2012年石家庄市二模数学有答案（理科）

2012 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 高三数学(理科） 注意事项： 1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第 I 卷(选择题 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 M={5， 6， 7 }， N={5， 7， 8 }，则 A. B. C. D. 2. 若 F(5，0)是双曲线 (m 是常数）的一个焦点，则 m 的值为 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 3. 已知函数 f(x)，g(x)分别由右表给出，则， 的值为 A. 1 B.2 C. 3 D. 4 4. 的展开式中的常数项为 A. -60 B. -50 C. 50 D. 60 5. 的值为 A. 1 B. C. D. 6. 已知向量 a=(1，2)，b=(2，3)，则 是向量 与向量 n=(3，-1)夹角为钝角的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 7. —个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是 8. 从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示： 根据上表可得回归直线方程 ，据此模型预报身高为 172 cm 的 高三男生的体重为 A. 70.09 B. 70.12 C. 70.55 D. 71.05 9. 程序框图如右图，若输出的 s 值为位，则 n 的值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 已知 a 是实数，则函数_ 的图象不可能是 11. 已知长方形 ABCD，抛物线 l 以 CD 的中点 E 为顶点，经过 A、B 两点，记拋物线 l 与 AB 边围成的封闭区域为 M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域 M 的概率为 P.则下列 结论正确的是 A.不论边长 AB，CD 如何变化，P 为定值； B.若 -的值越大，P 越大； C.当且仅当 AB=CD 时，P 最大； D.当且仅当 AB=CD 时，P 最小. 12. 设不等式组 表示的平面区域为 Dn an 表示区域 Dn 中整点的个数(其 中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则 = A. 1012 B. 2012 C. 3021 D. 4001 第 II 卷(非选择题共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题〜第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题〜第 24 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 复数 （i 为虚数单位)是纯虚数，则实数 a 的值为_________. 14. 在ΔABC 中， ， ，则 BC 的长度为________. 15. 己知 F1 F2 是椭圆 （a>b>0)的两个焦点，若椭圆上存在一点 P 使得 ， 则椭圆的离心率 e 的取值范围为________. 16. 在平行四边形 ABCD 中有 ，类比这个性质，在平行六面体中 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中有 =________ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分） 已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S4、S10、S7 成等差数列. (I )求证而 a3,a9,a6 成等差数列； (II)若 a1=1，求数列 W{a3 n}的前 n 项的积 . 18. (本小题满分 12 分） 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水 量标准〜用水量不超过 a 的部分按照平价收费，超过 a 的部分按照议价收费）.为了较为合 理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频 率分布直方图， (I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整； (II)用样本估计总体，如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准&则月均用水量的最低 标准定为多少吨，并说明理由； (III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查 3 位居民的月均用水量(看作有 放回的抽样），其中月均用水量不超过（II)中最低标准的人数为 x，求 x 的分布列和均值. 19. (本小题满分 12 分） 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧面 ABB1A1 为矩形，AB=1， ，D 为 AA1 中点，BD 与 AB1 交于点 0，C0 丄侧 面 ABB1A1 (I )证明：BC 丄 AB1； (II)若 OC=OA,求二面角 C1-BD-C 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系中，已知直线 l:y=-1，定点 F(0，1)，过平面内动点 P 作 PQ 丄 l 于 Q 点， 且 • (I )求动点 P 的轨迹 E 的方程； (II)过点 P 作圆 的两条切线，分别交 x 轴于点 B、C，当点 P 的纵坐标 y0>4 时， 试用 y0 表示线段 BC 的长，并求ΔPBC 面积的最小值. 21. (本小题满分 12 分） 已知函数 (A ,B R，e 为自然对数的底数）， . (I )当 b=2 时，若 存在单调递增区间，求 a 的取值范围； (II)当 a>0 时，设 的图象 C1 与 的图象 C2 相交于两个不同的点 P、Q，过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线交 C1 于点 ，求证 . 请考生在第 22〜24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 已知四边形 ACBE,AB 交 CE 于 D 点， ，BE2=DE-EC. ( I ) 求证: ； ( I I ) 求证：A、E、B、C 四点共圆. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度 单位建立极坐标系.曲线 C1 的参数方程为： （ 为参数）；射线 C2 的极坐标方程 为： ,且射线 C2 与曲线 C1 的交点的横坐标为 (I )求曲线 C1 的普通方程； (II)设 A、B 为曲线 C1 与 y 轴的两个交点，M 为曲线 C1 上不同于 A、B 的任意一点，若直线 AM 与 MB 分别与 x 轴交于 P,Q 两点，求证|OP|.|OQ|为定值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设函数 (I)画出函数 的图象； (II)若不等式， 恒成立，求实数 a 的取值范围. 2012 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 高三数学(理科答案) 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 1 14. 1 或 2 15. 1 ,12     16. 2 2 2 14( )AB AD AA  . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解：（Ⅰ） 当 1q  时， 10 4 72S S S  所以 1q  ………………………………………………..2 分 10 4 72S S S 由 ,得    10 74 1 112 1 1(1 ) 1 1 1 a q a qa q q q q      10 4 7 1 0, 1 2a q q q q     ， ………………………….4 分 则 8 2 5 1 1 12a q a q a q  ， 9 3 62a a a   ，所以 3, 9, 6a a a 成等差数列. ………………………6 分 (Ⅱ)依题意设数列 3 na 的前 n 项的积为 nT , nT = 3 3 3 3 1 2 3 na a a a   3 3 2 3 1 31 ( ) ( )nq q q     = 3 3 2 3 1( ) ( )nq q q   3 1 2 3 ( 1)( ) nq     = ( 1) 3 2( ) n n q  ，…………………8 分 又由（Ⅰ）得 10 4 72q q q  ， 6 32 1 0q q    ，解得 3 3 11( , 2q q  舍） .…………………10 分 所以  1 21 2 n n nT       . …………………………………………….12 分 18. 解: （Ⅰ） ………………………………3 分 （Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为 2.5 吨.样本中月均用水量不低于 2.5 吨的居民有 20 位，占样本总体的 20%，由样本估计总体，要保证 80%的居民每月的用水量不超出标准，月 均用水量的最低标准应定为 2.5 吨.……………………………………………6 分 （Ⅲ）依题意可知,居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是 4 5 ，则 4~ (3, )5X B ， 31 1( 0) ( )5 125P X    1 2 3 4 1 12( 1) ( )5 5 125P X C   2 2 3 4 1 48( 2) ( ) ( )5 5 125P X C   34 64( 3) ( )5 125P X    ………………8 分 分布列为 X 0 1 2 3 P 1 125 12 125 48 125 64 125 …………………………………………………………………………………………10 分 4 12( ) 3 5 5E X    ………………………………………………………………12 分 19. 解：（Ⅰ）因为 1 1ABB A 是矩形， D 为 1AA 中 点 ， 1AB  ， 1 2AA  ， 2 2AD  , 所 以 在 直 角 三 角 形 1ABB 中, 1 1 2tan 2 ABAB B BB    , 在 直 角 三 角 形 ABD 中, 1 2tan 2 ADABD AB    , 所以 1AB B = ABD , 又 1 1 90BAB AB B     ， 1 90BAB ABD     ， 所以在直角三角形 ABO 中，故 90BOA   ， 即 1BD AB ， …………………………………………………………………………3 分 又因为 1 1CO ABB A 侧面 ， 1 1 1AB ABB A 侧面 ,所以 1CO AB 所以， 1AB BCD 面 , BC BCD 面 , 故 1BC AB …………………………5 分 （Ⅱ） 解法一： 如图，由（Ⅰ）可知， , ,OA OB OC 两两垂直，分 别以 , ,OA OB OC 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系O xyz . 在 Rt ABD 中，可求得 6 3OB  , 6 6OD  , 3 3OC OA  ， 在 1Rt ABB 中，可求得 1 2 3 3OB  ， 故 60, ,06D       , 60, ,03B      , 30,0, 3C       , 1 2 3 ,0,03B      所以 60, ,02BD        , 6 30, ,3 3BC        , 1 2 3 6, ,03 3BB        可得， 1 1 2 3 2 6 3, ,3 3 3BC BC BB            …………………………………8 分 设平面 1BDC 的法向量为  , ,x y zm ，则 10, 0BD BC     m m ， 即 2 3 2 6 3 03 3 3 6 02 x y z y       ，取 1, 0, 2x y z   ， 则  1,0,2m ， …………………………………10 分 又 BCD面  1,0,0n ， 故 1 5cos , 55  m n ， 所以，二面角 1C BD C  的余弦值为 5 5 …………………………………12 分 解法二：连接 1CB 交 1C B 于 E ,连接OE ， 因为 1 1CO ABB A 侧面 ，所以 BD OC ， 又 1BD AB ， 所以 1BD COB 面 ，故 BD OE 所以 EOC 为二面角 1C BD C  的平面 角…………………………………8 分 6 2BD  ， 1 3AB  ， 1 1 1 2 AD AO BB OB   ， 1 1 2 2 33 3OB AB  , 1 1 3 3 3OC OA AB   ， 在 1Rt COB 中， 2 2 1 1 1 4 15 3 3 3B C OC OB     ，……………………10 分 又 EOC OCE   1 5cos 5 OCEOC CB    ， 故二面角 1C BD C  的余弦值为 5 5 . …………………………12 分 20.解：（Ⅰ）设  ,P x y ，则  , 1Q x  ， ∵QP QF FP FQ      ， ∴       0, 1 ,2 , 1 , 2y x x y x      ． …………………2分 即    22 1 2 1y x y    ，即 2 4x y ， 所以动点 P 的轨迹 E 的方程 2 4x y ． …………………………4分 （Ⅱ） 解法一：设 0 0( , ), ( ,0), ( ,0)P x y B b C c ，不妨设b c ． 直线 PB 的方程: 0 0 ( )yy x bx b   ，化简得 0 0 0( ) 0y x x b y y b    ． 又圆心 (0,2) 到 PB 的距离为 2， 0 0 2 2 0 0 2( ) 2 ( ) x b y b y x b      ， 故 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 04[ ( ) ] 4( ) 4( )y x b x b x b y b y b       ，易知 0 4y  ，上式化简得 2 0 0 0( 4) 4 4 0y b x b y    ， 同理有 2 0 0 0( 4) 4 4 0y c x c y    ． …………6 分 所以 0 0 4 4 xb c y    ， 0 0 4 4 ybc y   ，…………………8 分 则 2 2 2 0 0 0 2 0 16( 4 )( ) ( 4) x y yb c y     ． 因 0 0( , )P x y 是抛物线上的点，有 2 0 04x y ， 则 2 2 0 2 0 16( ) ( 4) yb c y    ， 0 0 4 4 yb c y    ． ………………10 分 所以 0 0 0 0 0 0 21 16( ) 2[( 4) 8]2 4 4PBC yS b c y y yy y           4 16 8 32   ． 当 2 0( 4) 16y   时，上式取等号，此时 0 04 2, 8x y  ． 因此 PBCS 的最小值为 32． ……………………12 分 解法二：设 ),( 00 yxP , 则 4 2 0 0 xy  ， PB 、 PC 的斜率分别为 1k 、 2k ， 则 PB ： 2 0 1 0( )4 xy k x x   ，令 0y  得 2 0 0 14B xx x k   ，同理得 2 0 0 24C xx x k   ； 所以 ||4| 44 ||||| 21 21 2 0 1 2 0 2 2 0 kk kkx k x k xxxBC CB  ，……………6 分 下面求 || 21 21 kk kk  , 由 (0,2) 到 PB ： 2 0 1 0( )4 xy k x x   的距离为 2，得 2 0 1 0 2 1 | 2 |4 2 1 xk x k     ， 因为 0 4y  ，所以 2 0 16x  ， 化简得 2 2 2 2 2 20 0 0 1 0 1 0( 4) (4 ) ( ) 02 4 x xx k x k x       ， 同理得 2 2 2 2 2 20 0 0 2 0 2 0( 4) (4 ) ( ) 02 4 x xx k x k x       …………………8 分 所以 1k 、 2k 是 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0( 4) (4 ) ( ) 02 4 x xx k x k x       的两个根. 所以 2 0 0 1 2 2 0 ( 4)2 ,4 xx k k x     22 22 2 00 00 1 2 2 2 0 0 ( 1)( ) 164 ,4 4 xx xx k k x x     2 2 0 1 2 1 2 1 2 2 0 | | ( ) 4 4 xk k k k k k x       ， 1 2 2 01 2 1| | 116 k k xk k    ， 2 2 0 0 01 2 02 001 2 0 41 1| | | |4 4 411 416 B C x x yk kx x y yxk k y          ，……………10 分 所以 0 0 0 0 0 0 21 16| | 2[( 4) 8]2 4 4PBC yS BC y y yy y          4 16 8 32   ． 当 2 0( 4) 16y   时，上式取等号，此时 0 04 2, 8x y  ． 因此 PBCS 的最小值为 32． ……………………12 分 21.解:（Ⅰ）当 2b  时，若 2( ) ( ) ( ) 2x xF x f x g x ae e x     ，则 2( ) 2 2 1x xF x ae e    ， 原命题等价于 2( ) 2 2 1 0x xF x ae e    … 在 R 上有解．……………2 分 法一：当 0a … 时，显然成立； 当 0a  时， 2 21 1( ) 2 2 1 2 ( ) (1 )2 2 x x xF x ae e a e a a         ∴ 1(1 ) 02a    ，即 1 02 a   ． 综合所述 1 2a   ．…………………5 分 法二：等价于 21 1 1( )2 x xa e e    在 R 上有解，即 ∴ 1 2a   ．………………5 分 （Ⅱ）设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，不妨设 1 2x x ，则 2 1 02 x x x  ， 2 22 2 x xae be x  ， 1 12 1 x xae be x  ， 两式相减得： 2 1 2 12 2 2 1( ) ( )x x x xa e e b e e x x     ，……………7 分 整理得 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2 1 ( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) x x x x x x x x x x x xx x a e e e e b e e a e e e b e e          … 则 2 1 2 1 2 1 22 x x x x x x ae be e   … ，于是 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 02 ( ) x x x x x x x x x x e ae be f xe e       … ，…………………9 分 而 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2 1 x x x x x x x x x x x xe ee e e         令 2 1 0t x x   ，则设 2 2( ) t t G t e e t     ，则 2 2 2 21 1 1( ) 1 2 1 02 2 2 t t t t G t e e e e            ， ∴ ( )y G t 在 (0, ) 上单调递增，则 2 2( ) (0) 0 t t G t e e t G       ，于是有 2 2 t t e e t    ， 即 21 t te te  ，且 1 0te   ， ∴ 2 11 t t t ee  ， 即 0( ) 1f x  ．…………………12 分 请考生在第 22～24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 22．选修 4-1 几何证明选讲 证明：(Ⅰ)依题意， DE BE BE EC  ， 1 1   ， 所以 DEB BEC  ,………………2 分 得 3 4   , 因为 4 5   , 所以 3 5   ,又 2 6   ， 可得 EBD ACD  .……………………5 分 (Ⅱ)因为 因为 EBD ACD  ， 所以 ED BD AD CD  ,即 ED AD BD CD  ,又 ADE CDB   , ADE CDB  , 所以 4 8   ，………………7 分 因为 01 2 3 180      ， 因为 2 7 8     ，即 2 7 4     ，由(Ⅰ)知 3 5   ， 所以 01 7 4 5 180 ,        即 0180 ,ACB AEB    所以 A 、 E 、 B 、C 四点共圆.………………10 分 23．选修 4-4：坐标系与参数方程 解：(Ⅰ)曲线 1C 的普通方程为 2 2 2 1x y a   ， 射线 2C 的直角坐标方程为 ( 0)y x x  ，…………………3 分 可知它们的交点为 6 6,3 3       ，代入曲线 1C 的普通方程可求得 2 2a  . 所以曲线 1C 的普通方程为 2 2 12 x y  .………………5 分 (Ⅱ) | | | |OP OQ 为定值. 由(Ⅰ)可知曲线 1C 为椭圆，不妨设 A为椭圆 1C 的上顶点， 设 ( 2 cos ,sin )M   , ( ,0)PP x ， ( ,0)QQ x , 因为直线 MA 与 MB 分别与 x 轴交于 P 、Q 两点， 所以 AM APK K , BM BQK K ,………………7 分 由斜率公式并计算得 2 cos 1 sinPx    ， 2 cos 1 sinQx    , 所以| | | | 2P QOP OQ x x    .可得| | | |OP OQ 为定值.……………10 分 24.选修 4-5：不等式选讲 解: (Ⅰ)由于 3 7, 2,( ) 3 5 2. x xf x x x        …………2 分 则函数的图象如图所示:（图略）……………5 分 (Ⅱ) 由函数 ( )y f x 与函数 y ax 的图象可知, 当且仅当 1 32 a   时,函数 y ax 的图象与函数 ( )y f x 图象没有交点,……………7 分 所以不等式 ( )f x ax 恒成立, 则 a 的取值范围为 1 ,32     .…………………10 分