高一数学人教A版必修4课件：3.1.1 两角差的余弦公式 .pptx

第三章 三角恒等变换 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1　两角差的余弦公式明目标、知重点 明目标 知重点 填要点 记疑点 探要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04明目标、知重点 1.了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.理解用向量法导出公式的主要步骤. 3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能 利用该公式进行求值、计算. 明目标、知重点明目标、知重点 两角差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ ，其中α、β 为任意角． cos αcos β＋sin αsin β 填要点·记疑点明目标、知重点 探要点·究所然 情境导学明目标、知重点 探究点一　两角差余弦公式的探索 思考1　有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举 两例加以说明． 答　不正确．明目标、知重点 cos(α－β)≠cos α－cos β； cos(α－β)≠cos α－cos β.明目标、知重点 思考2　请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写 出一个猜想． ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝ ＝ ； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝ ＝ ； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝ ＝ ； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝ ＝ ． 猜想： cos αcos β＋sin αsin β＝ ； 即： . 1 cos 0° cos 30° 0 cos(－90°) cos(－60°) cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β明目标、知重点 探究点二　两角差余弦公式的证明 如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作 角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q， 请回答下列问题： (cos α，sin α) (cos α，sin α) 1 (cos β，sin β) (cos β，sin β) 1明目标、知重点 α－β＝2kπ明目标、知重点 从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. cos(α－β) cos αcos β＋sin αsin β明目标、知重点 思考1　若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ 答　cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β. 思考2　利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？ 答　cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)． 探究点三　两角差余弦公式的应用明目标、知重点 思考3　若cos α－cos β＝a，sin α－sin β＝b，则cos(α－β)等于 什么？明目标、知重点 例1　利用两角差余弦公式求cos 75°、cos 15°的值． 解　cos 75°＝cos(120°－45°)＝cos 120°·cos 45°＋sin 120°·sin 45° cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°明目标、知重点 反思与感悟　在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数 值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°， 60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利 用公式化简求值．而把一个具体角构造成两个角的和、差形 式，有很多种构造方法，例如：cos 15°＝cos(60°－45°)，要学 会灵活运用.明目标、知重点 跟踪训练1　求cos 105°＋sin 195°的值． 解　cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°) ＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°＝2cos(135°－30°) ＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)明目标、知重点明目标、知重点明目标、知重点 反思与感悟　(1)注意角α、β的象限，也就是符号问题． (2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名 称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变 换．常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，明目标、知重点明目标、知重点明目标、知重点 又∵β＝(α＋β)－α，明目标、知重点 ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α明目标、知重点 反思与感悟　(1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化 为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行： ①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)； ③确定角的值． (2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．明目标、知重点明目标、知重点 cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)明目标、知重点 当堂测·查疑缺 1 2 3 1.cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为(　　)A明目标、知重点 1 2 3 2.cos 165°等于(　　)C 解析　cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝ －(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝－明目标、知重点 1 2 3 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β明目标、知重点 呈重点、现规律 1.给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某 些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“ 变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的 正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.明目标、知重点 2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题， 求一个角的值，可分以下三步进行： ①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)； ③确定角的值. 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.