华东师大版七年级数学下册第6章一元一次方程

第 6 章 一元一次方程 6.1 从实际问题到方程 第六章 一元一次方程 根据实际问题列方程 从实际问题到方程 方程的 概念 列方程解应 用题的意义 方程的解 含有未知数的等式叫做方程 方程的解的概念 检验一个数值是 否为方程的 解 列方程的方法 列方程的步骤 列方程解应用题的优点 等式的基本性质 解一元一次方程 一元一次方程 的概念 解一元一次 方程的步骤 等式的基本性质 1 ， 2 方程的变形规则 解 一元一次方程 实践与 探索 列方程解应用题的常见类型 列方程解应用题的步骤 审 设列 解 验 答 等积变形问题 和差倍分问题 工程问题 行程问题 应注意的问题 一、单元导入，明确目标（ 3 分钟） 学习目标： 1、理解方程、方程的解的概念，掌握检验方程的解的方法， 2、认识方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 【学习重点】： 理 解方程，方程解的概念，掌握检验方程的解的方法。 【学习难点】：认识方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 探究点一：方程的有关概念 问题 1 ：某校七年级 328 名师生乘车外出春游，已有 2 辆校车共可乘坐 64 人，还需租用 44 座的客车多少辆？ 具体任务：找出上述问题方程的解的概念及如何用尝试检验法求解。 二、任务驱动，分步探究 1. 在小学里，我们学过方程，你还能记得什么样的式子是方程吗？ 叫方程 . 2 、 ，就是方程的解 . 要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入 ，看能否使左右两边的值相等 . 如果左右两边的值相等，那么这个数就是 . 归纳： 1、含有未知数的等式叫做方程。 2、使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 3、要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入方程的左右两边，看能否使左右两边的值相等.如果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解. 1.下列各式中，是方程的是( ) A.x-2=1 B.2x+5 C.x+y＞0 D.3y 2 .下列四个数中，是方程x+2=0的解为( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 3 检验方程的解。 （1）6(x+3) =30 (x=5,x=2) （2）3y-1=2y+1 (y=4,y=2) 探究二：从实际问题到方程（只列方程不求解) 具体任务：通过探索问题1中的等量关系和变化规律掌握用方程进行描述的方法。 根据问题 1 ，你能总结出列方程解决应用题的步骤吗？ 1、设 ；找出 关系； 2、根据 列方程. 4.一根细铁丝用去后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为________. 5.甲、乙两车间共生产电视机120台，甲车间生产的台数是乙车间的3倍少16，求甲、乙两车间各生产电视机多少台(列出方程，不解方程.)？ 三、巩固练 习 1.语句“x的3倍比y的1/2大7”用方程表示为：________. 2、一个水缸原来有水8升，水缸总共可以装水35升，小明每次往缸里加水9升，需要加水多少次才能加满(列出方程，不解方程.)？ 3、树的年轮为13圈,大树的年轮为45圈, 几年后,大树的年轮是小树的3倍?(列出方程，不解方程.) 课堂小结，回扣目标 (1 分钟） 通过本节课的学习，你学到了什么？ 达标测试 一、判断题 1、 x=2 是方程 x-10=-4 的解-----------------（ ） 2、 x=1 与 x=-1 都是方程 x 2 -1=0 的解-------（ ） 3、方程12( x-3)-1=2x+3 的解是 x=-4------ （ ） 二、选择题 1、方程2( x+3)=x+10 的解是 ( ) A x=3 B x=-3 C x=4 D x=-4 2、已知 x=2 是方程2( x-3)+1=x+m 的解，则 m=（ ） A 3 B 2 C -3 D -2 6.2 解一元一次方程 6.2.1 等式的性质与 方程的简单变形 引入 测量一些物体的质量时，我们将它放在天平 的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于 平衡状态时，显然两边的质量相等 . 如果我 们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时 天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同 质量的砝码，天平仍然平衡 . 天平与等式 把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平保持两边平衡 . 等式左边 等式右边 等号 天平两边同时加入相同质量的砝码， 天平仍然平衡 . 天平两边同时拿去相同质量的砝码， 天平仍然平衡 . 天平的特性 由天平性质看等式性质 天平 两边同时 天平仍然平衡 . 添上 取下 相同质量的砝码 ， 两边同时 相同 的 仍然 等式 加上 减去 数值 代数式， 等式 成立 . 归纳总结 等式的两边都加上 ( 或都减去 ) 同一个数或同一个整式 , 所得结果仍是等式 . 【 等式的基本性质 1 】 等式的两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为零） , 所得结果仍是等式 . 【 等式的基本性质 2 】  注意  两个性质中同加减与同乘除的内容的不同： 代数式包括了数，且可能含有字母 . 由等式的基本性质得到方程的变形规则 方程的两边都加上 ( 或都减去 ) 同一个数或同一个整式 , 方程的解不变 . 【 方程的变形规则 1 】 方程的两边都乘以（或都除以）同一个数不为 0 的数 , 方程的解不变 . 【 方程的变形规则 2 】 例题 例 1 解下列方程： (1) x － 5 = 7 ; (2) 4 x = 3 x － 4; 解： (1) 方程两边 都加上 5 ，得 x ＝ 7+5 ， 即 x ＝ 12 (2) 方程 两边都减去 3 x ，得 x ＝ 3 x － 4 － 3 x 即 x ＝－ 4 请同学们分别将 x ＝ 7+5 与原方程 x － 5 ＝ 7 ； x ＝ 3 x － 4 － 3 与原方程 4 x ＝ 3 x － 4 比较，你 发现这些方程的变形有什么共同特点 ? 思考与小结 像这样，将方程两边都加上 ( 或减去 ) 同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的 某些项 改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的 变形 叫做移项 . 注意： “ 移项 ” 是指将方程的某些项从等号的 左边移到右边 或 从右边移到左边 ，移项时要 变号 . 例题 例 2 解下列方程： (1) -5 x = 2 ; (2) 解 （ 1 ）方程两边都除以 -5 ，得 （ 2 ）方程两边都除以 （或乘以 ），得 数学运用 总结 ： 本节课 我们 通过天平实验，得出方程的两种变形： 1 ．把方程两边都加上或减去同一个数或整 式方程的解不变 . 2. 把方程两边都乘以或除以 ( 不等零 ) 的同一个数，方程的解不变 . 第 ① 种变形又叫移项，移项别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别 . (1) 8 x = 2 x － 7 ; (2) 6 = 8 ＋ 2 x ； (3) 2 y － = y － 3 ; (4) 10 m+ 5= 17 m － 5 － 2 m. 练习 6.2.2 解一元一次方程 ☆ 一元一次方程定义 : 只含有 一个未知数 , 并且 含有未知数的式子都是整式 , 未知数的次数是 1 , 这样的方程叫做 一元一次方程 . 注意以下三点： （ 1 ）一元一次方程有如下特点：①只含有一个未知数； ②未知数的次数是 1 ；③含有未知数的式子是整式。 （ 2 ）一元一次方程的 最简 形式为： ax=b ( a≠0 ) 。 （ 3 ）一元一次方程的 标准 形式为： ax+b= 0 （其中 x 是未知数， a 、 b 是已知数，并且 ( a≠0 ) 。 自主预习 [ 典例 ]1 、下列各式是一元一次方程的是（ ） B (A) (B) (C) (D) 2 、已知 是一元一次方程， 则 m = 。 0 自主探究 ( 去括号 ) ( 移项 ) ( 系数化为 1) 如何变形得到 ? 利用 去括 号解 一元 一次 方程 新知探究 跟踪练习 *一元一次方程的定义： 一元一次方程的特征： 知识梳理 *解一元一次方程（去括号） （ 1 ）移项要变号； （ 2 ）去括号时，括号前是“ -” ，去括号后要将括号内的各项改变符号； 随堂练习 6.3 实践与探索 列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些呢？ 关键 : 正确审清题意,找准“ 等量关系 ” 审 题 设未知数 找等量关系 列方程 解方程 检验 作答 知识回顾 关于图形方面的实际问题大多涉及图形的面积、周长和体积等数量关系。要解决这类问题，应从有关图形的面积、周长、体积等计算公式出发，根据题目中这些量的变化，建立相等关系，从而列出方程。 有关公式如下：（ 1 ）长方形的周长、面积公式 C 长方形 =2( 长 + 宽 ) ， s 长方形 = 长 × 宽（ 2 ）长方体、圆柱的体积公式 V 长方体 = 长 × 宽 × 高， V 圆柱 = πr 2 h 关于图形的周长、面积、体积等数量关系 知识回顾 用一根长 60 厘米的铁丝围成一个长方形 （ 1 ）使长方形的宽是长的 , 求这个长方形的长和宽。 解：设这个长方形的长为 x 厘米，则它的宽为 x 厘米，根据题意得 2( x + x )=60 解得 x =18 则宽为 12 厘米 答：这个长方形的长为 18 厘米，宽为 12 厘米 新知探究 用一根长 60 厘米的铁丝围成一个长方形 . (2) 使长方形的宽比长少 4 厘米 , 求这个长方形的面积 . 解 :(1) 设这个长方形的长为 厘米 , 则宽为 厘米 , 据题意得 ( 长 ) ( 宽 ) 答 : 这个长方形的面积为 221 平方厘米 . 这个长方形的面积 : ( 平方厘米 ) (3) 比较 (1) 、 (2) 所得两个长方形面积的大小 . 还能围成面积更大的长方形吗 ? (1) (2) 解 :(3) 当长方形的长为 18 厘米 , 宽为 12 厘米时 , 长方形的面积 = ( 平方厘米 ) 当长方形的长为 17 厘米 , 宽为 13 厘米时 , 长方形的面积 = ( 平方厘米 ) 所以 (2) 中的 长方形 面积比 (1) 中的长方形面积大 . 通过计算 , 发现随着长方形的长与宽的变化 , 长方形的面积也发生变化 , 并且长和宽的差越小 , 长方形的面积越大 , 当长和宽相等时 , 面积最大 . 即当长和宽相等都为 15 厘米时 , 围成的长方形 ( 即正方形 ) 面积最大 . 此时面积为 225 厘米 2 . (3) 长方形在周长一定的条件下，它的长与宽越接近，面积就越大；当长与宽相等，即成为正方形时，面积最大。 结 论 实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理。 例 2 ：在一个底面直径 5 厘米、高 18 厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径 6 厘米、高 10 厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内的水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离？ 解：（ 1 ）圆柱形瓶内的水为 π ×2.5 2 ×18 =225/2 π 圆柱形玻璃杯的容积为 π ×3 2 ×10=90 π 因为 225/2 π >90 π ，所以不能完全装下。 （ 2 ）设圆柱形瓶内的水面还有 x 厘米。 根据题意，得 π ×2.5 2 ×x=225/2π - 90 π 解得 x=3.6 。 18 - 3.6=14.4 答：圆柱形内的水面还有 3.6 厘米。离杯口距离 为 14.4 厘米。 实际问题 数学问题 已知量、未知量、等量关系 解释 解的合理性 方程的解 方程 抽象 分析 列 出 求解 验证 不合理 合理 我们这节课学到了什么？ 知识梳理 1. 一块长、宽、高分别为 4 厘米、 3 厘米、 2 厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为 1.5 厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到 0.1 厘米 , 取 3.14) 4 3 2 · r=1.5 解 : 设圆柱的高是 厘米 , 则根据题意 , 得 答 : 圆柱的高是 3.4 厘米 . 随堂练习 1. 一个角的余角比这个角的补角的一半小 40°, 求这个角的度数 . 拓展训练 2. 一张覆盖在圆柱形罐头侧面的高标纸 , 展开是一个周长为 88 厘米的正方形 ( 不计接口部分 ), 求这个罐头的容积 .( 精确到 1 立方厘米 , 取 3.14, 不计罐壁 厚 ) 22 22 · r 容积 = ( 立方厘米 ) 解 : 答 : 这个罐头的容积为 848 立方厘米 . 设圆柱形底面半径为 r 厘米 , 则