第三章 § 3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离1.了解点到直线距离公式的推导方法；
2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题；
3.初步掌握用解析法研究几何问题.
问题导学 题型探究 达标检测
学习目标问题导学 新知探究 点点落实
知识点一 点到直线的距离
思考1 如图，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距
离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？
答案
思考2 根据思考1的思路，点P到直线
Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？思考3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用
？
答案 仍然适用，
①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，
答案
②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0
，答案
1.定义：点到直线的 的长度.
2.图示：
垂线段
3.公式：
.知识点二 两条平行直线间的距离
思考 直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：
x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？
有什么规律吗？
答案 点A、B、C到直线l2的距离分别为
规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.
答案1.定义：夹在两平行线间的 的长.
2.图示：
3.求法：转化为点到直线的距离.
公垂线段
答案 返回题型探究 重点难点 个个击破
类型一 点到直线的距离
例1 (1)求点P(2，－3)到下列直线的距离.
②3y＝4；
解 3y＝4可化为3y－4＝0，
解析答案③x＝3.
解 x＝3可化为x－3＝0，
解析答案(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程.
解析答案反思与感悟解 方法一 当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝－1，恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，
故x＝－1满足题意，
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，
综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
解析答案反思与感悟反思与感悟
方法二 由题意得l∥AB或l过AB的中点，
当l∥AB时，
设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，
当l过AB的中点(－1,4)时，
直线l的方程为x＝－1.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.反思与感悟
(1)应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线
是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.跟踪训练1 (1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取
值范围是__________.
解析答案(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的
方程为_____________________________.
解析答案
解析 过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x＝3与A、B两点的距离不相等，
故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
∴所求直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.
2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0类型二 两平行线间的距离
例2 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离
为____.
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
解析答案(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，
则l的方程为____________.
解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
解析答案反思与感悟
得c＝1，
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
2x－y＋1＝0反思与感悟跟踪训练2 (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线
方程；
解析答案解 方法一 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
所以C＝32，或C＝－20，
方法二 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
解得C＝32，或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.解析答案
(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2距离为5，求两直
线方程.
解 依题意，两直线的斜率存在，
设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.类型三 利用距离公式求最值
例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 的最小
值为________.
解析答案
∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，
即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，
∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，(2)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着
点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
①求d的取值范围；
解 设经过A点和B点的直线分别为l1、l2，
解析答案反思与感悟
②求当d取最大值时，两条直线的方程.
两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.反思与感悟
解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形
”，从而利用图形的直观性加以解决.跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最
小时P点的坐标；
解 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，
此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在直线方程为y＝x，
解析答案
∴P点坐标为(2,2).(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.
解 由题意知与OP垂直的直线到原点O的距离最大，
∵kOP＝2，
解析答案
即x＋2y－5＝0.类型四 对称问题
解析答案反思与感悟
例4 求点P(－5,13)关于直线l：2x－3y－3＝0的对称点P′的坐标.反思与感悟
解 设P′的坐标为(x0，y0)，
即2x0－3y0－55＝0. ①
即3x0＋2y0－11＝0. ②
∴P′的坐标为(11，－11).反思与感悟
(2)直线关于直线的对称的求法
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程
的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1、P2关
于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程.返回
跟踪训练4 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射
后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程.
解析答案返回
解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
∴A的坐标为(4,3).
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，
两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.1 2 3达标检测 4 5
解析答案
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )
A.1 B.－1
D1 2 3 4 5
解析答案
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( )
解析 l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，
C1 2 3 4 5
3.光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则光线从A
到B的距离为( )
解析 ∵点A关于x轴的对称点A′(－3，－5)，
由光的反射理论可知，此即为光线从A到B的距离.
C
解析答案1 2 3 4 5
解析答案
4.两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，
则a＋d＝____. 10
∴a＋d＝10.1 2 3 4 5
解析答案
5.在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是
__________.
解析 由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|为最小，
(5，－3)
∴所求点的坐标为(5，－3).规律与方法
1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的
距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可
直接求之.
2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，
使问题更清晰.
3.已知两平行直线，其距离可利用公式d＝ 求解，也可在已知直线上
取一点，转化为点到直线的距离.
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
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