大连二十中2016-2017学年高二数学（理）期末试卷及答案

2016-2017 学年度上学期期末考试 高二数学（理）试卷 考试时间：120 分钟 试题分数：150 分 卷Ⅰ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. i 是虚数单位，计算 2 3i i i   ( ) A. 1 B.1 C. i D.i 2.下列命题中的真命题为（ ） A. ,0 Zx  使得 341 0  x B. ,0 Zx  使得 015 0 x C. 01, 2  xRx D. 02, 2  xxRx 3. 已知  1, 3,a   ，  2,4, 5b   ，若 a b  ， 则  = （ ） A． 2 B． 4 C． 2 D．3 4. 原命题“若 3x   ，则 0x  ”的逆否命题是（ ） A．若 3x   ，则 0x  B．若 3x   ，则 0x  C．若 0x  ，则 3x   D．若 0x  ，则 3x   5.“双曲线渐近线方程为 xy 2 ”是“双曲线方程为 )0(4 2 2   为常数且yx ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C． 充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 设向量 cba ,, 是空间一个基底，则一定可以与向量 ,, baqbap  构成空间的另 一个基底的向量是 （ ） A． a B．b C． c D． a 或b 7. 椭圆 2 2 116 4 x y  上的点到直线 2 2 0x y   的最大距离为( )． A. 3 B. 11 C. 2 2 D. 10 8. 若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则它的侧棱与底面所成角的余弦值为（ ） A. 3 6 B. 3 3 C. 3 2 D. 3 1 9. 已知抛物线方程为 xy 42  ，则经过它的焦点的弦的中点轨迹方程是（ ） A. 12  xy B. )1(22  xy C. 2 12  xy D. 122  xy 10．设点 )2,1,12(  aaC 在点 )4,1,8(),2,3,1(),0,0,2(  BAP 确定的平面上，则 a =（ ） A.16 B. 4 C. 2 D.8 11．设离心率为 e 的双曲线方程为 )0,0(12 2 2 2  bab y a x ，它的右焦点为 F ，直线l 过点 F 且斜 率为 k ，若直线l 与双曲线的左、右两支都相交，则有（ ） A. 122  ek B. 122  ek C. 122  ke D. 122  ke 12．若椭圆 )0(1: 112 1 2 2 1 2 1  bab y a xC 和椭圆 )0(1: 222 2 2 2 2 2 2  bab y a xC 的焦点相同且 21 aa  ．给 出如下四个结论： ①椭圆 1C 与椭圆 2C 一定没有公共点 ② 2 1 2 1 b b a a  ③ 2 2 2 1 2 2 2 1 bbaa  ④ 2121 bbaa  其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D.②③④ 卷Ⅱ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.共 20 分. 13. i 是虚数单位，若复数  1 2i a i  是纯虚数，则实数 a 的值为__________. 14. 已 知 21 , FF 为 椭 圆 1925 22  yx 的 两 个 焦 点 , 过 1F 的 直 线 交 椭 圆 于 BA, 两 点 , 若 12|||| 22  BFAF ,则 || AB =__________. 15.已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角为 60°，这条直线与斜线在平面内的射影的夹 角为 45°，则斜线与平面所成的角为_______. 16.如图，已知 21, FF 分别是双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的左、右两个焦点， 8|| 21 FF ， P 是 双曲线右支上的一点，直线 PF2 与 y 轴交于点 A ，△ 1APF 的内切圆在边 1PF 上的切点为 Q ，若 2|| PQ ，则双曲线的离心率为________ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 10 分） 已知抛物线方程为 xy 82  ，直线l 过点 )4,2(P 且与抛物线只有一个公共点，求直线l 的方程. 18.（本小题满分 12 分） 已 知 命 题 p ： “ 方 程 2212 22  mm y m x 表 示 的 曲 线 是 椭 圆 ” ， 命 题 q ： “ 方 程 1231 22  mm y m x 表示的曲线是双曲线”。且 qp  为真命题， qp  为假命题，求实数 m 的 取值范围。 19. （本小题满分 12 分） 如图所示，PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面， 2AB ，E 是 PB 的中点， 3 3,cos  AEDP . (1)建立适当的直角坐标系,写出点 E 的坐标； (2)在平面 PAD 内是否存在一点 F ,使 PCBEF 平面 . 20. （本小题满分 12 分） 已知实数 0a ,命题 p : Rx  ,使得 ax |sin| ；命题 q : 2[ ,1]2x  , 2 1 0x ax   . (1)写出 q ；(2)若 p 且 q 为真, 求实数 a 的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱台 DEF ABC 中， 2 , ,AB DE G H 且 分别为 ,AC BC 的中点. （Ⅰ）求证： / /BD 平面 FGH ； （Ⅱ）若CF  平面 ABC , , , 45 ,AB BC CF DE BAC     求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小. 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  的焦点和短轴端点都在圆 2 2 4x y  上。 （1）求椭圆C 的方程； （2）已知点 ( 3,2)P  ，若斜率为 1 的直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点，试探究以 AB 为底边的等腰 三角形 ABP 是否存在？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。 C H B A D F E G A D E C B P 2016-2017 学年度上学期期末考试 高二数学（理）试卷答案 一、ADCBC CDABA CB 二、13.-2 14.8 15.45° 16.2 三、17.解：由题意，直线l 斜率存在， 设l 为 )2(4  xky 代入抛物线得 0321682  kyky 当 0k 时，满足题意，此时l 为 4y ； ---------4 分 当 100  kk 得时，由 ，此时l 为 02  yx ---------10 分 综上l 为 4y 或 02  yx 18.解：若 真，则       mm mm mm 212 0)2)(2( 0)2)(12( ，得 )2,1()1,2 1( m ---------4 分[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 若 真，则      012 0)3)(1( m mm ，得 ---------8 分 由题意知， qp, 一真一假 若 真 假，得 )1,2 1(m ； 若 假 真，得 )3,2[m 综上 )3,2[)1,2 1( m ---------12 分 19.解：（1）以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 分别为 X 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 A(2,0,0)， B(2,2,0)，C(0,2,0)。 设 P(0,0,2m)，则 E(1,1,m) )2,0,0(),,1,1( mDPmAE  由 3 3,cos  AEDP 得 1m ，E(1,1,1) ---------5 分 （2） F 平面 PAD ，设 F（x,0,Z) )1,1,1(  zxEF PCDEF 平面 1 xCBEF 0 zPCEF )0,0,1(F 即点 F 是 AD 的中点-------12 分 20.解:(1) q : 2[ ,1]2x  , 2 1 0x ax   ----------3 分 (2)p 且 q 为真,则 p, q 同时为真,由于实数 0a ,则 p: 10  a ；-------5 分 q: 2[ ,1]2x 时, ,则由 2 1 0x ax   得: 1a xx   ， 2[ ,1]2x , 函数 1( )f x xx   在区间 ),0(  上为减函数,则当 2[ ,1]2x 时, 2 2( ) ( )2 2f x f  , -------------10 分 要使 1a xx   在 2[ ,1]2x 上恒成立,则 2 2a ;综上可知, 12 2  a . ----12 分 21.解：（Ⅰ）证明：连接 DG，DC，设 DC 与 GF 交于点 T. 在三棱台 DEF ABC 中， 2 ,AB DE 则 2 ,AC DF 而 G 是 AC 的中点，DF//AC，则 / /DF GC , 所以四边形 DGCF 是平行四边形,T 是 DC 的中点，DG//FC. 又在 BDC ,H 是 BC 的中点，则 TH//DB， 又 BD  平面 FGH ，TH  平面 FGH ，故 / /BD 平面 FGH ---------5 分 （Ⅱ）由CF  平面 ABC ,可得 DG  平面 ABC 而 , 45 ,AB BC BAC    则GB AC ,于是 , ,GB GA GC 两两垂直， 以点 G 为坐标原点， , ,GA GB GC 所在的直线 分别为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系， 设 2AB  ,则 1, 2 2, 2DE CF AC AG    , 2 2(0, 2,0), ( 2,0,0), ( 2,0,1), ( , ,0)2 2B C F H   ， 则平面 ACFD 的一个法向量为 1 (0,1,0)n  ，-------------7 分 z x y FD E A G B H C 设平面 FGH 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z ，则 2 2 0 0 n GH n GF          ,即 2 2 2 2 2 2 02 2 2 0 x y x z        ， 取 2 1x  ，则 2 21, 2y z  ， 2 (1,1, 2)n  ，-------------10 分 1 2 1 1cos , 21 1 2 n n       ， 故平 面 FGH 与 平面 ACFD 所 成角 （锐 角 ）的 大小 为 60 . -------------12 分 22.（Ⅰ）设椭圆C 的右焦点为 ( ,0)F c ，由题意可得：b c ，且 2 2 8b c  ，所以 2 2 4b c  ， 故 2 2 2 8a b c   ，所以，椭圆C 的方程为 2 2 18 4 x y  …………………………4 分 （Ⅱ）以 AB 为底的等腰三角形 ABP 存在。理由如下 设斜率为 1 的直线l 的方程为 y x m  ，代入 2 2 18 4 x y  中， 化简得： 2 23 4 2 8 0x mx m    ，① ------------6 分 因为直线l 与椭圆C 相交于 A，B 两点，所以 2 216 12(2 8) 0m m   V ， 解得 2 3 2 3m   ② -------------8 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 4 3 mx x   ， 2 1 2 2 8 3 mx x  ；③ 于是 AB 的中点 0 0( , )M x y 满足 1 2 0 2 2 3 x x mx    ， 0 0 3 my x m   ； 已知点 P( 3,2) ，若以 AB 为底的等腰三角形 ABP 存在， 则 1PMk   ，即 0 0 2 13 y x    ，④将 2( , )3 3 m mM  代入④式， 得 3m  ( 2 3,2 3)  满足② -----------------10 分 此时直线l 的方程为 3y x  . -----------------12 分 不用注册，免费下载！