数阵图（二）例题讲解

第 17 讲 数阵图（二） 例 1 在右图的九个方格中填入不大于 12 且互不相同的九个自然数（其中 已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等 于 21。 解：由上一讲例 4 知中间方格中的数为 7。再设右下角的数为 x，然后根 据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于 21，如下图所示 填上各数（含 x）。 因为九个数都不大于 12，由 16－x≤12 知 4≤x，由 x+2≤12 知 x≤10， 即 4≤x≤10。考虑到 5，7，9 已填好，所以 x 只能取 4，6，8 或 10。经 验证，当 x＝6 或 8 时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当 x＝4 或 10 时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而 已。 例 2 将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个 数之和都相等，则一定有 证明：设中心数为 d。由上讲例 4 知每行、每列、每条对角线上的三个数 之和都等于 3d。由此计算出第一行中间的数为 2d——b，右下角的数为 2d-c（见下图）。 根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到 3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）， 3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c， d——c＋b＝d——a＋c， 2c＝a＋b， a＋b c＝2。 值得注意的是，这个结论对于 a 和 b 并没有什么限制，可以是自然数， 也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。 例 3 在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一 条对角线上的三个数之和都等于 90。 解：由上一讲例 4 知，中心数为 90÷3＝30；由本讲例 2 知，右上角的数 为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。 例 4 在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角 线上的三个数之和都相等。 解：由例 2 知，右下角的数为 （8＋10）÷2=9；由上一讲例 4 知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左 下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于 7×3=21。由此 可得右下图的填法。 例 5 在下页上图的每个空格中填一个自然数，使得每行、每列及每条对角 线上的三个数之和都相等。 解：由例 2 知，右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）。因为左下图中 两条虚线上的三个数之和相等，所以， “中心数”＝（10＋6）-9＝7。 其它依次可填（见右下图）。 由例 3～5 看出，在解答 3×3 方阵的问题时，上讲的例 4 与本讲的例 2 很有用处。