专题10 圆的运用问题（精练）-中考数学高频考点突破（解析版）

一、选择题（10×3=30 分） 1. （2017 山东滨州）若正方形的外接圆半径为 2，则其内切圆半径为（ ） A． B．2 C． D．1 【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可． 2. （2018•深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为 60°角与直尺交点，AB=3，则 光盘的直径是（ ） A．3 B． C．6 D． 【分析】设三角板与圆的切点为 C，连接 OA、OB，由切线长定理得出 AB=AC=3、∠OAB=60°，根据 OB=ABtan ∠OAB 可得答案． 【解答】解：设三角板与圆的切点为 C，连接 OA、OB， 由切线长定理知 AB=AC=3，OA 平分∠BAC， ∴∠OAB=60°， 在 Rt △ ABO 中，OB=ABtan∠OAB=3 ， ∴光盘的直径为 6 ， 故选：D． 3. （2017 广东）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC 的大小为（ ） A．130° B．100° C．65° D．50° 4. （2018•成都）如图，在▱ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为 3，则图中阴影部分的面积是（ ） A．π B．2π C．3π D．6π 5. （2018•重庆）如图， △ ABC 中，∠A=30°，点 O 是边 AB 上一点，以点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆， ⊙O 恰好与 AC 相切于点 D，连接 BD．若 BD 平分∠ABC，AD=2 ，则线段 CD 的长是（ ） A．2 B． C． D． 【分析】连接 OD，得 Rt △ OAD，由∠A=30°，AD=2 ，可求出 OD、AO 的长；由 BD 平分∠ABC，OB=OD 可得 OD 与 BC 间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论． 【解答】解：连接 OD ∵OD 是⊙O 的半径，AC 是⊙O 的切线，点 D 是切点， ∴OD⊥AC 在 Rt △ AOD 中，∵∠A=30°，AD=2 ， ∴OD=OB=2，AO=4， ∴∠ODB=∠OBD，又∵BD 平分∠ABC， ∴∠OBD=∠CBD ∴∠ODB=∠CBD ∴OD∥CB， ∴ 即 ∴CD= ． 故选：B．学科&网 6. （2018•山西）如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为 2，以点 A 为圆心，以 AC 长为半径画弧 交 AB 的延长线于点 E，交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积为（ ） A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8 7. （2018•沈阳）如图，正方形 ABCD 内接于 O，AB=2 ，则 的长是（ ） A．π B． π C．2π D． π 【分析】连接 OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出 AO，根据弧长公式求出即可． 【解答】解：连接 OA、OB， 8. 2018•广安）如图，已知⊙O 的半径是 2，点 A、B、C 在⊙O 上，若四边形 OABC 为菱形，则图中阴影部 分面积为（ ） A． π﹣2 B． π﹣ C． π﹣2 D． π﹣ 【分析】连接 OB 和 AC 交于点 D，根据菱形及直角三角形的性质先求出 AC 的长及∠AOC 的度数，然后 求出菱形 ABCO 及扇形 AOC 的面积，则由 S 菱形 ABCO﹣S 扇形 AOC 可得答案． 【解答】解：连接 OB 和 AC 交于点 D，如图所示： ∵圆的半径为 2， ∴OB=OA=OC=2， 又四边形 OABC 是菱形， ∴OB⊥AC，OD= OB=1， 9. （2018•泸州）在平面直角坐标系内，以原点 O 为圆心，1 为半径作圆，点 P 在直线 y= 上运动， 过点 P 作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D． 【分析】如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OH⊥CD 于 H，先利用一次解析式 得到 D（0，2 ），C（﹣2，0），再利用勾股定理可计算出 CD=4，则利用面积法可计算出 OH= ，连 接 OA，如图，利用切线的性质得 OA⊥PA，则 PA= ，然后利用垂线段最短求 PA 的最小值． 【解答】解：如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OH⊥CD 于 H， 当 x=0 时，y= x+2 =2 ，则 D（0，2 ）， 当 y=0 时， x+2 =0，解得 x=﹣2，则 C（﹣2，0）， ∴CD= =4， ∵ OH•CD= OC•OD， ∴OH= = ， 连接 OA，如图， ∵PA 为⊙O 的切线， ∴OA⊥PA， ∴PA= = ， 当 OP 的值最小时，PA 的值最小， 而 OP 的最小值为 OH 的长， ∴PA 的最小值为 = ． 故选：D． 10. （2018•无锡）如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A、D、G 三点的圆 O 与边 AB、CD 分别交 于点 E、点 F，给出下列说法：（1）AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心；（2）AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆 心；（3）BC 与圆 O 相切，其中正确说法的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：连接 DG、AG，作 GH⊥AD 于 H，连接 OD，如图， ∵G 是 BC 的中点， ∴AG=DG， ∴GH 垂直平分 AD， ∴点 O 在 HG 上， ∵AD∥BC， ∴HG⊥BC， ∴BC 与圆 O 相切； ∵OG=OG， ∴点 O 不是 HG 的中点， ∴圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点； 而四边形 AEFD 为⊙O 的内接矩形， ∴AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心； ∴（1）错误，（2）（3）正确． 故选：C．学科&网 二、填空题（6×4=24 分）. 11. （2018•重庆）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心，以 AB 为半径画弧，交对角线 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π） 12. （2017 湖南株洲） 如图，已知 AM 为⊙O 的直径，直线 BC 经过点 M，且 AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段 AB 和 AC 分别交 ⊙O 于点 D、E，∠BMD=40°，则∠EOM= ． 【分析】连接 EM，根据等腰三角形的性质得到 AM⊥BC，进而求出∠AMD=70°，于是得到结论． 13. （2018•安徽）如图，菱形 ABOC 的边 AB，AC 分别与⊙O 相切于点 D，E．若点 D 是 AB 的中点，则 ∠DOE= °． 【分析】连接 OA，根据菱形的性质得到 △ AOB 是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即 可． 【解答】解：连接 OA， ∵四边形 ABOC 是菱形， ∴BA=BO， ∵AB 与⊙O 相切于点 D， ∴OD⊥AB， ∵点 D 是 AB 的中点， ∴直线 OD 是线段 AB 的垂直平分线， ∴OA=OB， ∴△AOB 是等边三角形， ∵AB 与⊙O 相切于点 D， ∴OD⊥AB， ∴∠AOD= ∠AOB=30°， 同理，∠AOE=30°， ∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°， 故答案为：60． 14. （2018•荆门）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 E，则阴影部分的面积为 ． 【解答】解：连接 OE、AE， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°， ∴AE= AB=2，BE= =2 ， ∵OA=OB=OE， ∴∠B=∠OEB=30°， ∴∠BOE=120°， ∴S 阴影=S 扇形 OBE﹣S △ BOE， = ﹣ × ， = ﹣ ， = ﹣ ， 故答案为： ﹣ ．学科&网 15. （2018•宁波）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，以 点 P 为圆心，PM 长为半径作⊙P．当⊙P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 ． 【解答】解：如图 1 中，当⊙P 与直线 CD 相切时，设 PC=PM=m． 在 Rt △ PBM 中，∵PM2=BM2+PB2， ∴x2=42+（8﹣x）2， ∴x=5， ∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3． 如图 2 中当⊙P 与直线 AD 相切时．设切点为 K，连接 PK，则 PK⊥AD，四边形 PKDC 是矩形． 16. （2018•泰州）如图， △ ABC 中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将 △ ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到 △ A'B'C，P 为线段 A′B'上的动点，以点 P 为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P 与 △ ABC 的边相切时，⊙P 的 半径为 ． 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如图 2 中，当⊙P 与 AB 相切 于点 T 时， 【解答】解：如图 1 中，当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ． ∵△A′BT∽△ABC， ∴ = ， ∴ = ， ∴A′T= ， ∴r= A′T= ． 综上所述，⊙P 的半径为 或 ． 三、解答题（共 46 分）. 17. （2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，AB 是⊙O 的直径， = ，E 是 OB 的中点，连接 CE 并延长到点 F，使 EF=CE．连接 AF 交⊙O 于点 D，连接 BD，BF． （1）求证：直线 BF 是⊙O 的切线； （2）若 OB=2，求 BD 的长． 18. （2018·辽宁省抚顺市）（12.00 分）如图，Rt △ ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径作⊙O，点 D 为⊙O 上一点，且 CD=CB.连接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E． （1）判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 BE=4，DE=8，求 AC 的长． 【分析】（1）欲证明 CD 是切线，只要证明 OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明； （2）设⊙O 的半径为 r．在 Rt △ OBE 中，根据 OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出 r=3，由 tan∠E= = ， 推出 = ，可得 CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题； 【解答】（1）证明：连接 OC． ∵CB=CD，CO=CO，OB=OD， ∴△OCB≌△OCD， ∴∠ODC=∠OBC=90°， ∴OD⊥DC， ∴DC 是⊙O 的切线． 在 Rt △ ABC 中，AC= = =6 ．学科&网 19. （2018•呼和浩特•10 分）如图，已知 BC⊥AC，圆心 O 在 AC 上，点 M 与点 C 分别是 AC 与⊙O 的交 点，点 D 是 MB 与⊙O 的交点，点 P 是 AD 延长线与 BC 的交点，且 = ． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若 AD=12，AM=MC，求 的值． （2）连接 CD．由（1）可知：PC=PD， ∵AM=MC， ∴AM=2MO=2R， 在 Rt △ AOD 中，OD2+AD2=OA2， ∴R2+122=9R2， ∴R=3 ， ∴OD=3 ，MC=6 ， ∵ = = ， ∴DP=6， ∵O 是 MC 的中点， ∴ = = ， 20. （2018·辽宁省盘锦市）如图，在 Rt △ ABC 中，∠C=90°，点 D 在线段 AB 上，以 AD 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 E，与 AC 相交于点 F，∠B=∠BAE=30°． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若 AC=3，求⊙O 的半径 r； （3）在（1）的条件下，判断以 A.O、E.F 为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由． 【解答】解：（1）如图 1，连接 OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA． ∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°， ∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°． 在 △ BOE 中，∠B=30°， ∴∠OEB=180°﹣∠B﹣∠BOE=90°， ∴OE⊥BC． ∵点 E 在⊙O 上，∴BC 是⊙O 的切线； （3）以 A.O、E.F 为顶点的四边形是菱形， 理由：如图 3．在 Rt △ ABC 中，∠B=30°， ∴∠BAC=60°，连接 OF， ∴OA=OF，∴△AOF 是等边三角形， ∴OA=AF，∠AOF=60°，连接 EF，OE， ∴OE=OF． ∵∠OEB=90°，∠B=30°， ∴∠AOE=90°+30°=120°， ∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°． ∵OE=OF，∴△OEF 是等边三角形， ∴OE=EF． ∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE， ∴四边形 OAFE 是菱形．