华师版八年级下册数学第18章平行四边形教学课件

18.1 平行四边形的性质 第 18 章 平行四边形 第 1 课时 平行四边形的性质定理 1,2 学习目标 1. 理解并掌握平行四边形的概念及 掌握平行四边形的定 义和对边相等、对角相等的两条性质 . （重点） 2. 根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明 . （难点） 3. 经历“实验 — 猜想 — 验证 — 证明”的过程 , 发展学生的 思维水平 . 导入新课 观察下图，平行四边形在 生活中无处不在 . 情景引入 你还能举出其他的例子吗？ 两组对边都不平行 一组对边平行， 一组对边不平行 两组对边分别平行 问题 1 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？ 问题 2 你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？ 两组对边分别平行 的四边形叫做 平行四边形 . 2. 平行四边形用 “ ” 表示，如图，平行四边形 ABCD 记作 ABCD ( 要注意字母顺序 ). 1. 定义 : A B D C 归纳总结 语言表述： ∵ AD ∥ BC , AB ∥ DC , ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 例 1 如图， DC ∥ GH ∥ AB ， DA ∥ EF ∥ CB ，图中的 平行四边形有多少个？将它们表示出来 . D A B C H G F E 典例精析 解： ∵ DC ∥ GH ∥ AB ， DA ∥ EF ∥ CB ， ∴ 根据平行四边形的定义可以判定图中共有 9 个平行四边形，即 AEKG , ABHG , AEFD , GKFD , K BEKH , CHKF , BEFC , CDGH , ABCD . 用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行 . 归纳 你能从以下图形中找出平行四边形吗？ (2) (3) (1) (4) (5) 练一练 根据平行四边形的定义 , 请画一个平行四边形 ABCD . D A B C 平行四边形的性质 1,2 二 A B C D 活动 1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现 AB 与 DC ， AD 与 BC 之间的数量关系吗 ? 测得 AB = DC ， AD = BC . A B C D 测得 ∠ A =∠ C ， ∠ B =∠ D . 活动 2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现 ∠ A 与 ∠ C ， ∠ B 与 ∠ D 之间的数量关系吗 ? 猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？ 两组对边及两组对角分别相等 . 怎样证明这个猜想呢？ 验一验 几何画板验证 （点击） ● A D O C B D B O C A 证明：如图，连接 AC . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AD∥BC ， AB ∥ CD , ∴∠1=∠2 ，∠ 3=∠4. 又 ∵ AC 是△ ABC 和△ CDA 的公共边， ∴ △ ABC ≌△ CDA , ∴ AD=BC ， AB=CD ， ∠ ABC =∠ ADC . ∵∠ BAD = ∠1+∠4 ， ∠ BCD =∠2+∠3 ， ∴ ∠ BAD = ∠ BCD. A B C D 1 4 3 2 已知：四边形 ABCD 是平行四边形 . 求证 : AD = BC , AB = CD ,∠ BAD =∠ BCD ,∠ ABC = ∠ ADC . 证一证 思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的 定义，证明其对角相等？ A B C D 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AD∥BC ， AB ∥ CD , ∴∠ A +∠ B =180 °， ∠ A + ∠ D =180 °， ∴∠ B = ∠ D . 同理可得 ∠ A =∠ C . 几 何 语 言 边 角 文字叙述 对边平行 对边相等 对角相等 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC ， AB∥DC. ∴ AD=BC ， AB=DC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ A=∠C ，∠ B=∠D. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， A B C D 平行四边形的性质 知识要点 性质定理 1 性质定理 2 动手做一做 : 剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？ A B C D 解： AD 和 BC 的长度相等 . 理由如下：由题意知 AB // CD , AD // BC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD = BC . 例 2 如图，在 ABCD 中 . (1) 若 ∠ A =32 。 , 求其余三个角的度数 . A B C D ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 解： 且 ∠ A =32 。 ( 已知 ), ∴ ∠ A = ∠ C =32 。 , ∠ B = ∠ D ( 平行四边形的对角相等 ). 又 ∵ AD ∥ BC （平行四边形的对边平行） , ∴ ∠ A + ∠ B =180 。 ( 两直线平行，同旁内角互补 ), ∴ ∠ B = ∠ D = 180 。 - ∠ A = 180 。 - 32 。 =148 。 . 典例精析 (2) 连接 AC ，已知 ABCD 的周长等于 20 cm ， AC = 7cm ，求 △ ABC 的周长 . 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ( 已知 ), ∴ AB = CD ， BC = AD ( 平行四边形的对边相等 ). 又 ∵ AB + BC + CD + AD =20cm( 已知 ), ∴ AB + BC = 10cm. ∵AC=7cm, ∴ △ ABC 的周长为 AB + BC + AC = 17cm. A B C D 【变式题】 (1) 在 ABCD 中 ,∠ A :∠ B =2:3, 求各角的度数 . 解： (1)∵∠ A , ∠ B 是平行四边形的两个邻角 , ∴ ∠ A +∠ B =180 ° . 又 ∵∠ A : ∠ B =2:3, 设 ∠ A =2 x , ∠ B =3 x , ∴ 2 x + 3 x = 180 ° , 解得 x = 36 ° . ∴ ∠ A = ∠ C =72 ° , ∠ B = ∠ D =108 ° . 平行四边形的邻角互补 (2) 若 ABCD 的周长为 28cm, AB : BC =3:4, 求各边的长度 . 解： (2) 在 平行四边形 ABCD 中 , ∵ AB = CD ， BC = AD . 又 ∵ AB + BC + CD + AD =28cm, ∴ AB + BC = 14cm. ∵ AB : BC =3:4, 设 AB =3 y cm, BC =4 y cm, ∴3 y +4 y =14 ，解得 y =2. ∴ AB = CD =6cm ， BC = AD =8cm. 已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程 . 归纳 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 例 3 如图，在 ABCD 中, E ， F 是对角线 AC 上的两点，并且 A E= C F ， 求证 ： B E =D F . ∴ ∠ BAE = ∠ DCF . ∴ △ ABE ≌ △ CDF. ∴ AB=CD ， AB ∥ CD 又 ∵ AE = CF ， ∴ BE = DF. A D B C E F 如图，在 □ABCD 中 . (1)若∠ A =130°，则∠ B =______ ，∠ C =______ ， ∠ D =______ . ( 3 )若∠ A + ∠ C = 200°，则∠ A =_____，∠ B =______ . ( 2 )若 AB =3, BC =5,则它的周长= ______ . C D A B 50° 130° 50° 100° 80° 练一练 16 平行线间的距离 三 例 4 如图 ，在 ABCD 中， DE ⊥ AB ， BF ⊥ CD ，垂足分 别是 E ， F ．求证： AE = CF ． 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ A = ∠ C ， AD = CB . 又 ∠ AED = ∠ CFB =90° ， ∴ △ ADE ≌ △ CBF （ AAS ） , ∴ AE = CF . 思考 在上述证明中还能得出什么结论？ D A B C F E DE = BF C B F E A D 若 m // n ， 作 AB // CD // EF ， 分别交 m 于 A 、 C 、 E ，交 n 于 B 、 D 、 F. 由平行四边形的性质得 AB = CD = EF. 夹在两条平行线间的平行线段相等 . m n 由平行四边形的定义易知四边形 ABDC ， CDFE 均为平行四边形 . 归纳总结 平行线间的距离处处相等 . 若 m // n ， AB 、 CD 、 EF 垂直于 n ， 交 n 于 B 、 D 、 F ，交 m 于 A 、 C 、 E. B F E A n m C D 点到直线的距离 同前面易得 AB = CD = EF 两条平行线间的距离： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 如图， AB ∥ CD ， BC ⊥ AB ，若 AB =4cm， S △ ABC =12cm 2 ，求△ ABD 中 AB 边上的高． 解： S △ ABC = AB • BC , = ×4 × BC =12cm 2 ， ∴ BC =6 cm . ∵ AB ∥ CD ， ∴点 D 到 AB 边的距离等于 BC 的长度， ∴△ ABD 中 AB 边上的高等于6cm． 练一练 当堂练习 1. 在 □ABCD 中， M 是 BC 延长线上的一点，若∠ A =13 5 °，则∠ MCD 的度数是（ ） A .45 ° B. 55 ° C. 65 ° D. 75 ° A A B C M D 2. 判断题 ( 对的在括号内填 “√” ，错的填 “×”) ： (1) 平行四边形两组对边分别平行且相等 . ( ) (2) 平行四边形的四个内角都相等 . ( ) (3) 平行四边形的相邻两个内角的和等于 180° ( ) (4) 如果平行四边形相邻两边长分别是 2cm 和 3cm ，那么它的周长是 10cm. ( ) (5) 在平行四边形 ABCD 中，如果 ∠ A =42° ， 那么 ∠ B =48°. ( ) (6) 在平行四边形 ABCD 中，如果 ∠ A =35° ， 那么 ∠ C =145°. ( ) √ √ √ × × × 4. 如图，直线 AE//BD ，点 C 在 BD 上，若 AE =5 ， BD =8 ， △ ABD 的面积为 16 ，则△ ACE 的面积为 . A B C D E 10 3. 如图， D 、 E 、 F 分别 在△ ABC 的边 AB 、 BC 、 AC 上，且 DE ∥ AC , DF ∥ BC , EF ∥ AB ，则图中有 _____ 个平行四边形 . 第 3 题图 第 4 题图 3 解：在 ABCD 中， AB=DC,AD=BC ( 平行四边形的对边相等 ) ∵ AB=8 ， DC=8 又 ∵AB+BC+DC+AD=24, ∴AD=BC= (24-2AB)=4 5. 如图，在 ABCD 中， AB=8 ，周长等于 24 ，求其余三条边的长 . B C D A 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥ CD ， AD = BC . ∴ ∠ CDE = ∠ DEA ， ∠ CFB = ∠ FBA . 又 ∵∠ CDE = ∠ ADE ， ∠ CBF = ∠ FBA , ∴ ∠ DEA = ∠ ADE ， ∠ CFB =∠ CBF, ∴ AE = AD , CF = BC , ∴ AE = CF . 6. 已知在平行四边形 ABCD 中， DE 平分 ∠ ADC , BF 平分 ∠ ABC . 求证 : AE = CF . A B D C E F 7. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 EDF 部分打碎了，现在只测得 AE= 60cm ， BC= 80cm ， ∠ B= 60° 且 AE∥BC 、 AB∥CF , 你能根据测得的数据计算出 DE 的长度和 ∠ D 的度数吗？ 解：∵ AE//BC ， AB//CF ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ ∠ D=∠B= 60° ， AD=BC= 80cm . ∴ ED=AD-AE= 20cm . 答： DE 的长度是 20cm, ∠ D 的度数是 60°. 证明： ∵ 四边形 BEFM 是平行四边形 ,   ∴ BM = EF , AB // EF . ∵ AD 平分 ∠ BAC , ∴∠ BAD =∠ CAD . ∵ AB // EF , ∴ ∠ BAD =∠ AEF , ∴∠ CAD =∠ AEF , ∴ AF = EF , ∴ AF = BM . 8. 如图，在  ABC 中, AD 平分 ∠ BAC ,点 M , E , F 分别是 AB , AD , AC 上的点,四边形 BEFM 是平行四边形 . 求证： AF = BM . B D C E F A M 课堂小结 平行 四边形 定义 两组对边分别平行的四边形 性质 两组对边分别平行，相等 平行线间的距离处处相等 两组对角分别相等，邻角互补 18.1 平行四边形的性质 第 18 章 平行四边形 第 2 课时 平行四边形与邻边有关的计算和证明 学习目标 1. 能够灵活运用平行四边形的性质 1,2; 2. 结合平行四边形性质 1,2 解决与邻边相关的计算和证明问题 . （重点） 导入新课 复习引入 平行四边形的性质定理 1 平行四边形的对边相等 平行四边形的性质定理 2 平行四边形的对角相等 这些性质如何利用呢？今天我们就来学习一下吧！ 讲授新课 平行四边形与邻边的相关计算和证明 一 例 1 ： 已知 平行四边形的周长是 24 ，相邻两边的长度相差 4 ，求该平行四边形相邻两边的长 . 解：设 AB 的长为 x , 则 BC 的长为 x +4. 根据已知，可得 2 （ AB + BC ） =24, 即 2 （ x + x +4 ） =24, 4 x +8=24, 解得 x =4. 所以，该平行四边形相邻两边的长分别为 4 和 8. 典例精析 B C D A 练一练 1. 已知平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为 ________. 解析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∵平行四边形ABCD的周长是32， ∴2（AB+BC）=32， ∴2（ 4 +BC）=32， ∴BC=12． 12 B C D A 2. 如图，平行四边形ABCD周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC长（  ） A.14cm B.12cm C.10cm D. 8 cm 解析：∵ ABCD的周长是28cm， ∴AB+ BC =14cm， ∵△ABC的周长是22cm， ∴AC=22-（AB+ B C）=8cm， 故选D． D 1. 在平行四边形中， 两邻边长之和等于周长的一半 . 2. 在求平行四边形各边长时， 可设一元一次方程或二元一次方程组 求解 . 归纳总结 例 2 已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ B AD的平分线AE交BC于点E， 求证： CE+CD=AD ． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC， ∴∠AEB=∠DAE， ∵ A E平分∠ B AD , ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AE B ，∴AB= B E =CD ， ∴ CE+CD=CE +B E = BC=AD. 1. 如图，平行四边形ABCD的周长为 20 ， AE 平分∠BAD，若 C E=2，则 A B长为（  ） A.8 B.10 C.6 D.4 D 练一练 2. 在平行四边形 ABCD 中，若 AE 平分∠ DAB ， AB = 5cm, AD ＝ 9cm, 则 EC ＝ . C 4cm A B D E 3. 如图，在平行四边形ABCD中， AE 平分∠BAD，已知 ∠ AEB=63 °，则 ∠D 的度数 为（  ） A. 63 ° B. 72 ° C. 54 ° D. 60 ° C 4. 如图，在平行四边形ABCD中， P 是 CD 边上一点，且 AP 和 BP 分别平分∠D AB和 ∠CBA ，若 AD = 5 ， AP = 8 ， 则△ AP B的周长为 _______. 24 平行四边形一内角的平分线与对边相交于一点，可得到一个 等腰三角形 . 归纳总结 1. 已知如图： ABCD中，AD=8，AB=6，DE平分∠ADC交BC于E，则BE= ． 解析：∵DE平分∠ADC， ∴ ∠ADE=∠CDE， ∵ ABCD中AD∥BC， ∴∠ADE=∠CED，∴ ∠CDE=∠CED ∴CE=CD， ∵在 ABCD中，AB=6，AD=8， ∴CD=AB=6，BC=AD=8，（平行四边形的对边相等） ∴BE=BC-CE=8-6=2． 当堂练习 2 2. 如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（  ） A.8 B.10 C.12 D.14 解析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC， ∴∠AFB=∠FBC， ∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC， 则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=6， 同理可证：DE=DC=6， ∵EF=AF+DE-AD=2，即6+6-AD=2，解得：AD=10；故选B． B 3. 如图，在 ABCD中，∠B=80°，∠ADC的平分线DE与BC交于点E．若BE=CE，则∠DAE= 度． 解析：∵在▱ABCD中，∠B=80°， ∴AD∥BC，AB=CD， ∴∠ADE=∠CED， ∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE=∠CDE， ∴∠CED=∠CDE，∴CE=CD， ∵BE=CE，∴AB=BE，∴∠AEB=∠BAE=50°， ∴∠DAE=∠AEB=50°．故答案为：50． 50 3. 如图，在▱ABCD中， DE ,AE 分别为 ∠ADC， ∠ B AD 的平分线，与BC交于点E．求证： AD = 2 C D ． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC， ∴∠ADE=∠CED，∠DAE=∠ A E B ， ∵DE， AE 分别是∠ADC，∠ B AD的平分线， ∴∠ADE=∠CDE，∠DAE=∠ BA E， ∴∠CED=∠CDE，∠ B AE=∠ A E B ， ∴CE=CD， B E=A B ， ∴ AD=BC= CE +B E = CD + A B=2 CD . 4. 已知平行四边形 ABCD 中， CE 平分 ∠BCD 交 AD 于点 E ， AF∥CE ，且交 BC 于点 F. (1) 求证：△ ABF ≌ △ CDE ; 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ＝ CD ， AD∥BC , ∠ B ＝ ∠ D ， ∴ ∠1 ＝ ∠ BCE . ∵ AF∥CE, ∴∠ AFB ＝ ∠ ECB , ∴∠ AFB ＝ ∠1. 在 △ ABF 和 △ CDE 中， ∠ B ＝ ∠ D ， ∠ AFB ＝ ∠1 ， AB ＝ CD ， ∴ △ ABF ≌ △ CDE . (2) 如图，若 ∠1=65 °，求 ∠ B 的大小 . 解：由 (1) 得 ∠1 ＝ ∠ BCE ， ∵ CE 平分 ∠ B CD ， ∴ ∠ DCE ＝ ∠ BCE ， ∴ ∠ DCE= ∠1 ＝ 65 °， ∴ ∠ B ＝ ∠ D ＝ 180 ° －2 × 65 °＝ 50 ° . 课堂小结 平行四边形两邻边的特点 2. 平行四边形一内角的平分线与对边相交于一点，可得到一个等腰三角形 . 1. 在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半 . 18.1 平行四边形 第 18 章 平行四边形 第 3 课时 平行四边形的性质定理 3 学习目标 1. 掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点） 2. 经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透 转化思想， 体会图形性质探究的一般思路 . （难点） 问题： 上节课我们学习了平行四边形的哪些性质？ 平行四边形的对边相等 . 平行四边形的对角相等 . 思考： 平行四边形除了以上边和角的特征，其对角线有什么特征呢？这节课我们一起探讨一下吧 . 复习引入 导入新课 平行四边形的邻角互补 . 讲授新课 平行四边形的对角线的性质 一 我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢 ? A B C D O 如图， 在 □ABCD 中，连接 AC,BD , 并设它们相交于点 O. OA 与 OC,OB 与 OD 有什么关系 ? 猜一猜 OA=OC,OB=OD 怎样证明这个猜想呢？ 已知：如图 , □ ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O . 求证： OA = OC ， OB = OD . 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD=BC ， AD∥BC, ∴ ∠ 1=∠2 ，∠ 3=∠4, ∴ △ AOD ≌ △ COB （ ASA ） , ∴ OA=OC ， OB=OD. A C D B O 3 2 4 1 证一证 A C D B O 平行四边形的 对角线互相平分 . 平行四边形的性质定理 3 应用格式： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA=OC ， OB=OD. 归纳总结 例 1 如图 , 平行四边形 ABCD 中， AC 、 BD 交于 O 点，点 E 、 F 分别是 AO 、 CO 的中点，试判断线段 BE 、 DF 的关系并证明你的结论． 解： BE ＝ DF ， BE ∥ DF . 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD , ∴ OE ＝ OF . 在 △ OFD 和 △ OEB 中， OF ＝ OE ， ∠ DOF ＝ ∠ BOE ， OD ＝ OB ， ∴△ OFD ≌ △ OEB ， ∴∠ OEB ＝ ∠ OFD ， BE ＝ DF ， ∴ BE ∥ DF . 例 2 如图， ABCD 的对角线 AC , BD 交于点 O . 点 O 作直线 EF , 分别交 AB , CD 于点 E ， F . 求证： OE = OF . A B C D F E O 证明 : ∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴∠ ODF =∠ OBE , ∠ DFO =∠ BEO , ∴ △ DOF ≌ △ BOE （ AAS ） , ∴ AB ∥ CD , OD = OB , ∴ OE = OF . 思考 改变直线 EF 的位置， OE = OF 还成立吗 ? ● O D C B A E F ● O D C B A E F (1) (2) 议一议： 在上述问题中，若直线 EF 与边 DA 、 BC 的延长线交于点 E 、 F ，（如图 2 ），上述结论是否仍然成立？试说明理由． ● ● ● ● 议一议： 在上述问题中，若将直线 EF 绕点 O 旋转至下 图 (3) 、 (4) 的位置时，上述结论是否仍然成立？ F E F ● O D C B A E (1) ● O D C B A E F (3) (3) (4) ● O D C B A E F (4) ● ● ● ● 再变一变 过平行四边形的 对角线交点作直线 与平行四边形的 一组对边或对边的延长线相交， 得到的线段 总相等． 归纳总结 1. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ，若 AD =16， AC =24， BD =12，则△ OBC 的周长为 （  ） A . 26 B . 34 C . 40 D . 52 练一练 B 2. 如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，△ AOB 的周长为15， AB =6，则对角线 AC 、 BD 的长度的和是 （  ） A . 9 B . 18 C . 27 D . 36 B 1. 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是（  ） A．∠ ABO =∠ CDO B．∠ BAD =∠ BCD C． AO = CO D． AC ⊥ BD B C D A O D 当堂练习 2. 在 □ ABCD 中， AC =24, BD =38, AB = m , 则 m 的取值范围是 ( ) A. 24< m