第27章相似单元测试题-人教版九年级数学下册课堂训练

第 27 章相似单元测试题 考试时间：90 分钟；总分：120 分 一、单选题(将唯一正确答案的代号填在题后的括号内，每题 3 分，共 30分) 1．下列说法正确的是（ ） A．边数相同的两个正多边形相似 B．边数相同且对应角相等的两个多边形相似 C．边数相同且对应边成比例的两个多边形相似 D．边数相同、周长相等且对应角相等的两个多边形相似 2．在直角三角形 ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是( ) A． AC BC AB CD  B． CD AC AB BC  C． AC CD AB BD  D． AC AB CD BC  2题图 3题图 4题图 3．如图，点D、E分别在 ABC 的 AB、AC边上，增加下列哪些条件：① AED B   ； ② AE DE AB BC  ；③ AD AE AC AB  ，使 ADE 与 ACB 一定相似（ ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 4．如图，AB∥CD，AB＝6，CD＝9，AD＝10，则 OD的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高 0.8米），且落在对方区域离网 5米的 位置上，已知他的击球高度是 2.4米，则他应站在离网的（ ） A．7.5米处 B．8米处 C．10米处 D．15米处 5题图 6题图 6．如图，四边形 ABCD和 A′B′C′D′是以点 O为位似中心的位似图形，若 OA︰OA′＝ 2︰3，则四边形 ABCD与四边形 A′B′C′D′的面积比为（ ） A．4︰9 B．2︰5 C．2︰3 D． 2 ︰ 3 7．如图，在大小为 4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 8．如图，平行四边形 ABCD中，E是 AD上的一点，且 AE= 1 3 AD，对角线 AC，BD 交于点 O，EC交 BD于 F，BE交 AC于 G，如果平行四边形 ABCD的面积为 S，那 么△GEF的面积为（ ） A． 1 10 S B． 1 15 S C． 1 20 S D． 1 30 S 8题图 9题图 10题图 9．如图，在△ABC中，∠A=90°，D是 AB的中点，过点 D作 BC的平行线，交 AC 于点 E，作 BC的垂线交 BC于点 F，若 AB=CE，且△DFE的面积为 1，则 BC的长 为（ ） A． 2 5 B．5 C． 4 5 D．10 10．如图，在△ABC中，∠A=60°，BE、CF分别是 AC、AB边上的高，连接 EF，则 EF︰BC的值为( ) A．1︰2 B．2︰3 C．1︰4 D．2︰5 二、填空题(将正确答案填在题中的横线上，每题 3分，共 24 分) 11．如果 x 3 y 5  ，那么 x x y   ______． 12．如图， l 1∥ l 2∥ l 3， 2, 5, 10AB AC DF   ，则DE  ________________． 12题图 13题图 13．在△ABC中，DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3，CF=6，则 DE的长为 __________． 14．如图，在平行四边形 ABCD中，点 E在 BC边上，且 CE︰BC＝2︰3，AC与 DE 相交于点 F，若 S△EFC=8，则 S△CFD＝________． 14题图 15题图 16题图 15．如图所示，点 1A， 2A ， 3A 在 x轴上，且 1 1 2 2 3OA A A A A  ，分别过点 1A， 2A ， 3A 作 y轴的平行线，与反比例函数 8 ( 0)y x x  ＞ 的图象分别交于点 1B ， 2B ， 3B ，分别过 点 1B ， 2B ， 3B 作 x轴的平行线，分别于 y轴交于点 1C ， 2C ， 3C ，连接 1OB ， 2OB ， 3OB ，那么图中阴影部分的面积之和为______________． 16．如图，矩形 OABC，点 A、C分别在 x轴、y轴上，点 B坐标为(k, 2k)， 连接 OB， 将矩形 OABC沿 OB折叠，点 A的对应点为点 D，则点 D的坐标为 (用含 k的式子表示)． 17．如图，有一张直径（BC）为 1.2米的圆桌，其高度为 0.8米，同时有一盏灯 A距 地面 2米，圆桌的影子是 DE，AD和 AE是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中 点 D的坐标是（2，0）．那么点 E的坐标是____． 17题图 18题图 18．如图所示，正方形 OEFG和正方形 ABCD是位似图形，点 F的坐标为(－1，1)， 点 C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是 ． 三、解答题(本题有 8小题，共 66 分) 19．(本题 8分)如图，D、E分别是△ABC的边 AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7， BD=2，AE=6，求 AC的长. 19题图 20．(本题 8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 A（－1，3），B（－1，1），C（－ 3，2）. （1）请画出△ABC关于 y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点 O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的 2倍，得到△A2B2C2， 求出△A1B1C1与△A2B2C2的面积. 20题图 21．(本题 8分)如图，直线 EF分别交△ABC 的边 AB，AC于点 F，E，交 BC的延长 线于点 D，已知 BF ⋅ BA = BC ⋅ BD.求证： ⋅ = ൌ ⋅ . 21题图 22．(本题 8分)如图，在△ABC中，点 D，E分别在边 AB、AC上，DC与 BE相交于 点 O，且 DO＝2，BO＝DC＝6，OE＝3． （1）求证：DE∥BC； （2）如果四边形 BCED的面积比△ADE的面积大 12，求△ABC的面积． 22题图 23．(本题 8分)已知：如图所示，在正方形 ABCD中，F为 DC的中点，E为 BC上 一点，且 EC= 1 4 BC．求证：AF⊥EF． 23题图 24．(本题 8分)感知：如图①，∠C=∠ABD=∠E=90°，可知△ACB∽△BED．（不要 求证明） 拓展：如图②，∠C=∠ABD=∠E．求证：△ACB∽△BED． 应用：如图③，∠C=∠ABD=∠E=60°，AC=4，BC=1，则△ABD与△BDE的面积比 为 ． 25．(本题 8分)已知：⊙O中两条弦 AC，BD交于点 E． （1）如图 1，求证：EA EC EB ED   ． （2）如图 2，若点 B是AC中点，AD是⊙O直径，AD=10，CD=6． ①求 BC的长． ②求 :ABE ADES S  ． 26．(本题 10分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点 P从 点 B出发，在 BA边上以每秒 5cm的速度向点 A匀速运动，同时动点 Q从点 C出发， 在 CB边上以每秒 4cm的速度向点 B匀速运动，运动时间为 t秒（0＜t＜2），连接 PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求 t的值； （2）连接 AQ、CP，若 AQ⊥CP，求 t的值． 26题图 第 27章相似单元测试题参考答案 1．A. 解析：A.边数相同的两个正多边形对应角相等，对应边成比例，相似， 故 A项正确； B.矩形和正方形的边数相同且对应角相等，但矩形和正方形不相似，故 B项错误； C.菱形和正方形边数相同且对应边成比例，但菱形和正方形不相似，故 C项错误； D.由周长相等的矩形和正方形不相似，易知 D项错误. 故选 A. 2．D. 解析：根据三角形的面积计算公式可得：AC·BC=AB·CD， 即 AC AB CD BC  ，故选 D． 3．A. 解析： ①∵ A A   , AED B   ADE ACB  , 故正确； ②虽然有对应边成比例，但是夹角并不一定相等，所以 ADE 与 ACB 不一定相似， 故错误； ③∵ A A   ， AD AE AC AB  ， ADE ACB  ,故正确； 所以正确的是：①③， 故选：A． 4．C. 解析：解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴ AB AO CD OD  ， ∵AB＝6，CD＝9，AD＝10，∴ 6 10 9 OD OD   ，∴OD＝6，故选 C． 5．C. 解析：设他应站在离网的 x米处，根据题意得： 0.8 5 2.4 5 x   ，解得：x=10． 故选 C． 6．A. 解析：∵四边形 ABCD和 A′B′C′D′是以点 O为位似中心的位似图形， OA︰OA′＝2︰3，∴DA︰D′A′＝OA︰OA′＝2︰3， ∴四边形 ABCD与四边形 A′B′C′D′的面积比为：4︰9，故选：A． 7．C. 解析：∵甲中的三角形的三边分别是： 2，2， 10 ； 乙中的三角形的三边分别是： 2， 5，3； 丙中的三角形的三边分别是： 2，2 2， 2 5； 丁中的三角形的三边分别是：3， 17 ，4 2； 只有甲与丙中的三角形的三边成比例： 2 2 10 2 2 2 2 5   ， ∴甲与丙相似．故选：C． 8．C. 解析：过 A作 AM⊥BC于 M，如图所示： ∵S△BEC= 1 2 BC•AM，S▱ABCD=BC•AM，∴S△BEC= 1 2 S▱ABCD= 1 2 S， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠EAG=∠BCG，∠AEG=∠CBG， ∴△AEG∽△CBG， 又 AE= 1 3 AD= 1 3 BC，∴ EG GB = AE BC = 1 3 ， ∴S△EFG= 1 3 S△BGF， 又 S△EFG+S△BGF=S△BEF，∴S△EFG= 1 4 S△BEF， ∵AE= 1 3 AD，AD=AE+ED， ∴ED= 2 3 AD= 2 3 BC， 同理得到△EFD∽△CFB， ∴ EF FC = ED BC = 2 3 ∴S△BEF= 2 3 S△BFC， 又 S△BEF+S△BFC=S△BEC ， ∴S△BEF= 2 5 S△BEC= 1 5 S， ∴S△EFG= 1 20 S．故选：C． 9．A. 解析： / / ,DE BC D 是 AB的中点， DE 是△ABC的中位线， 1, , ,ADE DEFS S ADE ABC AE CE      ∽ 2 1( ) , 4 ADE ABC S AD S AB      4,ABCS  ,AB CE 2 ,AC AB  90 ,A   1 4, 2 AB AC   1 2 4, 2 AB AB   0,AB ＞ 2, 4,AB AC   2 22 4 2 5.BC    故选 A． 10．A. 解析：∵BE，CF分别是 AC，AB边上的高，∴ 90AEB AFC     ， ∵ A A   ，∴ ABE ACFV :V ， AE AB AF AC   ，即 AE AF AB AC  . 又∵ A A   ，∴ AEF ABC  ，∴ AE EF AB BC  . ∵在Rt ABE△ 中， 90 60 30ABE       ， ∴ 1 2 AE AB ， 1 2 EF AE BC AB    .故选项 A正确. 11． 3 8 . 解析：由 x 3 y 5  ，可得： x 3m ，  y 5m m 0  ， 所以 x 3m 3 x y 3m 5m 8     ，故答案为： 3 8 ． 12．4. 解析：∵ l 1∥ l 2∥ l 3，∴ AB DE AC DF  ，即 2 5 10 DE  ，∴DE=4．故答案为：4． 13．10. 解析：∵DE∥BC，∴∠AED=∠C，AD∶BD=AE∶EC=5∶3， 又∵∠ADE=∠EFC，∴△ADE∽△EFC， ∴DE∶FC=AE∶EC=5∶3，又∵CF=6，∴DE=10.故答案为：10. 14．12. 解析：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴BC∥AD、BC=AD， 而 CE∶BC=2∶3，∴△AFD∽△CFE，且它们的相似比为 3∶2， ∴FD∶FE=3∶2，∴S△CDF∶S△EFC=3∶2，而 S△EFC=8，∴S△DFC=12．故答案为：12． 15． 49 9 . 解析：根据题意可知 1 1 2 2 3 3 1 4 2OB C OB C OB CS S S k   V V V ∵ 1 1 2 2 3 1 1 2 2 3 3// // //OA A A A A AB A B A B y  ， 轴，∴ 2 2 2DE OB B CV V: 设图中阴影部分的面积从左向右依次为 1 2 3s s s， ， 则 1 1 4 2 s k  ，∴   2 2 2 2 2 2 2: 1: 4OB Cs S B D B C ： V 同理 3 33 1: 9OB Cs S ， ： V ∴图中阴影部分的面积分别是 1 2 31 44 9 s s s  ， ， ∴图中阴影部分的面积之和= 4 494 1 9 9    ． 故答案为： 49 9 ． 16． 3 4( , ) 5 5 k k . 解析：如图，过点 D做 DE⊥x轴，垂足为 E，交 BC延长线于点 F． ∵矩形 OABC中，点 B坐标为 ( 2 )k k， ，∴OA=k，AB=2k． ∵矩形 OABC沿 OB折叠，∴△OBD≌△OBA， ∴OD= OA=k，BD=BA=2k，∠ODB=∠OAB=90°， ∴∠FDB+∠EDO=90°． ∵∠EOD+∠EDO=90°，∴∠EOD=∠FDB． ∵∠F=∠DEO=90°，∴△OED∽△DFB， ∴ 1 2 OE DE OD DF BF DB    ． 设 DE=m，则 BF=2m,OE=2m-k,∴2k-m=2（2m-k） ∴ 4 5 m k ，∴ 3 5 OE k ，∴点 D坐标为： 3 4 5 5 k k     ， ． 故答案为： 3 4 5 5 k k     ， ． 17．（4，0）. 解析：如图，延长 CB交 y轴于 F， ∵桌面与 x轴平行即 BF∥OD，∴△AFB∽△AOD， ∵OF=0.8，∴AF=AO-OF=2-0.8=1.2， ∵OA=OD=2，则 AF=FB=1.2，BC =1.2，FC=FB+BC=1.2+1.2=2.4， ∵FC∥x轴，∴△AFC∽△AOE， ∴ AF FC= AO OE ，∴ AO FC 2 2.4OE= = AF 1.2  =4，E（4，0）． 故答案为：（4，0）． ． 18．（2，0）或（- 4 3 ， 2 3 ）. 解析： ①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是 CF与 x轴的交点， 设直线 CF解析式为 y=kx+b，将 C（-4，2），F（-1，1）代入， 得 4k b 2 { k b 1       ，解得 1k 3{ 2b 3    即 y=- 1 3 x+ 2 3 ， 令 y=0得 x=2，∴O′坐标是（2，0）； ②当位似中心 O′在两个正方形之间时， 可求直线 OC解析式为 y=- 1 2 x，直线 DE解析式为 y= 1 4 x+1， 联立 1y x 2{ 1y x 1 4     ，解得 4x 3{ 2y 3    ，即 O′（- 4 3 ， 2 3 ）． 故答案为：（2，0）或（- 4 3 ， 2 3 ）． 19．解：∵AB=7，BD=2，∴AD=AB-BD=5. ∵ //DE BC，∴ AD AE AB AC  . ∵AE=6，∴ 5 6 7 AC  . ∴ 42 5 AC  . 20．解：(1)图略； (2)由题图得 S△A1B1C1＝ 1 2 ×2×2＝2.∵将△A1B1C1放大为原来的 2倍，得到△A2B2C2， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2，∴ 1 1 2 2 A B A B ＝ 1 2 ，∴ 1 1 1 2 2 2 S A BC S A B C   ＝ 21 2       ＝ 1 4 ， ∴S△A2B2C2＝4S△A1B1C1＝4×2＝8. 即 S△A1B1C1＝2，S△A2B2C2＝8. 21．证明： ⋅ = ⋅ ൌ， ൌ = ， 又 = ൌ， ൌ， = ൌ.又 = ൌ， ൌ， ൌ = ，即 ⋅ = ൌ ⋅ . 22．解：（1）∵OD＝2，DC＝6，OE＝3， ∴OC＝4， OD OC ＝ 1 2 ， OE OB ＝ 1 2 ，∴ OD OC ＝ OE OB ， ∵∠DOE＝∠BOC，∴△DOE∽△COB， ∴∠ODE＝∠OCB，∴DE∥BC． （2）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴ DE BC ＝ OD OC ＝ 1 2 ，∴ ADE ABC S S   ＝ 1 4 ， 设△ADE的面积为 x，则△ABC的面积为 4x， ∴四边形 BCED的面积为 3x， 由题意 3x﹣x＝2x＝12，∴x＝6，∴S△ABC＝4x＝24． 23．证明：∵四边形 ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°， ∵F是 CD中点，∴DF＝CF＝ CD＝ AD， ∵CE＝ BC＝ CD，∴CE：DF＝CF：AD＝1：2， ∴Rt△CEF∽Rt△DFA，∴∠FAD＝∠EFC， ∵∠FAD＋∠DFA＝90°，∴∠EFC＋∠DFA＝90°， ∴∠EFA＝90°，∴AF⊥EF； 24．拓展：证明：∵∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠C=∠ABD， ∴∠CAB=∠DBE，∵∠C=∠E，∴△ACB∽△BED； 应用：解：∵∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠C=∠ABD， ∴∠CAB=∠DBE，∵∠C=∠E=60°，∴△ACB∽△BED，△ACE是等边三角形， ∴AE=AC=4，∴BE=CE﹣BC=3， ∴△ACB与△BED的相似比为：4：3， ∴S△ABC：S△BED=16：9，S△ABC：S△ABE=1：3=16：48， 设 S△ABC=16x，则 S△ABE=48x，S△BDE=9x ∴S△ABD=S△ABE﹣S△BED=48x﹣9x=39x， ∴S△ABD：S△BDE=39：9=13：3． 故答案为 13：3． 25．解：（1）连结 AB、CD， 则 BAC CDB  ， 又∵ BEA CED  ，∴ EAB EDC  ， ∴ EA EB ED EC  ，即EA EC EB ED   ． （2）①连结 OB交 AC于点 M， ∵点 B是弧 AC的中点，OB为⊙O的半径， ∴OB AC ， 1 2 AM CM AC  ， ∵ AD是⊙O的直径，∴ 90ACD  ， ∴ 2 2 2 210 6 8AC AD DC     ． ∴ 1 4 2 CM AM AC   ， 在Rt OMA 中，由勾股定理得： 2 2 2 25 4 3OM OA AM     ， ∴ 5 3 2BM OB OM     ， ∴在Rt BMC 中， 2 2 2 22 4 2 5BC BM CM     ． ② 1 2 12 1 6 3 2 ABE ADE AE BMS BM S DCAE DC           ． 26. 解：根据勾股定理得：BA= = 㐲； （1）分两种情况讨论： ①当△BPQ∽△BAC时， = ， ∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8， ∴ 㐲 = − ，解得，t＝1， ②当△BPQ∽△BCA时， = ， ∴ = − 㐲 ，解得，t= ； ∴t＝1或 时，△BPQ∽△BCA； （2）过 P作 PM⊥BC于点 M，AQ，CP交于点 N，如图所示： 则 PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t， ∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM， ∵∠ACQ＝∠PMC，∴△ACQ∽△CMP， ∴ = ，∴ − = ，解得 t= ． 26题图