乘法原理讲解

19 讲 乘法原理 让我们先看下面几个问题。 例 1 马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演 出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？ 分析与解：由下图可以看出，帽子和鞋共有 6 种搭配。 事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。第一步戴帽子，有 3 种方法； 第二步穿鞋，有 2 种方法。对第一步的每种方法，第二步都有两种方法， 所以不同的搭配共有 3×2＝6（种）。 例 2 从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丙地有 3 条路，从丙地到丁地也有 2 条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？ 分析与解：用 A1，A2 表示从甲地到乙地的 2 条路，用 B1，B2，B3 表示从 乙地到丙地的 3 条路，用 C1，C2 表示从丙地到丁地的 2 条路（见下页图）。 共有下面 12 种走法： A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1 A1B1C2 A1B2C A1B3C2 A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1 A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2 事实上，从甲到丁是分三步走的。第一步甲到乙有 2 种方法，第二步 乙到丙有 3 种方法，第 3 步丙到丁有 2 种方法。对于第一步的每种方法， 第二步都有 3 种方法，所以从甲到丙有 2×3=6（种）方法；对从甲到丙 的每种方法，第三步都有 2 种方法，所以不同的走法共有 2×3×2＝12（种）。 以上两例用到的数学思想就是数学上的乘法原理。 乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种 方法，做第 2 步有 m2 种方法……做第 n 步有 mn 种方法，那么按照这样 的步骤完成这件任务共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关 键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。 例 3 用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各位上的数字允 许重复）？ 分析与解：组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字，除 0 以外有 5 种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有 6 种选法；第三步确定个位上的数字，也有 6 种选法。根据乘法原理，可以 组成三位数 5×6×6＝180（个）。 例 4 如下图，A，B，C，D，E 五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种 颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的 染色方法？ 分析与解：将染色这一过程分为依次给 A，B，C，D，E 染色五步。 先给 A 染色，因为有 5 种颜色，故有 5 种不同的染色方法；第 2 步 给 B 染色，因不能与 A 同色，还剩下 4 种颜色可选择，故有 4 种不同的 染色方法；第 3 步给 C 染色，因为不能与 A，B 同色，故有 3 种不同的染 色方法；第 4 步给 D 染色，因为不能与 A，C 同色，故有 3 种不同的染 色方法；第 5 步给 E 染色，由于不能与 A，C，D 同色，故只有 2 种不同 的染色方法。根据乘法原理，共有不同的染色方法 5×4×3×3×2＝360（种）。 例 5 求 360 共有多少个不同的约数。 分析与解：先将 360 分解质因数， 360＝2×2×2×3×3×5， 所以 360 的约数的质因数必然在 2，3，5 之中。为了确定 360 的所有 不同的约数，我们分三步进行： 第 1 步确定约数中含有 2 的个数，可能是 0，1，2，3 个，即有 4 种 可能； 第 2 步确定约数中含有 3 的个数，可能是 0，1，2 个，即有 3 种可能； 第 3 步确定约数中含有 5 的个数，可能没有，也可能有 1 个，即有 2 种可能。 根据乘法原理，360 的不同约数共有 4×3×2＝24（个）。 由例 5 得到：如果一个自然数 N 分解质因数后的形式为 其中 P1，P2，…，Pl 都是质数，n1，n2…，nl 都是自然数，则 N 的所 有约数的个数为： （n1＋1）×（n2+1）×…×（nl＋1）。 利用上面的公式，可以很容易地算出某个自然数的所有约数的个数。 例如，11088＝24×32×7×11，11088 共有不同的约数 （4＋1）×（2+1）×（1＋1）×（1＋1）＝60（个）。 例 6 有 10 块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃 法？ 分析与解：将 10 块糖排成一排，糖与糖之间共有 9 个空。从头开始，如 果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就在其间画一条线。下图表示 10 块 糖分在五天吃：第一天吃 2 块，第二天吃 3 块，第三天吃 1 块，第四天吃 2 块，第五天吃 2 块。因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法 原理，不同的加线方法共有 29＝512（种）。因为每一种加线方法对应一 种吃糖的方法，所以不同的吃法共有 512 种。