人教版八年级下册数学教案：20.2数据的波动程度

20.2 数据的波动程度 教学目标 1．了解方差的定义和计算公式． 2．理解方差概念的产生和形成过程． 3．会用方差比较两组数据的波动大小． 重点难点 重点 方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题． 难点 理解方差的概念并会运用方差的公式解决实际问题． 教学设计 一、情境导入 1．请同学们看下面的问题：(幻灯片出示) 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产 量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况， 农科院各用 10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量 (单位：t)如下表所示. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 上面两组数据的平均数分别是 x 甲≈7.54，x 乙≈7.52， 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．由此可以估计出 这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大． 为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的分布情况，我们把这两组数据画成 下面的图 1 和图 2. 师：比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大， 乙种甜玉米在各试验田的产量较集中地分布在平均量附近，从图中看出的结果能 否用一个量来刻画呢？这就是我们本节课所要学习的内容——方差． 教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还 常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小)． 2．方差的概念 教师讲解：为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如， 可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个 平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法： 设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的和的平均数是 s2，那 么我们用 s2＝1 n [(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2] 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据的方差 越大，说明这组数据的波动越大；数据的方差越小，说明这组数据的波动越小， 教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握． 在学生理解了方差的概念之后，再回到了引例中，通过计算甲、乙两种甜玉 米的方差，根据理论说明哪种甜玉米的产量更好． 教师示范： 两组数据的方差分别是 s 甲 2＝（7.65－7.54）2＋（7.50－7.54）2＋…＋（7.41－7.54）2 10 ≈0.01， s 乙 2＝（7.55－7.52）2＋（7.56－7.52）2＋…＋（7.49－7.52）2 10 ≈0.002. 显然 s 甲 2＞s 乙 2，即甲种甜玉米的波动较大，这与我们从图 1 和图 2 看到的 结果一致． 由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定．正如用样本的平均数 估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差．因此可以推测， 在这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲种的稳定．综合考虑甲、乙两个品种的平 均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米． 这样做使学生深刻地体会到数学来源于实践，又反过来作用于实践，不仅使 学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识． 二、例题讲解 【例 1】教材第 125 页例 1 【例 2】教材第 127 页例 2 【例 3】(幻灯片出示)已知两组数据： 甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7 乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 分别计算这两组数据的方差． 让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名学生到 黑板计算． 解：根据公式可得 x 甲＝10＋1 8 (－0.1＋0.3－0.2＋0.1＋0.4＋0－0.2－0.3) ＝10＋1 8×0＝10 x 乙＝10＋1 8 (0.2＋0－0.5＋0.3＋0.5－0.4－0.2＋0.1) ＝10＋1 8 ×0＝10 s 甲 2＝1 8 [(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋…＋(9.7－10)2] ＝1 8 (0.01＋0.09＋…＋0.09) ＝1 8 ×0.44＝0.055 s 乙 2＝1 8 [(10.2－10)2＋(10－10)2＋…＋(10.1－10)2] ＝1 8 (0.04＋0＋…＋0.01) ＝1 8 ×0.84＝0.105 从 s 甲 2＜s 乙 2 知道，乙组数据比甲组数据波动大． 三、巩固练习 1．已知一组数据为 2，0，－1，3，－4，则这组数据的方差为________． 【答案】6 2．甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶 10 次，命中的环数如下： 甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7 经过计算，两人射击环数的平均数相同，但 s 甲 2________s 乙 2，所以确定 ________去参加比赛． 【答案】＞ 乙 四、课堂小结 1．知识小结：通过这节课的学习，我们知道了对于一组数据，有时只知道 它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小，而描述一组数据的波动大小的量 不止一种，最常用的是方差． 2．方法小结：求一组数据方差的方法：先求平均数，再利用平均数求方差． 教学反思 本次教学在解决引例问题时，通过对数据的分析，发现以前学过的统计知识不能 解决新问题，引出矛盾，这里设计了小组讨论的环节，让学生在交流中得到启发， 进而使学生的思维发生碰撞，产生创新的火花，真正体现“不同的人，在数学上 得到不同的发展”．