水源二中九年级数学上期末模拟试卷及解析版

2015-2016 学年辽宁省营口市大石桥市水源二中九年级（上）期 末数学模拟试卷 一、选择题（每题 3 分，共 30分） 1．若方程（m﹣1） ﹣2x﹣m 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为( ) A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣1 或 1 2．下列图形中不是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 新$课$标$第$一$网 3．如图，线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 丄 AB，∠CAB=20°，则∠AOD 等于( ) A．160° B．150° C．140° D．120° 4．如图，圆锥体的高 h=2 cm，底面圆半径 r=2cm，则圆锥体的全面积为( )cm2． A．12π B．8π C．4 π D．（4 +4）π 5．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球 1 个、绿球 1 个、白球 2 个，小明 摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( ) A． B． C． D． 6．若关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0 有不相等实数根，则 k 的取值范围是( ) A．k＞ B．k≥ C．k＞ 且 k≠1 D．k≥ 且 k≠1 7．如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，联结 BC，若∠A=36°，则 ∠C 等于( ) A．36° B．54° C．60° D．27° 8．将二次函数 y=2x2﹣8x﹣1 化成 y=a（x﹣h）2+k 的形式，结果为( ) A．y=2（x﹣2）2﹣1 B．y=2（x﹣4）2+32 C．y=2（x﹣2）2﹣9 D．y=2（x﹣4）2﹣33 9．在 Rt△ABC 中，∠C=Rt∠，AC=3cm，AB=5cm，若以 C 为圆心，4cm 为半径画一个圆， 则下列结论中，正确的是( ) A．点 A 在圆 C 内，点 B 在圆 C 外 B．点 A 在圆 C 外，点 B 在圆 C 内 C．点 A 在圆 C 上，点 B 在圆 C 外 D．点 A 在圆 C 内，点 B 在圆 C 上 10．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是( ) A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．当﹣1＜x＜3 时，y＞0 D．﹣ 二、填空题（每小题 3 分，24 分） 11．若一个三角形的三边长均满足方程 x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为__________． 12．如图，已知 PA，PB 分别切⊙O 于点 A、B，∠P=60°，PA=8，那么弦 AB 的长是__________． 13．在半径为 的圆中，60°的圆心角所对的弧长等于__________． 14．在一个不透明的盒子中装有 2 个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若 从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则 n=__________． 15．若抛物线 y=x2﹣2x+m（m 为常数）与 x 轴没有公共点，则实数 m 的取值范围为 __________． 16．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为 10cm、深约为 2cm 的小坑，则该铅 球的直径约为__________cm． 17．某商品原价 289 元，经过两次连续降价后售价为 256 元，设平均每次降价的百分率为 x， 则由题意所列方程__________． 18．一块草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线组成，如图，为牢固期间，每段护栏需按 间距 0.4m 加设不锈钢管做成的立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得 如图所示的数据，则需要不锈钢管的总长度为__________．（米） 三、解答题（共 96 分） 19．解方程 （1）x（2x﹣1）=2（1﹣2x） （2）x2﹣5x﹣4=0． 20．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，△ABO 的三个顶 点都在格点上． （1）以 O 为原点建立直角坐标系，点 B 的坐标为（﹣3，1），则点 A 的坐标为__________； （2）画出△ABO 绕点 O 顺时针旋转 90°后的△OA1B1，并求线段 AB 扫过的面积． 21．如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下 的部分种上草坪．要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽． （部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304） 22．在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有数字﹣2、﹣1、1、2 的乒乓球（形状、大 小一样），先从盒子里随机取出一个乒乓球，记下数字后放回盒子，然后搅匀，再从盒子里 随机取出一个乒乓球，记下数字． （1）请用树状图或列表的方法求两次取出乒乓球上的数字相同的概率； （2）求两次取出乒乓球上的数字之和等于 0 的概率． 23．如图，AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB 于点 B，连接 OC 交⊙O 于点 E，弦 AD∥OC，弦 DF⊥AB 于点 G． （1）求证：点 E 是 的中点； （2）求证：CD 是⊙O 的切线； （3）若 AD=6，⊙O 的半径为 5，求弦 DF 的长． 24．（14 分）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每 件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的 售价上涨 x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）为了使顾客尽量满意，每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？ 25．（14 分）如图 1，在正方形 ABCD 内有一点 P，PA= ，PB= ，PC=1，求∠BPC 的 度数． 【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中 在一起，于是将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到了△BP′A（如图 2），然后连结 PP′． 【解决问题】请你通过计算求出图 2 中∠BPC 的度数； 【比类问题】如图 3，若在正六边形 ABCDEF 内有一点 P，且 PA= ，PB=4，PC=2． （1）∠BPC 的度数为__________； （2）直接写出正六边形 ABCDEF 的边长为__________． 26．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为 D 点， 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB=OC， = ． （1）求这个二次函数的表达式； （2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以 点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切， 求该圆半径的长度． 2015-2016 学年辽宁省营口市大石桥市水源二中九年级 （上）期末数学模拟试卷 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．若方程（m﹣1） ﹣2x﹣m 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为( ) A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣1 或 1 【考点】一元二次方程的定义． 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方 程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：由（m﹣1） ﹣2x﹣m 是关于 x 的一元二次方程，得 m2+1=2，且 m﹣1≠0． 解得 m=﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是 否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2． 2．下列图形中不是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 【考点】中心对称图形． 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是中心对称图形．故错误； B、是中心对称图形．故错误； C、是中心对称图形．故错误； D、不是中心对称图形．故正确． 故选 D． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后 与原图重合． 3．如图，线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 丄 AB，∠CAB=20°，则∠AOD 等于( ) A．160° B．150° C．140° D．120° 【考点】圆周角定理；垂径定理． 【专题】压轴题． 【分析】利用垂径定理得出 = ，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案． 【解答】解：∵线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 丄 AB， ∴ = ， ∵∠CAB=20°， ∴∠BOD=40°， ∴∠AOD=140°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD 的度数是解题关键． 4．如图，圆锥体的高 h=2 cm，底面圆半径 r=2cm，则圆锥体的全面积为( )cm2． A．12π B．8π C．4 π D．（4 +4）π 【考点】圆锥的计算． 【分析】表面积=底面积+侧面积=π×底面半径 2+底面周长×母线长÷2． 【解答】解：底面圆的半径为 2，则底面周长=4π， ∵底面半径为 2cm、高为 2 cm， ∴圆锥的母线长为 4cm， ∴侧面面积=×4π×4=8π； 底面积为=4π， 全面积为：8π+4π=12πcm2． 故选：A． 【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键． 5．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球 1 个、绿球 1 个、白球 2 个，小明 摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( ) A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球 的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，两次都摸到白球的有 2 种情况， ∴两次都摸到白球的概率是： = ． 故答案为：C． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完 成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6．若关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0 有不相等实数根，则 k 的取值范围是( ) A．k＞ B．k≥ C．k＞ 且 k≠1 D．k≥ 且 k≠1 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0 有不相等实数根， ∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0， 解得 k＞ ；且 k﹣1≠0，即 k≠1． 故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0， 方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数 根． 7．如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，联结 BC，若∠A=36°，则 ∠C 等于( ) A．36° B．54° C．60° D．27° 【考点】切线的性质． 【分析】根据题目条件易求∠BOA，根据圆周角定理求出∠C= ∠BOA，即可求出答案． 【解答】∵AB 与⊙O 相切于点 B， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=36°， ∴∠BOA=54°， ∴由圆周角定理得：∠C= ∠BOA=27°， 故选 D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠BOA 度数． 8．将二次函数 y=2x2﹣8x﹣1 化成 y=a（x﹣h）2+k 的形式，结果为( ) A．y=2（x﹣2）2﹣1 B．y=2（x﹣4）2+32 C．y=2（x﹣2）2﹣9 D．y=2（x﹣4）2﹣33 【考点】二次函数的三种形式． 【分析】利用配方法整理即可得解． 【解答】解：y=2x2﹣8x﹣1， =2（x2﹣4x+4）﹣8﹣1， =2（x﹣2）2﹣9， 即 y=2（x﹣2）2﹣9． 故选 C． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键． 9．在 Rt△ABC 中，∠C=Rt∠，AC=3cm，AB=5cm，若以 C 为圆心，4cm 为半径画一个圆， 则下列结论中，正确的是( ) A．点 A 在圆 C 内，点 B 在圆 C 外 B．点 A 在圆 C 外，点 B 在圆 C 内 C．点 A 在圆 C 上，点 B 在圆 C 外 D．点 A 在圆 C 内，点 B 在圆 C 上 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】首先运用勾股定理求出 BC 的长度，然后运用判断点与圆的位置关系的方法，进行 判断、解析，即可解决问题． 【解答】解：由勾股定了得：BC2=AB2﹣AC2， ∴ =4， ∴若以 C 为圆心，4cm 为半径画一个圆， 点 A 在圆 C 内，点 B 在圆 C 上， 故选 D． 【点评】该题主要考查了点与圆的位置关系及其应用问题；牢固掌握判断点与圆的三种位置 关系的判定方法是解题的关键． 10．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是( ) A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．当﹣1＜x＜3 时，y＞0 D．﹣ 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】存在型． 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项 A 错误； B、∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选项 B 错误； C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3 时，y＜0，故选项 C 错误； D、∵抛物线与 x 轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴 x=﹣ = =1， 故选项 D 正确． 故选 D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关 键． 二、填空题（每小题 3 分，24 分） 11．若一个三角形的三边长均满足方程 x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为 6，10，12． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系． [来源:Z#xx# k.Com] 【专题】计算题；压轴题． 【分析】求△ABC 的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根， 根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 【解答】解：解方程 x2﹣6x+8=0 得 x1=4，x2=2； 当 4 为腰，2 为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为 4+2+4=10； 当 2 为腰，4 为底时 4﹣2=2＜4+2 不能构成三角形， 当等腰三角形的三边分别都为 4，或者都为 2 时，构成等边三角形，周长分别为 6，12，故 △ABC 的周长是 6 或 10 或 12． 【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲 目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍 去． 12．如图，已知 PA，PB 分别切⊙O 于点 A、B，∠P=60°，PA=8，那么弦 AB 的长是 8． 【考点】切线的性质；等边三角形的判定与性质． 【分析】由 PA，PB 分别切⊙O 于点 A、B，根据切线长定理，即可求得 PA=PB，又由∠P=60°， 即可证得△PAB 是等边三角形，由 PA=8，则可求得弦 AB 的长． 【解答】解：∵PA，PB 分别切⊙O 于点 A、B， ∴PA=PB， ∵∠P=60°， ∴△PAB 是等边三角形， ∴AB=PA=PB， ∵PA=8， ∴AB=8． 故答案为：8． 【点评】此题考查了切线长定理与等边三角形的判定与性质．此题比较简单，解题的关键是 注意熟记切线长定理，注意数形结合思想的应用． 13．在半径为 的圆中，60°的圆心角所对的弧长等于 2． 【考点】弧长的计算． 【分析】弧长公式为 l= ，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长． 【解答】解：l= = =2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式． 14．在一个不透明的盒子中装有 2 个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若 从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则 n=3． 【考点】概率公式． 【专题】计算题． 【分析】先求出这个不透明的盒子中装有 2+n 个球，根据概率公式列出算式 = ，从而 求出答案． 【解答】解：这个不透明的盒子中装有 2+n 个球， 又∵从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ， ∴ = ， 解得 n=3， 故答案为 3． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其 中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 15．若抛物线 y=x2﹣2x+m（m 为常数）与 x 轴没有公共点，则实数 m 的取值范围为 m＞1． 【考点】抛物线与 x 轴的交点． 【分析】根据抛物线与 x 轴的没有交点，即△=b2﹣4ac＜0，即可求出 m 的取值范围． 【解答】解：∵若抛物线 y=x2﹣2x+m（m 为常数）与 x 轴没有公共点， ∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m＜0， 即 4﹣4m＜0，解得：m＞1， 故答案为：m＞1． 【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴的交点．熟记抛物线与 x 轴的交点个数与系数的关系是 解决此题的关键． [来源:学。科。网] 16．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为 10cm、深约为 2cm 的小坑，则该铅 球的直径约为 14.5cm． 【考点】垂径定理的应用；勾股定理． 【专题】应用题． 【分析】根据题意，把实际问题抽象成几何问题，即圆中与弦有关的问题，根据垂径定理， 构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未 知数，列出方程，即可求出铅球的直径． 【解答】解：根据题意，画出图形如图所示， 由题意知，AB=10，CD=2，OD 是半径，且 OC⊥AB， ∴AC=CB=5， 设铅球的半径为 r，则 OC=r﹣2， 在 Rt△AOC 中，根据勾股定理，OC2+AC2=OA2， 即（r﹣2）2 +52=r2， 解得：r=7.25， 所以铅球的直径为：2×7.25=14.5 cm． 【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三 角形，若设圆的半径为 r，弦长为 a，这条弦的弦心距为 d，则有等式 r2=d2+（ ）2 成立， 知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 17．某商品原价 289 元，经过两次连续降价后售价为 256 元，设平均每次降价的百分率为 x， 则由题意所列方程 289×（1﹣x）2=256． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】增长率问题． 【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率） =256，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：第一次降价后的价格为 289×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的 价格的基础上降低 x， 为 289×（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是 289×（1﹣x）2=256． 【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1±x）2=b． 18．一块草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线组成，如图，为牢固期间，每段护栏需按 间距 0.4m 加设不锈钢管做成的立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得 如图所示的数据，则需要不锈钢管的总长度为 80．（米） 【考点】二次函数的应用． 【分析】根据所建坐标系特点可设解析式为 y=ax2+c 的形式，结合图象易求 B 点和 C 点坐 标，代入解析式解方程组求出 a，c 的值的解析式；根据对称性求 B3、B4 的纵坐标后再求出 总长度． 【解答】解：由题意得 B（0，0.5）、C（1，0） 设抛物线的解析式为：y=ax2+c（a≠0）， ， 代入得： 故解析式为：y=﹣ x2+ ； ∵当 x=0.2 时，y=0.48， 当 x=0.6 时，y=0.32， ∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×（0.48+0.32）=1.6（米）， ∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80（米）． 故答案为：80． 【点评】本题考查了二次函数的应用，数学建模思想是运用数学知识解决实际问题的常规手 段，建立恰当的坐标系很重要． 三、解答题（共 96 分） 19．解方程 （1）x（2x﹣1）=2（1﹣2x） （2）x2﹣5x﹣4=0． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）根据因式分解，可得方程的解； （2）根据公式法，可得方程的解． 【解答】解：（1）移项，得 x（2x﹣1）+2（2x﹣1）=0， 因式分解，得 （2x﹣1）（x+2）=0． 于是，得 2x﹣1=0 或 x+2=0． 解得 x1= ，x2=﹣2； （2）x2﹣5x﹣4=0，a=1，b=﹣5，c=﹣4， △b2﹣4ac=25﹣4×1×（﹣4）=41， x= = ， ． 【点评】本题考查了解方程，利用了因式分解法解方程，公式法解方程． 20．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，△ABO 的三个顶 点都在格点上． （1）以 O 为原点建立直角坐标系，点 B 的坐标为（﹣3，1），则点 A 的坐标为（﹣2，3）； （2）画出△ABO 绕点 O 顺时针旋转 90°后的△OA1B1，并求线段 AB 扫过的面积． 【考点】作图-旋转变换． 【专题】计算题；作图题． 【分析】（1）先画出直角坐标系，然后根据第二象限点的坐标特征写出 A 点坐标； （2）先利用网格特点和旋转的性质画出点 A 和 B 的对应点 A1、B1，即可得到△OA1B1， 再利用勾股定理计算出 OA 和 OB，然后根据扇形面积公式计算 S 扇形 OAA1﹣S 扇形 BOB1 的即可． 【解答】解：（1）如图 1，点 A 的坐标为（﹣2，3）； （2）如图 2，△OA1B1 为所作； OA= = ，OB= = 线段 AB 扫过的面积=S 扇形 OAA1﹣S 扇形 BOB1 = ﹣ [来源:Z.xx.k.Com] = π． 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角， 对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应 点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形的面积公式． 21．如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下 的部分种上草坪．要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽． （部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304） 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题；数形结合． 【分析】本题可设道路宽为 x 米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有 草坪面积之和就变为了（32﹣x）米 2，进而即可列出方程，求出答案． 【解答】解法（1）： 解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为 x 米， 根据题意得：（32﹣x）=540 整理得：x2﹣52x+100=0 解得：x1=50（舍去），x2=2 答：道路宽为 2 米． 解法（2）： 解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为 x 米， 根据题意得：20×32﹣x+x2=540 整理得：x2﹣52x+100=0 解得：x1=2，x2=50（舍去） 答：道路宽应是 2 米． 【点评】这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而 即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍． 22．在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有数字﹣2、﹣1、1、2 的乒乓球（形状、大 小一样），先从盒子里随机取出一个乒乓球，记下数字后放回盒子，然后搅匀，再从盒子里 随机取出一个乒乓球，记下数字． （1）请用树状图或列表的方法求两次取出乒乓球上的数字相同的概率； （2）求两次取出乒乓球上的数字之和等于 0 的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率 公式求出该事件的概率； （2）求两次取出乒乓球上的数字之和等于 0 个数，即可求得其概率． 【解答】解：（1）画树形图得： 所以两次取出乒乓球上的数字相同的概率= = （2）由（1）可知：两次取出乒乓球上的数字之和等于 0 的概率 P= ． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与 总情况数之比． 23．如图，AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB 于点 B，连接 OC 交⊙O 于点 E，弦 AD∥OC，弦 DF⊥AB 于点 G． （1）求证：点 E 是 的中点； （2）求证：CD 是⊙O 的切线； （3）若 AD=6，⊙O 的半径为 5，求弦 DF 的长． 【考点】切线的判定；勾股定理；圆周角定理． 【分析】（1）连接 OD．欲证明点 E 为 的中点，只需证明∠DOC=∠BOC 即可； （2）若证明 CD 是⊙O 的切线，需要证明∠ODC=90°，即 OD⊥CD； （3）利用垂径定理推知△ADG 和△ODG 都是直角三角形，所以在这两个直角三角形中利 用勾股定理来求线段 DG 的长度． 【解答】（1）连接 OD，∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA 又∵AD∥OD ∴∠OAD=∠BOC，∠DOC=∠ODA， ∴∠DOC=∠BOC， ∴ ∴点 E 为 的中点 （2）∵在△BOC 与△DOC 中， ∴△BOC≌△DOC（SAS） ∴∠CDO=∠CBO=90°， ∴CD 为⊙O 的切线； （3）∵AB⊥DF ∴2DG=DF 设 AG=x，则 OG=5﹣x 在 Rt△ADG 和 Rt△ODG中，由勾股定理得：62﹣x2=52﹣（5﹣x）2 解得： ∴DG= ∴DF=2DG=9.6 【点评】本题综合考查了切线的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理．要证某线是圆的切 线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 24．（14 分）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每 件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的 售价上涨 x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）为了使顾客尽量满意，每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据题意可知 y 与 x 的函数关系式． （2）根据题意可知 y=﹣10﹣（x﹣5.5）2+2402.5，当 x=5.5 时 y 有最大值． （3）设 y=2200，解得 x 的值． 【解答】解：（1）由题意得：y=（210﹣10x）（50+x﹣40） =﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15 且 x 为整数）； （2）由（1）中的 y 与 x 的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5． ∵a=﹣10＜0，∴当 x=5.5 时，y 有最大值 2402.5． ∵0＜x≤15，且 x 为整数， 当 x=5 时，50+x=55，y=2400（元）， 当 x=6 时，50+x=56，y=2400（元）， ∴当售价定为每件 55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400 元． （3）当 y=2200 时，﹣10x2+110x+2100=2200， 解得：x1=1，x2=10． ∴当 x=1 时，50+x=51，当 x=10 时，50+x=60． ∴当售价定为每件 51 或 60 元，每个月的利润为 2200 元． 【点评】此题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现建模思想的渗透． 25．（14 分）如图 1，在正方形 ABCD 内有一点 P，PA= ，PB= ，PC=1，求∠BPC 的 度数． 【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中 在一起，于是将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到了△BP′A（如图 2），然后连结 PP′． 【解决问题】请你通过计算求出图 2 中∠BPC 的度数； 【比类问题】如图 3，若在正六边形 ABCDEF 内有一点 P，且 PA= ，PB=4，PC=2． （1）∠BPC 的度数为 120°； （2）直接写出正六边形 ABCDEF 的边长为 2 ． 【考点】四边形综合题． 【分析】【解决问题】如图 4，将△PBC 逆时针旋转 90°得△P′BA，连接 PP′，就可以求得 ∠P′BP=90°，P′B=PB，求出∠BP′P 的度数，由勾股定理就可以求出 PP′的值，在△P′AP 中 由勾股定理的逆定理可以得出△P′AP 是直角三角形，求出∠PP′A 的度数，从而可以求出结 论； （1）仿照【分析】中的思路，将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 120°，得到了△BP′A，然后连 结 PP′．如图所示，根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，从而得出△BPP′为等腰三角形， PB=P′B=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，由∠ABC=120°，就有∠PBP′=120°，∠BP′P=30°， 可以求得 PP′= ，由勾股定理的逆定理就可以求出∠AP′P=90°从而得出结论； （2）延长 A P′作 BG⊥AP′于点 G，在 Rt△P′BG 中，P′B=4，∠BP′G=60°，就可以得出 P′G=2， BG= ，则 AG=P′G+P′A=2+2=4，在 Rt△ABG 中，根据勾股定理得 AB= ． 【解答】解：【解决问题】如图 4，将△PBC 逆时针旋转 90°得△P′BA，连接 PP′， ∴△AP′B≌△CPB， ∴P′B=PB= ，P′A=PC=1，∠1=∠2．∠AP′B=∠BPC． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠1+∠3=90°， 即∠P′BP=90°． ∴∠BP′P=45°． 在 Rt△P′BP 中，由勾股定理，得 PP′2=4． ∵P′A=1，AP= ∴P′A2=1，AP2=5， ∴P′A2+PP′2=AP2， ∴△P′AP 是直角三角形， ∴∠AP′P=90°． ∴∠AP′B=45°+90°=135°， ∴∠BPC=135°； （1）仿照【分析】中的思路，将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 120°，得到了△BP′A，连结 PP′．如 图 5， ∴△PBC≌△P′BA， ∴P′B=PB=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A， ∴△BPP′为等腰三角形， ∵∠ABC=120°， ∴∠PBP′=120°， ∴∠BP′P=30°， 作 BG⊥PP′于 G， ∴∠P′GB=90°，PP′=2P′G．[来源:学,科,网] ∵P′B=PB=4，∠BP′P=30°， ∴BG=2， ∴P′G=2 ∴PP′= ， 在△APP′中，∵PA= ，PP′= ，P′A=2， ∴PA2=52，PP′2=48，P′A2=4， ∴P′A2+P′P2=PA2， ∴△PP′A 是直角三角形， ∴∠AP′P=90°． ∴∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°． （2）延长 A P′作 BG⊥AP′于点 G，如图 6， 在 Rt△P′BG 中，P′B=4，∠BP′G=60°， ∴P′G=2，BG= ， ∴AG=P′G+P′A=2+2=4， 在 Rt△ABG 中，根据勾股定理得 AB= ． 故答案为：120°；2 ． 【点评】本题是一道四边形的综合试题，考查了旋转在正多边形中的运用，全等三角形的判 定及性质的运用，勾股定理的运用，勾股定理的逆定理的运用，等腰三角形的性质的运用， 解答本题时运用等腰三角形的性质解答是关键 26．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为 D 点， 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB=OC， = ． （1）求这个二次函数的表达式； （2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以 点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切， 求该圆半径的长度． 【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题． 【分析】（1）分别确定 A、B、C 的坐标，利用待定系数法可得二次函数的表达式； （2）根据 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形，可得点 F 的可能坐标，再由点 F 在 抛物线上，可最终确定； （3）分两种情况讨论，①MN 在 x 轴上，②MN 在 x 轴下，表示出 N 的坐标，代入抛物 线解析式可得半斤的长度． 【解答】解：（1）∵点 B 的坐标为（3，0），OB=OC， ∴点 C 的坐标为（0，﹣3）， 又∵ = ， ∴OA=1， ∴点 A 的坐标为（﹣1，0）， 将 A、B、C 三点坐标代入可得： ， 解得： ， 故这个二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3． （2）在该抛物线上存在点 F（2，﹣3），使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形． 理由：由（1）得 D（1，﹣4），则直线 CD 的解析式为：y=﹣x﹣3， 故 E 点的坐标为（﹣3，0）， ∵以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形， ∴F 点的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣4，3）， 代入抛物线的表达式检验，只有（2，﹣3）符合． ∴抛物线上存在点 F（2，﹣3），使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形． （3）①如图，当直线 MN 在 x 轴上方时，设圆的半径为 R（R＞0）， 则 N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得 R= ， 其中 R= （不合题意，舍去）， ∴R= ． ②如图，当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为 r（r＞0）， 则 N（r+1，﹣r）， 代入抛物线的表达式，解得：r= ， 其中 r= （不合题意，舍去）， ∴r= ． 综合①②得：圆的半径为 或 ． 【点评】本题考查二次函数的综合，涉及了平行四边形的性质、圆的性质特征及待定系数法 求抛物线解析式，解答本题的关键是数形结合思想及分类讨论思想的运用． 不用注册，免费下载！