三角函数值域，最值的求法

三角函数值域与最值的求法 大家知道，求三角函数值域与最值问题主要包括：①给定自变量 x 的取值范围，求三角函数 的值域或最值；②自变量 x 为任意实数，求三角函数的值域或最值两种类型。那么到底如何 解答求三角函数值域与最值问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、已知函数 f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1(x∈R)。 （1）求函数 f(x)的最小正周期； （2）求函数 f(x)在区间〔 , 〕上的最大值和最小值； 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用；②三角函数最小正周期的定义与求法；③辅助角公式及运 用；④正弦函数的图像与性质。 【解题思路】（1）运用二倍角公式和辅助角公式把函数 f(x)化成 f(x)= Asin( x+ )的形式， 根据三角函数最小正周期的公式求出函数 f(x)的最小正周期；（2）由 x 〔 , 〕求出 2x+ 的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函数 f(x)的最大值和最小值。 【详细解答】（1） f(x)=2 sinx cosx-2cos x+1= sin2x- cos2x= sin(2x+ )， T= = ；（2） x 〔 , 〕， 2x+ 〔 , 〕， -1 sin (2x+ ) 1， = 1= ， = （-1）=- 。 y 2、已知函数 y=Asin( x+ )(A＞0, ＞0, |---2 | |≤ )的一段图像如右图所示。 | （1）求函数 f(x)的解析式； - 0 | x （2）求这个函数的单调递增区间； -2------- | （3）求函数在区间〔 , 〕上的最大值和最小值。 【解析】 【知识点】①三角函数的图像与性质；②三角函数最小正周期的公式及运用；③根据三角函 数图像上的点确定 的基本方法；④正弦函数的图像与性质。 【解题思路】（1）根据三角函数的图像确定 A 和 T 的值，运用公式 T= 求出 的值， 由点（- ，2）在函数 f(x)的图像上，求出 的值，从而得到函数 f(x)的解析式=；（2）运 8 π 3 4 π ϖ ϕ ∈ 8 π 3 4 π 4 π  2 2 4 π ∴ 2 2 π π  ∈ 8 π 3 4 π ∴ 4 π ∈ 2 π 7 4 π ⇒ ≤ 4 π ≤ ∴ max( )f x 2 × 2 min( )f x 2 × 2 ϖ ϕ ϖ ϕ π 8 π 3 8 π 3 π 2 π ϕ 2 | | π ϖ ϖ 8 π ϕ 用正弦函数的性质得到不等式 2k - 2x+ 2k + ，解这个不等式就可得出 结果；（3）由 x 〔 , 〕求出 2x+ 的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函 数 f(x)的最大值和最小值。 【详细解答】（1）由图知，A=2， = -（- ）= ， T= ， = =2， f(x) =2sin (2x+ )， 点（- ，2）在函数 f(x)的图像上， 2=2sin [2 （- ）+ ]= 2sin （- + ）， sin （- + ）=1， - + = 2k + ， = 2k + （k Z）， | |≤ ， = ， f(x)=2sin (2x+ )；（2） 由 2k - 2x+ 2k + ，解得 k - x k - （k Z）， 函数 f(x)的单调递增区间是[k - ，k - ] （k Z）；（3） x 〔 , 〕， 2x+ 〔 , 〕， -1 sin (2x+ ) - ， =2 （- ）=- ， =2 （-1）=-2。 『思考问题 1』 （1）【典例 1】是运用正弦函数（或正弦型函数）与余弦函数（或余弦型函数）的有界性来 求三角函数的值域或最值的问题，解答这类问题需要理解并掌握正弦函数与余弦函数的图像 和性质，尤其是正弦函数与余弦函数的值域都是［-1,1］这一特殊性质； （2）对于正弦型函数与余弦型函数只需把( x+ )看成整体未知数，进而将问题转化为正 弦函数与余弦函数的问题来解决。 〔练习 1〕解答下列问题： 1、求函数 y=sinx〔sinx-sin(x+ )〕的最大值和最小值； 2、求函数 y= 的最大值和最小值； 3、已知函数 f(x)= x-2sinxcosx- x。 （1）求函数 f(x)的最小正周期； （2）求函数 f(x)的最大值和最小值。 【典例 2】按要求解答下列各题： 1、求函数 f(x)=cos2x-6cosx 的值域； 【解析】 π 2 π ≤ 4 π ≤ π 2 π ∈ 3 π 2 π 4 π 2 T 3 8 π 8 π 2 π ⇒ π ⇒ ϖ 2π π ⇒ ϕ  8 π ∴ × 8 π ϕ 4 π ϕ ⇒ 4 π ϕ ⇒ 4 π ϕ π 2 π ⇒ ϕ π 3 4 π ∈  ϕ π ∴ϕ 3 4 π ⇒ 3 4 π  π 2 π ≤ 3 4 π ≤ π 2 π π 5 8 π ≤ ≤ π 8 π ∈ ∴ π 5 8 π π 8 π ∈  ∈ 3 π 2 π ∴ 3 4 π ∈ 17 12 π 7 4 π ⇒ ≤ 3 4 π ≤ 2 2 ∴ max( )f x × 2 2 2 min( )f x × ϖ ϕ 3 π 2 sin 2 cos x x − − 2cos 2sin 【知识点】①二倍角公式及运用；②换元法的定义与基本方法；③一元二次函数的定义，图 像与性质。 【解题思路】运用二倍角公式把函数 f(x)化成 f(x)= 2 cos x -6 cos x -1 的形式，设 t= cos x，t 〔-1,1〕，得到函数 f(t)=2 -6t-1，根据一元二次函数在闭区间上最值的求法就可得 出结果。 【详细解答】 f(x)= 2 cos x -6 cos x -1，设 t= cos x，t 〔-1,1〕， f(t)=2 -6t-1， 函数 f(t)在〔-1,1〕上单调递减， = f(-1)=2 -6 (-1)-1=7， = f(1)= 2 1-6 1-1=-5。 2、是否存在实数 a，使得函数 y= x+acosx+ a- 在闭区间〔0, 〕上的最大值是 1？ 若存在，求出对应的 a 值，若不存在，说明理由； 【解析】 【知识点】①换元法的定义与基本方法；②一元二次函数的定义，图像与性质。 【解题思路】设存在实数 a，使得函数 y= x+acosx+ a- 在闭区间〔0, 〕上的最大 值是 1，令 t= cos x，t 〔-1,1〕，得到函数 f(t)=- +at+ a - ，根据一元二次函数的图 像与性质分别对