移 m（m＞0）个单位，
若平移后得到的直线与半径为 6 的⊙O 相交（点 O 为坐标原点），则 m 的取值范围为 ．
【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直
角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
在 Rt△OAB 中，
AB= ，
过点 O 作 OD⊥AB 于 D，
∵S△ABO= OD•AB= OA•OB，
∴ OD• = × ，
∵m＞0，解得 OD= ，
由直线与圆的位置关系可知 ＜6，解得 m＜ ．
故答案为：m＜ ．
★考点六 有关圆计算的综合
【典例 6】（2018·云南省·9 分）如图，已知 AB 是⊙O 上的点，C 是⊙O 上的点，点 D 在 AB 的延长线上，
∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）连接 OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC 是半径，
∴CD 是⊙O 的切线
（2）设⊙O 的半径为 r，
∴AB=2r，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，
∴由勾股定理可知：AC=2
易求 S△AOC= ×2 ×1=
S 扇形 OAC= =
∴阴影部分面积为 ﹣ 。学科&网
【讲透练活】
变式 1：(2018•陵城区二模）一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么 B
点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A． B． C．4 D．2+
变式 2：．（2018•台湾）如图，坐标平面上，A、B 两点分别为圆 P 与 x 轴、y 轴的交点，有一直线 L 通过
P 点且与 AB 垂直，C 点为 L 与 y 轴的交点．若 A、B、C 的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），
其中 a＜0，则 a 的值为何？（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7
【分析】连接 AC，根据线段垂直平分线的性质得到 AC=BC，根据勾股定理求出 OA，得到答案．
变式 3：（2018•乐山•10 分）如图，P 是⊙O 外的一点，PA.PB 是⊙O 的两条切线，A.B 是切点，PO 交 AB 于
点 F，延长 BO 交⊙O 于点 C，交 PA 的延长交于点 Q，连结 AC．
（1）求证：AC∥PO；
（2）设 D 为 PB 的中点，QD 交 AB 于点 E，若⊙O 的半径为 3，CQ=2，求 的值．
变式 4：（2018·湖北咸宁·10 分）如图，以△ABC 的边 AC 为直径的⊙O 恰为△ABC 的外接圆，∠ABC 的平
分线交⊙O 于点 D，过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若 AB=25，BC= ，求 DE 的长．
【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出 DE 是⊙O 的切线；
（2）首先过点 C 作 CG⊥DE，垂足为 G，则四边形 ODGC 为正方形，得出 tan∠CEG=tan∠ACB， ，即
可求出答案．
（2）在 Rt△ABC 中，AB=2 ，BC= ，
∴AC= =5，
∴OD=，
过点 C 作 CG⊥DE，垂足为 G，
则四边形 ODGC 为正方形，
∴DG=CG=OD=，
∵DE∥AC，
∴∠CEG=∠ACB，
∴tan∠CEG=tan∠ACB，
∴ ，即 ，
解得：GE=，
∴DE=DG+GE= ．学科&网
变式 5：（2018•广安•9 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，P 是 BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点 C，CG 是⊙
O 的弦，CG⊥AB，垂足为 D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC．
（2）过点 A 作 AE∥PC 交⊙O 于点 E，交 CD 于点 F，连接 BE，若 cos∠P= ，CF=10，求 BE 的长
方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角
函数求得：CH=8，并设 AO=5x，AH=4x，表示 OH=3x，OC=3x﹣8，由 OC=OA 列式可得 x 的值，最后同理得结
论．
【解答】证明：（1）连接 OC，交 AE 于 H，
∵PC 是⊙O 的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，（1 分）
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，（2 分）
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCA=∠OCB，（3 分）
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC；（4 分）
（2）方法一：∵AE∥PC，
∴∠CAF=∠PCA，
∵AB⊥CG，
∴ ，
∴∠ACF=∠ABC，（5 分）
∵∠ABC=∠PCA，
∴∠CAF=∠ACF，
∴AF=CF=10，（6 分）
∵AE∥PC，
∴∠P=∠FAD，
∴cos∠P=cos∠FAD= ，
在 Rt△AEB 中，cos∠EAB= ，AB=40，
∴AE=32，
∴BE= =24．（9 分）
方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，
∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5 分），
∴∠EAO+∠COA=90°，
∵AB⊥CG，
∴∠OCD+∠COA=90°，
∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6 分）
在 Rt△CFH 中，cos∠HCF= ，CF=10，
∴CH=8，（7 分）
变式 6：（2018·云南省曲靖）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，将弧 BC 沿直线 BC 翻折，使弧
BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合，连接 OC，CD，BD，过点 C 的切线与线段 BA 的延长线交于点 P，连接 AD，
在 PB 的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断 PM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 PC= ，求四边形 OCDB 的面积．
【解答】解：（1）PM 与⊙O 相切．
理由如下：
连接 DO 并延长交 PM 于 E，如图，
∵弧 BC 沿直线 BC 翻折，使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合，
∴OC=DC，BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形 OBDC 为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD 和△OBD 都是等边三角形，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠COP=∠EOP=60°，
∵∠MPB=∠ADC，
而 OE⊥PC，
∴PM 是⊙O 的切线；
（2）在 Rt△OPC 中，OC= PC= × =1，
∴四边形 OCDB 的面积=2S△OCD=2× ×12= ．
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