华师版八年级数学下册期末复习课件

小结与复习 第 16 章 分式 要点梳理 一、分式 1. 分式的概念： 一般地，如果 A 、 B 都表示整式，且 B 中含有字母，那么称 为分式 . 其中 A 叫做分式的分子， B 为分式的分母 . 2. 分式有意义的条件： 对于分式 ： 当 _______ 时分式有意义； 当 _______ 时分式无意义 . B≠0 B=0 3. 分式值为零的条件： 当 ___________ 时，分式 的值为零 . A =0 且 B ≠ 0 4. 分式的基本性质： 5. 分式的约分： 约分的定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的 公因式 约去，叫做分式的 约分 ． 最简分式的定义 分子与分母没有公因式的式子，叫做 最简分式 注意： 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为 最简分式或整式 . 约分的基本步骤 (1) 若分子 ﹑ 分母都是 单项式 ，则 约去 系数的最大公约数 ，并约去相同字母的 最低次幂 ； (2) 若分子 ﹑ 分母含有 多项式 ，则先将多项式 分解因式 ，然后约去分子 ﹑ 分母所有的 公因式 ． 6. 分式的通分： 分式的通分的定义 根据分式的基本性质，使分子、分母同乘 适当的整式（即最简公分母）， 把 分母不相同 的分式变成 分母相同 的分式，这种变形叫分式的通分. 最简公分母 为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的 所有因式 的 最高次幂 的积作公分母，叫做最简公分母 . 二、分式的运算 1. 分式的乘除法则： 2. 分式的乘方法则： 3. 分式的加减法则： (1) 同分母分式的加减法则： (2) 异分母分式的加减法则： 4. 分式的混合运算： 先算 乘方， 再算 乘除， 最后算 加减， 有括号的 先算括号里面的 . 计算结果要化为 最简 分式或整式． 三、分式方程 1. 分式方程的定义 分母中含未知数的方程 叫做 分式方程 . 2. 分式方程的解法 (1) 在方程的两边都乘以 最简公分母 ，约去分母，化成整式方程 . (2) 解这个整式方程 . (3) 把整式方程的解代入 最简公分母 ，如果最简公分母的值 不为 0 ，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去 . 3. 分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤 (1) 审 : 清题意，并设未知数； (2) 找 : 相等关系； (3) 设 : 未知数 ; (4) 列 : 出方程； (5) 解 : 这个分式方程； (6) 验 : 根（包括两方面 : 是否是分式方程的根；  是否符合题意）； (7) 写 : 答案 . 考点一 分式的有关概念 例 1 如果分式 的值为 0 ，那么 x 的值为 . 【 解析 】 根据分式值为 0 的条件：分子为 0 而分母不为 0 ，列出关于 x 的方程，求出 x 的值，并检验当 x 取某值时分式的分母的值是否为零 . 由题意可得： x 2 -1=0 , 解得 x =±1 . 当 x =-1 时， x +1=0 ; 当 x =1 时， x +1 ≠0. 考点讲练 1 分式有意义的条件是分母不为 0 ， 分式无意义的条件是分母的值为 0 ；分式的值为 0 的条件是分子为 0 而分母不为 0 . 归纳总结 针对训练 2. 如果分式 的值为零，则 a 的值为 . 2 1. 若分式 无意义，则 x 的值为 . -3 考点二 分式的性质及有关计算 B 例 2 如果把分式   中的 x 和 y 的值都扩大为原来 的 3 倍，则分式的值（  ） A. 扩大为原来的 3 倍  B. 不变  C. 缩小为原来的  D. 缩小为原来的 针对训练 C 3. 下列变形正确的是 ( ) 例 3 已知 x = , y = ， 求 值 . 【 解析 】 本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值 . 把 x = , y = 代入得 解：原式 = 原式 = 对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母的值代入，即可求出分式的值 . 但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法 . 归纳总结 4. 有一道题：“先化简，再求值 : , 其中 ” . 小玲做题时把 错抄成 , 但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事 ? 针对训练 解 : 所以结果与 x 的符号无关 例 4 解析：本题可以先求出 a 的值，再代入求值，但显然现在解不出 a 的值；不过如果将 的分子、分母颠倒过来，即求 的值，再利用公式变形求值就简单多了． 利用 x 和 1/ x 互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁． 归纳总结 5. 已知 x 2 -5 x +1=0 , 求出 的值 . 解： 因为 x 2 -5 x +1=0, 得 即 所以 针对训练 考点三 分式方程的解法 例 5 解下列分式方程：        【 解析 】 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可确定出分式方程的解． 解：（ 1 ）去分母得 x +1+ x ﹣1=0 ，解得 x =0 ， 经检验 x =0 是分式方程的解； （ 2 ）去分母得 x ﹣4=2 x +2﹣3 ，解得 x =﹣3 ， 经检验 x =﹣3 是分式方程的解． 解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 归纳总结 解：最简公分母为（ x +2 ）（ x ﹣2 ）， 去分母得（ x ﹣2 ） 2 ﹣ （ x +2 ）（ x ﹣2 ） =16 ， 整理得 ﹣4 x +8=16 ，解得 x =﹣2 ， 经检验 x =﹣2 是增根，故原分式方程无解． 针对训练 考点四 分式方程的应用 例 6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍． (1) 求普通列车的行驶路程； 解： (1) 根据题意得 400×1.3 ＝ 520( 千米 ) ． 答：普通列车的行驶路程是 520 千米； (2) 若高铁的平均速度 ( 千米 / 时 ) 是普通列车平均速度 ( 千米 / 时 ) 的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间短 3 小时，求高铁的平均速度． 解：设普通列车的平均速度是 x 千米 / 时，则高铁的平均速度是 2.5 x 千米 / 时，根据题意得 解得 x ＝ 120 ，经检验 x ＝ 120 是原方程的解，则高铁的平均速度是 120×2.5 ＝ 300( 千米 / 时 ) ． 答：高铁的平均速度是 300 千米 / 时． 针对训练 7. 某施工队挖掘一条长 90 米的隧道，开工后每天比原计划多挖 1 米，结果 提前 3 天 完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖 x 米，则依题意列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. C 8. 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支 . 求第一次每支铅笔的进价是多少元？ 解：设第一次每支铅笔进价为 x 元，根据题意列方程，得 解得 x =4. 经检验， x =4 是 原分式方程的解 . 答：第一次每支铅笔的进价为 4 元 . 考点五 本章数学思想和解题方法 主元法 例 7. 已知： ，求 的值 . 【 解析 】 已知等式可以变形为用 b 来表示 a 的式子，可得 ，代入所求代数式约分即可求值 . 解：∵ ， ∴ . ∴ 已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值 . 这种方法即是 主元法 ，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元 . 那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元，剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用 . 归纳总结 解：由 ，得 ， 把 代入可得原式 = 9. 已知 ，求 的值 . 本题还可以由已知条件设 x =2 m , y =3 m . 针对训练 分式 分式 分式的定义及有意义的条件等 分式方程 分式方程的应用 行程问题、工程问题、销售问题等 分式的运算及化简求值 分式方程的定义 分式方程的解法 课堂小结 步骤 一审二设三列四解五检六写，尤其不要忘了验根 类型 小结与复习 第 17 章 函数及其图象 要点梳理 1. 常量与变量 叫变量， 叫常量 . 2. 函数定义： 取值发生变化的量 取值固定不变的量 在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有 唯一 确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 的 函数 . 一、函数 3. 函数的图象 ：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 . 列表法 解析法 图象法 . 5. 函数的三种表示方法： 4. 描点法画图象的步骤： 列表、描点、连线 一次函数 一般地，如果 y ＝ k x ＋ b ( k 、 b 是常数， k ≠0) ，那么 y 叫做 x 的一次函数 . 正比例函数 特别地，当 b ＝ ____ 时，一次函数 y ＝ k x ＋ b 变为 y ＝ __ __ _ ( k 为常数， k ≠0) ，这时 y 叫做 x 的正比例函数 . 0 kx 二、一次函数 1. 一次函数与正比例函数的概念 2. 分段函数 当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数 . 函数 字母系数取值 （ k >0 ） 图象 经过的象限 函数性质 y ＝ kx + b ( k ≠0) b >0 y 随 x 增大而 增大 b =0 b 0 y 随 x 增大而 减小 b ＝ 0 b 2时， y 与 x 成反比例关系， 所以设 解得 k ＝8. 由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 即 O y / 毫克 x / 小时 2 4 ( 3 ) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则 服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：当 0≤ x ≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2 x ≥2， 解得 x ≥1， ∴1≤ x ≤2 ； 当 x >2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴ 2< x ≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有 效时间是 1 ＋ 2 ＝ 3 ( 小时 ) ． O y / 毫克 x / 小时 2 4 12. 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y ℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x 成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到 28℃时停止加热，停止加热 后，材料温度逐渐下降，这 时温度 y 与时间 x 成反比例 函数关系，已知第 12 分钟 时，材料温度是14℃． 针对训练 O y (℃) x (min) 12 4 14 28 ( 1 ) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式（写出 x 的取值范围）； O y (℃) x (min) 12 4 14 28 答案： y = 4 x + 4 (0 ≤ x ≤ 6) ， ( x ＞ 6 ). ( 2 ) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟 ? 解：当 y =12时， y =4 x +4，解得 x =2． 由 ，解得 x =14 . 所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为 14－2=12 ( 分钟 ) ． O y (℃) x (min) 12 4 14 28 课堂小结 实际问题 函数 建立函 数模型 定义 自变量取值范围 表示法 一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0) 应用 图象：一条直线 性质： k ＞ 0 ， y 随 x 的增大而增大 k ＜ 0 ， y 随 x 的增大而减小 数形结合 一次函数与一次方程之间的关系 课堂小结 反比例函数 定义 图象 性质 x ， y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用 小结与复习 第 18 章 平行四边形 几 何 语 言 文字叙述 对边平行 对边相等 对角相等 ∴ AD=BC ， AB=DC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ A=∠C ，∠ B=∠D. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 一、平行四边形的性质 要点梳理 对角线互 相平分 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA =OC ， OB=OD. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC ， AB∥DC. 平行四边形是 中心对称图形 . A B C D O 几 何 语 言 文字叙述 两组对边相等 一组对边平行且相等 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ AD=BC ， AB=DC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ AB=DC ， AB∥DC. 二、平行四边形的判定 对角线互相平分 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ OA =OC ， OB=OD. 两组对边分别平行（定义） ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ AD∥BC ， AB∥DC. 平行线之间的距离处处相等 A B C D O 考点一 平行四边形的性质 考点讲练 例 1 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（  ） A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC=BC D 针对训练 1. 如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD， ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠EAB= ∠BAD，∠FCD= ∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD， 在△ABE和△CDF中 ∠B＝∠D AB＝CD ∴△ABE ≌ △CDF，∴BE=DF． ∠EAB＝∠FCD ∵AD=BC ∴AF=EC． 例 2 如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（  ） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， AC=10cm，BD=6cm ∴OA=OC= AC=5cm，OB=OD= BD=3cm， ∵∠ODA=90°， ∴AD= =4cm． A 方法总结 主要考查了平行四边形的性质之平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用 . 【解析】∵在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm， ∴CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm， ∴△BOC的周长是：BO+CO+BC=12+19+28=5 9( cm ) ． 针对训练 2. 如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（  ） A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm B 考点二 平行四边形的判定 例 3 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（  ） A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD C．AD∥BC，AD=BC D．AB=CD，AO=CO D 平行四边形的判定方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 . 方法总结 针对训练 3. 如图，点D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF， （1）求证：AB=EF． （1）证明：∵AC∥DE， ∴∠ACD=∠EDF， ∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC， 即BC=DF， 又∵∠A=∠E，∴△ABC ≌ △EFD（AAS）， ∴AB=EF； （2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由． （2）猜想：四边形ABEF为平行四边形， 理由如下：由（1）知△ABC ≌ △EFD， ∴∠B=∠F，∴AB∥EF， 又∵AB=EF， 四边形 ABEF 为平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） . 考点三 平行四边形性质和判定的综合应用 例 4 如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF． 求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC， ∵BE=DF， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 针对训练 4. 如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（  ） A．BD＜2 B．BD=2 C．BD＞2 D．以上情况均有可能 解析：∵AE=AB， ∴∠ABE=∠AEB，同理∠CBD=∠CDB . ∵∠ABE+∠CBD=∠DBE， ∴∠AEB+∠CDB=∠DBE， ∴∠AED+∠CDE=180°，∴AE∥CD， ∵AE=CD，∴四边形AEDC为平行四边形． ∴DE=AC=AB=BC． ∴△ABC是等边三角形， ∴BC=CD=1， 在△BCD中，∵BD＜BC+CD， ∴BD＜2． 故选A． 平 行 四 边 形 性质 ① 对边平行且相等 ② 对角相等，邻角互补 ③ 对角线互相平分 判定 ① 两组对边分别平行的 ② 两组对边分别相等的 ③ 一组对边平行且相等的 ④ 对角线互相平分的 四 边 形 平 行 四 边 形 课堂小结 小结与复习 第 19 章 矩形、菱形与正方形 一、 几种特殊四边形的性质 项目 四边形 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 且四边相等 对边平行 且四边相等 对角相等 四个角 都是直角 对角相等 四个角 都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 四边形 条件 平行 四边形 矩形 菱形 正方形 二、几种特殊四边形的常用判定方法： 1. 定义：两组对边分别平行 2. 两组对边分别相等 3. 两组对角分别相等 4. 对角线互相平分 5. 一组对边平行且相等 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形 2. 对角线相等的平行四边形 3. 有 三个角是直角的四边形 1. 定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2. 对角线互相垂直的平行四边形 , 3. 四条边都相等的四边形 1. 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2. 有一组邻边相等的矩形 3. 有一个角是直角的菱形 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或 对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 例 1 ： 如图 , 在矩形 ABCD 中 , 两条对角线相交于点 O , ∠ AOD = 120° , AB = 2.5 , 求矩形对角线的长 . 解：∵四边形 ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD ( 矩形的对角线相等 ) . OA = OC = AC , OB = OD = BD , ( 矩形对角线相互平分 ) ∴ OA = OB . A B C D O 考点一 矩形的性质和判定 考点讲练 A B C D O ∵ ∠ AOD =120° , ∴ ∠ AOB =60°. ∴ △ AOB 为等边三角形， ∴ BD = 2 OB = 2 AB = 2 × 2.5 = 5. 1. 如图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , △ ABO 是等边三角形 , AB =4 , 求 □ ABCD 的面积 . 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OA = OC , OB = OD . 又∵ △ ABO 是等边三角形 , ∴ OA = OB = AB = 4 , ∠ BAC =60°. ∴ AC = BD = 2 OA = 2×4 = 8. A B C D O 针对训练 ∴ □ABCD 是矩形 （ 对角线相等的平行四边形是矩形 ） . ∴∠ ABC =90° （矩形的四个角都是直角） . 在 Rt △ ABC 中 , 由勾股定理 , 得 ∴ BC = . ∴ S □ABCD = AB · BC = 4× = A B C D O 2. 如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE ∥ AC ， CE ∥ BD ， BE 、 CE 交于点 E ，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由 . D A B C E O 解：四边形 CEBO 是矩形 . 理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC =90°. ∵ BE∥AC , CE ∥ BD ， ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形 . ∴四边形 CEBO 是矩形 （有一个角是直角的平行四边形是矩形） . 考点二 菱 形的性质与判定 例 2 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 A 作 AE∥BD ，过点D作 ED∥AC ，两线相交于点 E ． 求证：四边形 AODE 是菱形； 证明：∵ AE∥BD ， ED∥AC ， ∴四边形 AODE 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD ， OA = OC = AC ， OB = OD = BD ， ∴ OA = OD ， ∴ 平行 四边形 AODE 是菱形. 【变式题】 如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC ， CE∥BD ， BE 、 CE 交于点 E ，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由 . D A B C E O 解：四边形 CEBO 是矩形 . 理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC =90°. ∵ B E∥AC , CE ∥ BD ， ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形 . ∴四边形 CEBO 是矩形 . 证明：在 △ AOB 中 . ∵ AB = , OA =2, OB =1 . ∴ AB 2 = AO 2 + OB 2 . ∴ △ AOB 是直角三角形 , ∠ AOB 是直角 . ∴ AC ⊥ BD . ∴ □ ABCD 是菱形 ( 对角线垂直的平行四边形是菱形 ) . 3. 已知：如右图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , AB = , OA =2, OB =1. 求证： □ ABCD 是菱形 . A B C O D 针对训练 4. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由 . A B C D E F 解：四边形 ABCD 是菱形 . 过点 C 作 AB 边的垂线，垂足为 E , 作 AD 边上的垂线，垂足为 F . S 四边形 ABCD = AD · CF = AB · CE . 由题意可知 CE = CF 且 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ AD = AB . ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 在学习菱形的判定时，我们用全等解过此题，现在能否换一种方法解答呢？ 例 3 如图，已知在四边形 ABFC 中， ∠ ACB ＝ 90° ， BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，且 CF ＝ AE ； (1) 试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由； (2) 当 ∠ A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论． 解： (1) 四边形 BECF 是菱形． 理由如下： ∵ EF 垂直平分 BC ， ∴ BF ＝ FC ， BE ＝ EC ， ∴∠3 ＝ ∠1. ∵∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠3 ＋ ∠4 ＝ 90° ， ∠1 ＋ ∠2 ＝ 90°,∴∠2 ＝ ∠4 ， 考点三 正方形的性质和判定 ∴ EC ＝ AE ， ∴ BE ＝ AE . ∵ CF ＝ AE ， ∴ BE ＝ EC ＝ CF ＝ BF ， ∴ 四边形 BECF 是菱形； (2) 当 ∠ A ＝ 45° 时，菱形 BECF 是正方形． 证明如下： ∵∠ A ＝ 45° ， ∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠ CBA ＝ 45° ， ∴∠ EBF ＝ 2∠ CBA ＝ 90° ， ∴ 菱形 BECF 是正方形． 方法总结 正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定． 5. 如图 , 在矩形 ABCD 中 , BE 平分 ∠ ABC , CE 平分 ∠ DCB , BF ∥ CE , CF ∥ BE . 求证：四边形 BECF 是正方形 . F A B E C D 解析： 先由两组平行线得出四边形 BECF 为 平行四边形；再由一组邻边相等，得出是菱形；最后由 一个直角 可得正方形 . 45° 45° 针对训练 F A B E C D 证明 : ∵ BF ∥ CE , CF ∥ BE ， ∴四边形 BECF 是平行四边形 . ∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ ∠ ABC = 90° , ∠ DCB = 90° , ∵ BE 平分∠ ABC , CE 平分∠ DCB , ∴∠ EBC = 45° , ∠ ECB = 45° , ∴ ∠ EBC = ∠ ECB . ∴ EB = EC , ∴ □ BECF 是菱形 . 在 △ EBC 中 ∵ ∠ EBC = 45 ° , ∠ ECB = 45° , ∴∠ BEC = 90° , ∴菱形 BECF 是正方形 . （有一个角是直角的菱形是正方形） 6. 如图， △ ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN ∥ BC ，设 MN 交 ∠ BCA 的平分线于点 E ，交 ∠ BCA 的外角 ∠ ACG 的平分线于点 F ，连接 AE 、 AF . (1) 求证： ∠ ECF ＝ 90° ； (2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请 说明理由； (1) 证明： ∵ CE 平分 ∠ BCO ， CF 平分 ∠ GCO ， ∴∠ OCE ＝ ∠ BCE ， ∠ OCF ＝ ∠ GCF ， ∴∠ ECF ＝ ×180° ＝ 90°. (2) 解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形．理由如下： ∵ MN ∥ BC ， ∴∠ OEC ＝ ∠ BCE ， ∠ OFC ＝ ∠ GCF . 又 ∵ CE 平分 ∠ BCO ， CF 平分 ∠ GCO ， ∴∠ OCE ＝ ∠ BCE ， ∠ OCF ＝ ∠ GCF ， ∴∠ OCE ＝ ∠ OEC ， ∠ OCF ＝ ∠ OFC ， ∴ EO ＝ CO ， FO ＝ CO ， ∴ OE ＝ OF . 又 ∵ 当点 O 运动到 AC 的中点时， AO ＝ CO ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . ∵∠ ECF ＝ 90° ， ∴ 四边形 AECF 是矩形 . 解：当点 O 运动到 AC 的中点时， 且满足 ∠ ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形． ∵ 由 (2) 知当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形， 已知 MN ∥ BC ， 当 ∠ ACB ＝ 90° ， 则 ∠ AOE ＝ 90° ， 即 AC ⊥ EF ， ∴ 矩形 AECF 是正方形． (3)在(2)的条件下，△ ABC 应该满足 什么 条件时， 四边形 AECF 为正方形． 例 4 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少 . 解：如图，∵在平行四边形 ABCD 中， AB = CD ， AD = BC ， AD ∥ BC ， ∴∠ AEB =∠ CBE ． 又∠ ABE =∠ CBE , ∴∠ ABE =∠ AEB , ∴ AB = AE ． （1）当 AE =2时，则平行四边形的周长=2 ( 2+ 3) =1 0 ． （2）当 AE =3时，则平行四边形的周长= 3( 3+ 2) =1 5 ． 分类讨论思想 考点四 本章解题思想方法 平行四边形的性质与判定中要是出现角平分线，常与等腰三角形的性质和判定结合起来考查，当边指向不明时需要分类讨论，常见的的模型如下： 方法总结 例 5 如图，折叠长方形一边 AD ，点 D 落在 BC 边的点 F 处， BC =10cm， AB =8cm，求： （1） FC 的长； （2） EF 的长． 方程思想 解：（1）由题意得 AF = AD = BC =10cm， 在Rt△ ABF 中，∵ AB =8， ∴ BF =6cm， ∴ FC = BC - BF =10-6=4 ( cm ) ． （2）由题意可得 EF = DE ，可设 DE 的长为 x ， 在Rt△ EFC 中， ( 8- x ) 2 +4 2 = x 2 ， 解得 x =5， 即 EF 的长为5cm． 例 6 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，其交点为 O ，若BC=6，BC边上的高为4，试求阴影部分的面积． 转化思想 解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ OA = OC ， OB = OD . ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ EAO =∠ HCO . 又 ∵ ∠ AOE ＝∠ COH ， ∴△ AEO ≌ △ CHO （ASA）， 同理可得△ OAQ ≌ △ OCG ，△ OPD ≌ △ OFB ， ∴ S 阴影 = S △ ABC ， 则 S △ ABC = S 平行四边形 ABCD = ×6×4=12． E H Q G F P 四边形的分类及转化 有一个角是 90° （或对角线相等） 有一对邻边相等 （或对角线互相垂直） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直且相等） 有一个角是 90° （或对角线相等） 有一对邻边相等 （或对角线互相垂直） 课堂小结 小结与复习 第 20 章 数据的整理与初步处理 要点梳理 一、数据的集中趋势 平均数 定义 一组数据的平均值称为这组数据的平均数 算术平 均数 一般地，如果有 n 个数 x 1 ， x 2 ， … ， x n ，那么 _____________________ 叫做这 n 个数的平均数 . 加权平 均数 一般地，若 n 个数 x 1 ， x 2 ， … ， x n 的权分别 是 w 1 ， w 2 ， … ， w n ，则 ___________________ 叫做这 n 个数的 加权平均数． 最多 中间位置的数  两个数据的平均数 中位数 定义 将一组数据按照由小到大 ( 或由大到小 ) 的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 ________________ 就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间 _________________________ 就是这组数据的中位数 防错 提醒 确定中位数时，一定要注意先把整组数据按照大小顺序排列，再确定 众 数 定义 一组数据中出现次数 ________ 的数据叫做这组数据的众数 防错 提醒 (1) 一组数据中众数不一定只有一个； (2) 当一组数据中出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来分析 二、数据的波动程度 平均数 大 表示波 动的量 定义 意义 方差 设有 n 个数据 x 1 ， x 2 ， x 3 ， … ， x n ，各数据与它们的 ___ __ ___ 的差的平方分别是 ( x 1 － x ) 2 ， ( x 2 － x ) 2 ， … ， ( x n － x ) 2 ，我们用它们的平均数，即用 ________________________ 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作 s 2 方差越大，数据的波动越 ___ ，反之也成立 考点讲练 考点一 平均数、中位数、众数 例 1 某市在开展节约用水活动中，对某小区 200 户居民家庭用水情况进行统计分析，其中 3 月份比 2 月份节约用水情况如下表所示： 节水量（ m 3 ） 1 1.5 2 户数 20 120 60 请问： 抽取的 200 户家庭的节水量的平均数是 ______ ，中位数是 ______ ，众数是 _______. 1.6 1.5 1.5    1. 某米店经营某种品牌的大米，该店记录了一周中不同包装 (10 kg ， 20 kg ， 50 kg) 的大米的销售量 ( 单位：袋 ) 如下： 10 kg 装 100 袋； 20 kg 装 220 袋； 50 kg 装 80 袋 . 如果每 500 g 大米的进价和售价都相同，则他最应该关注的是这些销售数据 ( 袋 数 ) 中的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 最大值 C   针对训练 A      2. 一组数据中的一个数大小发生了变化，一定会 影响这组数据的平均数、众数、中位数中的（ ）    A ． 1 个   B ． 2 个   C ． 3 个   D ． 0 个    3. 某地发生地震灾害后，某中学八 (1) 班学生积极捐款献爱心，如图所示是该班 50 名学生的捐款情况统计，则他们捐款金额的众数和中位数分别是 (    ) A ． 20 ， 10    B ． 10 ， 20   C ． 16 ， 15    D ． 15 ， 16 B 4. 小刚在“中国梦 · 我的梦”演讲比赛中，演讲内容、语言表达、演讲技能、形象礼仪四项得分依次为 9.8 ， 9.4 ， 9.2 ， 9.3. 若其综合得分按演讲内容 50% 、语言表达 20% 、演讲技能 20% 、形象礼仪 10% 的比例计算，则他的综合得分是 _________. 9.55 考点二 方差的计算及应用 例 2 小明和小亮在课外活动中 , 报名参加了短跑训练小组 . 在近几次百米训练中 , 所测成绩如图所示 , 请根据图中信息解答以下问题 : (1) 补全下面的表格 . 次数 1 2 3 4 5 小明 13.3 13.3 13.2 13.3 小亮 13.2 13.4 13.1 13.3 13.4 13.5 (2) 分别计算成绩的平均数 和方差，填入表格 . 若你是 老师 , 将小明与小亮的成绩 比较析后 , 将分别给予他们 怎样的建议？ 平均数 方差 小明 小亮 13.3 13.3 0.02 0.004 解：从平均数看，两人的平均水平相同；从方差看，小明的成绩较稳定，小亮的成绩波动较大 . 给小明的建议是：加强锻炼，提高爆发力，提升短跑成绩； 给小亮的建议是：总结经验，找出成绩忽高忽低的原因，在稳定中提高 . 平均数 方差 小明 小亮 13.3 13.3 0.02 0.004 针对训练 5 ．小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图.根据图中的信息，小张小李两人中成绩较稳定的是 . 小张 例 3 我市某中学七、八年级各选派 10 名选手参加学校举办的“爱我祖国”知识竞赛，计分采用 10 分制，选手得分均为整数，成绩达到 6 分或 6 分以上为合格，达到 9 分或 10 分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下所示，其中七年级代表队得 6 分、 10 分的选手人数分别为 a ， b . 考点三 分析数据做决策 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 6.7 m 3.41 90% n 八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10% (1) 请依据图表中的数据，求 a ， b 的值； (2) 直接写出表中 m ， n 的值； (3) 有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． (1) 解：依题意，得 解得 (2) m ＝ 6 ， n ＝ 20%. (3)① 八年级队平均分高于七年级队； ②八年级队的成绩比七年级队稳定； ③八年级队的成绩集中在中上游，所以支持八年级队成绩好 ( 注：任说两条即可 ) ． (3×1+6 a +7×1+8×1+9×1+10 b ) ÷ 10=6.7 1+ a +1+1+1+ b =10 a =5, b =1. 6. 经市场调查，某种优质西瓜质量为 (5±0.25)kg 的最为畅销．为了控制西瓜的质量，农科所采用 A ， B 两种种植技术进行试验．现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取 20 个，记录它们的质量如下 ( 单位： kg) ： A ： 4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.8 5.8 5.2 5.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8 5.2 5.1 5.0 B ： 4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9 5.4 5.5 4.6 5.3 4.8 5.0 5.2 5.3 5.0 5.3 针对训练 (1) 若质量为 (5±0.25) kg 的为优等品，根据以上信息 完成下表： (2) 请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对 A ， B 两种技术做出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好？ 解： (2) 从优等品数量的角度看，因 A 种技术种植的西瓜优等品数量较多，所以 A 种技术较好；从平均数的角度看，因 A 种技术种植的西瓜质量的平均数更接近 5kg ，所以 A 种技术较好； 从方差的角度看，因 B 种技术种植的西瓜质量的方差更小，所以 B 种技术种植的西瓜质量更为稳定； 从市场销售角度看，因优等品更畅销， A 种技术种植的西瓜优等品数量更多，且平均质量更接近 5kg ，因而更适合推广 A 种技术 . 数据的整理与 初步处理 数据的一般水 平或集中趋势 数据的离散程 度或波动大小 平均数、 加权平均数 中位数 众数 方差 计 算 公 式 课堂小结