东城区初三数学期末试题及答案

东城区 2014—2015 学年第一学期期末统一检测 初三数学试题 2015.1 学校 班级 姓名 考号 考 生 须 知 1．本试卷共 8 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分.考试时间 120 分钟. 2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4．在答题卡上选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．已知 1sin 2A  ，则锐角 A 的度数是 A．30 B． 45 C． 60 D． 75 [来源:Z,xx,k.Com] 2．下列安全标志图中，是中心对称图形的是 A B C D 3．以下事件为必然事件的是 A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是 0 B．多边形的内角和是360 C．二次函数的图象必过原点 D．半径为 2 的圆的周长是 4π 4．将二次函数 2y x 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得图象的函数 表达式是 A. 2( 1) 2y x   B. 2( 1) 2y x   C. 2( 1) 2y x   D. 2( 1) 2y x   5． 如图，线段 AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄 AB，∠CAB=20°，则∠AOD 等于 A．120° B． 140° C．150° D．160° 6．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 EC 交对角线 BD 于点 F，则 S △ DEF：S △ BCF 等于 A. 1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9 7．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 a≠0）的图象如图所示，则一次函数 2 by cx a   与反比例函数 aby x  在同一坐标系内的图象大致是 A B C D 8．如图，边长为 4 的正方形 ABCD 的边 BC 与直角边分别是 2 和 4 的 Rt  GEF 的边 GF 重合,正方形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 GE 向右匀速运动，当点 A 和点 E 重合 时正方形停止运动.设正方形的运动时间为 t 秒，正方形 ABCD 与 Rt  GEF 重叠部分的面 积为 S，则 S 关于 t 的函数图象为 第 5 题图 第 6 题图 A． B． C． D． 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．已知反比例函数 ky x  (k 是常数，且 0k  )的图象在第二、四象限，请写出一个符合条 件的反比例函数表达式 ． 10．如图，把△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35°，得到△ ' 'A B C ， ' 'A B 交 AC 于点 D， 若∠ 'A DC =90°，则∠A= 度． 11．如图，反比例函数 6y x  在第一象限的图象上有两点 A ， B ，它们的横坐标分别是 2， 第 10 题图 第 11 题图 6，则△ AOB 的面积是 . 12．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 A 顺时针旋转到△AB1C1 的位置，点 B,O 分别落在点 B1,C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到△A1B1C2 的位置， 点 C2 在 x 轴上，将△A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次 进行下去…．若点 A（ ，0），B（0，4），则点 B4 的坐标为 ,点 B2014 的坐标为 ． 三、解答题（本题共 30 分，每小题5 分） 13．计算： 32sin45 3tan30 cos60 2     . 14．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，顶点叫做格点． △ ABC 的三个顶点 A，B，C 都在格点上．将 △ ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°得到 △ AB′C′． （1）在正方形网格中，画出 △ AB′C′； （2）计算线段 AB 在变换到 AB′的过程中扫过的区域的面积． 15．已知二次函数 2 6 8y x x   . （1）将 2 6 8y x x   化成 2( )y a x h k   的形式； （2）当 0 4x≤ ≤ 时， y 的最小值是 ，最大值是 ； （3）当 0y＜ 时，写出 x 的取值范围. 16．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P（不与点 A,B 重合）为半圆上一点．将图形沿 BP 折 叠，分别得到点 A，O 的对称点 'A ， 'O ．设∠ABP =α． （1）当α=10°时， 'ABA  °； （2）当点 'O 落在 PB 上时，求出 的度数． 17．如图，在△ABC 中，AB=AC=8,BC=6,点 D 为 BC 上一点，BD=2.过点 D 作射线 DE 交 AC 于点 E，使∠ADE=∠B. 求线段 EC 的长度。 18． 如图， AB 为⊙O 的直径,与弦 CD 相交于点 E，且 AC=2，AE= ，CE=1． 求 的长度． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．为了提高学生书写汉字的能力，某市举办了“汉字听写大赛”．为了决定谁将获得仅有的 一张观赛券，小王和小李设计了如下的一个规则：不透明的甲袋中有编号分别为 1，2， 3 的乒乓球三个，不透明的乙袋中有编号分别为 4，5 的乒乓球两个，五个球除了编号 不同外，其他均相同．小王和小李分别从甲、乙两个袋子中随机地各摸出一个球，若所 摸出的两个球上的数字之和为奇数，则小王去；若两个球上的数字之和为偶数，则小李 去．试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？ 第 16 题图 第 17 题图 第 22 题图 2第 22 题图 1 20．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如 下图，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为 2001 米，在点 A 处测得高华峰顶 F 点 的俯角为 30°，保持方向不变又前进 1200 米到达点 B 处测得 F 点的俯角为 45°．请据此 计算高华峰的海拔高度．（结果保留整数，参考数值： ≈1.732） 21．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°,以 AB 为直径的⊙O 与边 AC 交于点 D，过点 D 的直 线交 BC 边于点 E，∠BDE=∠A． （1）证明:DE 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径 R=5，tanA= ，求线段 CD 的长. 22．如图 1，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF 分别是 BC，CD 上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连结 AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ； 探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F 分别是 BC，CD 上 的点，且∠EAF＝ 2 1 ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分， 第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．已知二次函数 2y ax bx c   （a 为常数， 4 3 E A B C D O 第 20 题图 第 21 题图 且 a≠0）的图象过点 A（0，1），B（1，-2）和点 C（-1,6）. （1）求二次函数表达式； （2）若 2m n  ，比较 2 4m m 与 2 4n n 的大小； （3）将抛物线 2y ax bx c   平移，平移后图象的顶点为 ( , )h k ，若平移后的抛物线与 直线 1y x  有且只有一个公共点，请用含 h 的代数式表示 k . 24.在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，将△COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到 △C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接 AC1、BD1，AC1 与 BD1 交于点 P. （1）如图 1，若四边形 ABCD 是正方形.请直接写出 AC1 与 BD1 的数量关系和位置关系. （2）如图 2，若四边形 ABCD 是菱形，AC=6，BD=8，判断 AC1 与 BD1 的数量关系和位置关 系，并给出证明； （3）如图 3，若四边形 ABCD 是平行四边形，AC=6，BD=12，连接 DD1，设 AC1=kBD1， 请直接写出 k 的值和 的值. 25．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A（-1，0），另一个交点为 B,与 y 轴的交点为 C（0，-3），其顶点为 D，对称轴为直线 x=1． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点 M 为 y 轴上的一个动点，当 △ ACM 是以 AC 为一腰的等腰三角形时，求点 M 的 坐标； （3）将 △ OBC 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形 △ EFG，将 △ EFG 与 △ BCD 重叠部分的面积记为 S，用含 m 的代数式表示 S． 2 1 2 1 )(kDDAC  PA B C D D1 O C1 C DA B D1 P C1O 图 1 图 2 图 3 第 24 题图 C DA B D1 P C1O 备用图 东城区 2014-2015 学年第一学期期末统一检测 初三数学试题参考答案及评分标准 2015.1 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C B B A B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 题号 9 10 11 12 答案 1y x  等 55 8 （ 20 ， 4 ）， （10070，4） 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 313. 2sin45 3 tan30 cos60 2 2 3 1 32 3 42 3 2 2 2 1 5                  解： 分 分 14. 解:（1） ………………2 分 （2）由图可知，线段 AB 在变换到 AB′的过程中扫过区域的面积就是扇形 B′AB 的面积， 其中∠B′AB=90°， 2 23 4 5AB    ， ∴线段 AB 在变换到 AB′的过程中扫过的区域的面积为： 290 25π 5 π360 4   .………5 分 15．解：（1） 2( 3) 1y x   ； ………………2 分 （2）-1，8； ……………… 4 分 （3） 2 4x＜ ＜ . ………………5 分 16.（1）（1）当α=10°时， 'ABA  20 °; ……………2 分 （2）若点 'O 落在 PB 上，连接 OO′. 则 OO′=OB. 又∵点 ,O O 关于直线 BP 对称， ∴ BO BO . ∴ △BOO′是等边三角形. ∴ ∠OBO′=60°. ∴α= 1 2 ∠OBO′=30°. ……………5 分 17. , . 1 , , . . 3 . 8 2 .4 1. 5 AB AC B C ADC B BAD ADC ADE EDC B ADE BAD EDC ABD EDC AB BD DC EC EC EC                                   解： ∴ 分 ， ∽ 分 ∴ 分 18．解：连接 OC， ∵△ACE 中，AC=2，AE= 3 ，CE=1， ∴AE2+CE2=AC2， ∴△ACE 是直角三角形，即 AE⊥CD．┉┉┉２分 1sin ,2 CEA AC  Q ∴∠A=30°． ∴∠COE=60°．┉┉┉3 分 1 3sin , 2 2 3 43 CECOE OC OC OC      LLL 即 ， 解得 分 ∵AE⊥CD， ∴ = ， ∴ 的长度 l= = ．┉┉┉５分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19.解：列表或画树状图正确． ………………………………………………… 2 分 ∵ P(两个球上的数字之和为奇数)= 1 2 ， P(两个球上的数字之和为偶数)= 1 2 ， ∴ 这个规则公平． ……………………………………………………… 5 分 20. , 1 Rt 30 45 . 2 tan30 3 3 . 1200 3 1200. 600 3 1 2001 600 3 1 362. 5 CF x ACF BCF BAF CBF BC CF x CF AC AC x AC BC x x x DF                                  解：设 分 在Rt 和 中， ， ， 分 ， 分 = ﹣ 米， （ ）. ﹣ （ ） 分 答：钓鱼岛的最高海拔高度约 362 米． 21. （1）解：连接 OD. ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠A. 又∵∠BDE=∠A, ∴∠ODA=∠BDE. ∵AB 是⊙O 直径, ∴∠ADB=90.° 即∠ODA+∠ODB=90°. ∴∠BDE+∠ODB=90°. ∴ 090ODE  . ∴DE 是⊙O 的切线.…………………２分 （2）∵R=5, ∴AB=10. Rt ABC在 中， ∵tanA= AB BC ＝ 3 ,4 ∴BC= AB·tanA=10× 4 3 =15.2 ∴AC= 2 2 2 2 15 2510 .2 2AB BC        ……………３分 ∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB, ∴△BCD∽△ACB . ∴ .CD CB CB CA  新*课标*第*一*网 ∴ ……………５分 22．解： EF＝BE＋FD.………………………1 分 探索延伸：EF＝BE＋FD 仍然成立.………………………2 分 证明：延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连接 AG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADG. 又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG. ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG. 又∵∠EAF＝ 2 1 ∠BAD， ∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG ＝∠FAD＋∠BAE ＝∠BAD－∠EAF ＝∠BAD－ 2 1 ∠BAD ＝ 2 1 ∠BAD . ∴∠EAF＝∠FAG. ∴△AEF≌△AGF. ∴EF＝GF. 又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF, ∴EF＝BE＋FD. ………………………5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23.解：（1）∵抛物线过点 A , B ,C , ∴ 1, 2, 6. c a b c a b c           ∴ 1, 4, 1. c b a       ∴ 2 4 1y x x   .………………………2 分 (2)∵当 2x＞ 时， y 随 x 的增大而增大， ∴当 2m n＞ ＞ 时， 2 21 1m m n n -4 ＞ -4 ，即 2 2m m n n-4 ＞ -4 .…………………4 分 (3) 由（1）知， 1a  .设平移后的抛物线的表达式为  2y x h k   . 2 2 15( ) 92 .25 2 2 CBCD CA    ∵直线与抛物线有且只有一个公共点， ∴方程 21 ( ) kx x h    有两个相等的实数根. 整理得：  2 22 1 1 0x h x h k      . ∴    2 22 1 1h h k    -4 =0 . ∴ 3 4k h  . ………………………7 分 1 1 1 11 , . 2AC BD AC BD  24.（） 分 （2） 1 1 1 1 3 4AC BD AC BD ， . 证明：∵四边形 ABCD 是菱形, ∴OC＝OA= 2 1 ＡＣ，ＯＤ＝OB= 2 1 ＢＤ，AC⊥BD. ∵△C1OD1 由△COD 绕点 O 旋转得到, ∴O C1= OC，O D1=OD，∠CO C1=∠DO D1. ∴O C1＝OA ，O D1＝OB，∠AO C1=∠BO D1, ∴ OB OD OA OC 11  . ∴ OB OA OD OC  1 1 . ∴△AO C1∽△BOD1.………………………………4 分 ∴∠O AC1= ∠OB D1. 又∵∠AOB=90°, ∴∠O AB+∠ABP+∠OB D1=90°. ∴∠O AB+∠ABP+∠O AC1=90°. ∴∠APB=90°. ∴ＡC1⊥BD1。……………………………………………5 分 ∵△AO C1∽△BOD1,,,, ∴ 1 1 1 6 32 =1 8 4 2 ACAC OA AC BD OB BDBD     . 即 1 1 1 1 3 4AC BD AC BD ， . （3） 2 1k .……………………………………………6 分 2 2 1 1( ) 36AC kDD  .…………………………………7 分 25. 解：（1）由题意可知，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 B（3，0）， C DA B D1 P C1O 图 2 则, 9 3 0, 0, 3. a b c a b c c           解得 1, 2, 3. a b c        ． 故抛物线的解析式为 2 2 3y x x   . ----------------2 分 （2）①当 AC=AM 时，M 0,3 ； ②当 AC=CM 时，M 0, 10 3  或 M 0, 10 3 ． 所以,点 M 的坐标为 0,3 , 0, 10 3  , 0, 10 3 ;----------------４分 （3）记平移后的三角形为 △ EFG． 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，则 3 0, 3. k b b      解得 1, 3. k b     则直线 BC 的解析式为 3y x  ． △ OBC 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度（0＜m＜3）得到 △ EFG， 易得直线 FG 的解析式为 3y x m   ． 设直线 BD 的解析式为 y=k′x+b′，则 3 0, 4. k b k b         解得 2, 6. k b       则直线 BD 的解析式为 2 6y x  ． 连结 CG，直线 CG 交 BD 于 H，则 H（ ，-3）． 在 △ OBC 沿 x 轴向右平移的过程中． ①当 0＜m≤ 时，如图 1 所示． 设 EG 交 BC 于点 P，GF 交 BD 于点 Q． 则 CG=BF=m，BE=PE=3﹣m， 联立 2 6, 3 . y x y x m       ， 解得 3 , 2 . x m y m      ， 即点 Q（3﹣m，-2m）． 图 1  2 2 9 1 13 22 2 2 3 32 EFG EBP BFQS S S S m m m m m            △ △ △ ②当 ＜m＜3 时，如图 2 所示． 设 EG 交 BC 于点 P，交 BD 于点 N． 则 OE=m，BE=PE=3﹣m， 又因为直线 BD 的解析式为 2 6y x  ， 所以当 x=m 时，得 y=2m﹣6， 所以点 N（m，2m-6）． 图 2       2 2 2 1 1 13 6 2 3 32 2 2 1 932 2 EBN EBPS S S m m m m m m             △ △ 综上所述，当 0＜m≤ 时，S=﹣ m2+3m；当 ＜m＜3 时，S= m2﹣3m+ ．---------------8 分 [来源:Z,xx,k.Com]